整體把握教材 提升教師專業(yè)素養(yǎng)

張秋爽 北京市順義區(qū)教育研究考試中心小學數(shù)學教研員，吳正憲小學數(shù)學教師工作站核心組成員，北京兒童教育研究所兼職教研員，中學高級教師，特級教師，北京市學科帶頭人，教育碩士學位，中國教育學會小數(shù)專委會先進工作者。

曾參加過教育部遠程培訓、教育部西部農(nóng)遠工程、教育部國培（小學數(shù)學）、新課標解讀等項目，作為主講教師；作為副主編或編委參與了《團隊研修的實踐探索》《聽吳正憲老師上課》《和吳正憲老師一起讀數(shù)學新課標》等10余本書的編寫；曾經(jīng)在國家級刊物上發(fā)表論文、教學設計80多篇。先后去日本、澳門和國內(nèi)十多個省市交流，指導教師參與北京市、中國教育學會課堂教學觀摩獲一等獎；參與的課題獲北京市基礎教育教學成果一等獎、首屆教育部基礎教育成果一等獎、首屆基礎教育科研成果一等獎。

教學研究的基本問題是“教什么”和“怎么教”，前者關乎教學內(nèi)容，后者關乎教學形式。教學內(nèi)容決定教學形式，教學形式服務于教學內(nèi)容。“教什么”永遠比“怎么教”更重要。“教什么”是目標，目標是首要的；“怎么教”是技術，技術是無窮的。教無定法，貴在得法。

一、讀懂每個知識點的來龍去脈，挖掘數(shù)學本質

孫曉天教授曾經(jīng)指出，作為一名數(shù)學教師要有意識地提高自己的專業(yè)素養(yǎng)，樹立基于“全面知識”的教學觀。教師對傳授的數(shù)學知識要有足夠的見識和視野，見識和視野從哪里來？來源于對四個問題的關注：為什么？是什么？干什么？怎么干？也就是從一個知識點的四個維度去思考，想清楚、說明白，進一步讀懂教材。

1.讀懂“為什么”，體會知識的生命價值

“為什么”是指教育價值，一般有三個角度要考慮：該內(nèi)容在學生未來的生活里會有什么作用？在學生后續(xù)的學習中是什么角色？有哪些獨到的教育意義？

在備“乘法分配律”這一內(nèi)容時，我關注了知識間的內(nèi)在聯(lián)系：從乘法口訣到乘法計算再到因式分解；從計算周長到長方體的表面積再到圓環(huán)面積；從行程問題到應用乘法分配律解決問題再到舉一反三和知識拓展等，其本質都是乘法的意義，其背后蘊含的分與合的思想是數(shù)學知識發(fā)展不可缺少的思想，也是學生學習數(shù)學知識、解決問題的策略。

在教學《分數(shù)的初步認識》一課時，教師要讓學生體會為什么要學習分數(shù)？學習分數(shù)的價值是什么？在分東西或測量得不到整數(shù)結果的時候就產(chǎn)生了分數(shù)。學習分數(shù)來源于需求，這就是引入時創(chuàng)設情境的主旨，體現(xiàn)了學習分數(shù)的價值。

“認識方程”是學生從程序性思維向關系思維過渡的關鍵內(nèi)容，有助于豐富學生的思維方式，是從算術思維到代數(shù)思維的過渡，也是數(shù)學史上第一次數(shù)學思想方法的突破。

2.弄清“是什么”，體會知識的內(nèi)涵和本質

“是什么”是指數(shù)學意義，是在表面意義的基礎上挖掘其本質。在教材中，有關周長、面積、體積的概念是這樣描述的：封閉圖形一周的長度是周長；物體表面或平面圖形的大小叫面積；物體所占空間的大小是體積。而其本質是：周長是從起點再回到起點，順邊加。周長是長度單位個數(shù)的累加，面積是面積單位個數(shù)的累加，體積是體積單位個數(shù)的累加，所以度量思想非常重要。我們在選擇素材、設計活動、師生互動時要讓學生體會概念的本質。

如“乘法分配律”就是兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以先把這兩個數(shù)分別與這個數(shù)相乘，再把所得的積加起來；分配律是算理，是使算法能“合理簡潔”進行的基礎（如乘法豎式）。它溝通了加法和乘法兩種運算間的聯(lián)系，改變了運算的先后順序。“乘法分配律”是乘法對加法的分配，實際上還有許多變式；計算過程中還滲透了分與合、等量代換的思想，其本質就是乘法意義。分配律是“找規(guī)律”，是積累活動經(jīng)驗的重要題材。

“方程是含有未知量的等式”，這是描述性的概念，其本質是從事件中尋找兩個相等的故事，構建等量關系、列出方程，是把未知量和已知量放在同等位置上考慮問題，是一種建立數(shù)學模型的過程。數(shù)學源自生活，又回歸生活。這就告訴我們，建立數(shù)學模型是提取、還原的過程。

3.理解“干什么”，體會知識的應用價值

“干什么”是指用途與發(fā)展。“乘法分配律”是保證四則運算正確、結果唯一的定律之一，對于整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)、有理數(shù)、代數(shù)式、有理式、未來學習的積分等知識都能應用，其用途非常廣泛。乘法分配律是一種模型。有人說，除法沒有分配律。其實，除法的分配律是有條件限制的，可以把被除數(shù)拆成兩個數(shù)，可以應用分配律；如果把除數(shù)拆成兩個數(shù)就無法應用了。

分數(shù)既表示一種結果，也表示一種關系。如部分和整體之間的關系，部分和部分之間的關系等。分數(shù)能表示除法計算中除不盡的情況。分數(shù)還可以和份、平均分、倍、比等知識相互轉化，解決不同情境中的問題。

如“方程是重要的數(shù)學模型”，我把方程思想理解為：為尋求未知量和已知量之間的聯(lián)系，把未知量先等同于已知量，進行相關運算，并形成等量關系，進而解出未知量。“認識方程”從方程思想滲透的角度有兩個問題需要關注：一是如何使學生學會尋找等量關系，二是學生在尋找等量關系時怎樣才能把未知量等同于已知量。這兩個問題似乎都與學生長期的算術思維有關，算術思維使得學生很容易走向求未知數(shù)。教學中，我們要提供較為豐富的生活事件，引導學生不斷地尋找兩個相等的故事，經(jīng)歷提取等量關系、列方程的過程，然后讓學生面對方程賦予它更多現(xiàn)實含義。當學生能夠在模型與生活間建立聯(lián)系時，他們才真正接受了這個模型。

4.落實“怎么干”，關注學生的數(shù)學理解

“怎么干”是指具體的技能與方法。如“乘法分配律”的教學可以借助學生經(jīng)驗，將成套的服裝、成套的桌椅、常見的數(shù)量關系作為例證，從兩種不同的計算方法中得出一組組具有相等關系的式子；或者借助幾何直觀，給學生多個長方形，看哪些能拼成新的長方形，在拼擺中既可以獲得求面積和的例子，也可以呈現(xiàn)求面積差的例證；或者借助生活情景；還可以利用學生已有的舊知識學習乘法分配律等。

分數(shù)的學習要讓學生體會分數(shù)多元多維的含義，豐富學生建構的分數(shù)模型，有面積模型、子集—全集模型、數(shù)線模型等。

如“方程的解法”，從事件中尋找等量關系，列出方程，可以說是一種建立數(shù)學模型的過程。如何讓學生更好地經(jīng)歷這個建模的過程，更輕松地接受這個模型，我想單方面讓學生經(jīng)歷從事件中提取還不足以讓學生充分接受。所以，在教學前要搜集較為豐富的生活事件，引導學生不斷地經(jīng)歷提取等量關系、列方程的過程；后期讓學生面對方程這個已有模型，賦予它更多現(xiàn)實含義，當學生能夠將模型與生活建立聯(lián)系時，他才真的開始接受這個模型了。

如果教師對每一個具體的教學內(nèi)容都能沿著“為什么？是什么？干什么？怎么干”的線索想清楚、講明白，就能逐步完善看問題的角度，開闊視野，增添智慧，在觀察世界、欣賞數(shù)學、思考教學問題時做到心中有數(shù)。在此基礎上才能逐步實現(xiàn)“整體把握”，才能區(qū)別“核心價值”，明白教什么、怎么教。

二、梳理知識序列，溝通知識間內(nèi)在聯(lián)系

備課時讀懂課時內(nèi)容的四個方面還遠遠不夠，還要關注知識間的內(nèi)在聯(lián)系。數(shù)學是一門邏輯性很強的關系學科，而內(nèi)容的安排上則是分散難點、循序漸進、螺旋上升的。所以教師要有意識地對知識進行梳理，溝通知識間的內(nèi)在聯(lián)系。

如“加、減、乘、除”四則運算，我們要在不同年級幫助學生積累運算原型。這就是一個知識序列。加、減、乘、除運算的意義是核心概念，要讓學生積累原型，用加、減、乘、除運算。運算的多種“原型”如下：加法可以作為合并、移入、增加、繼續(xù)往前數(shù)等的模型；減法可以作為剩余、比較、往回數(shù)、減少或加法逆運算等的模型；乘法可以作為相等的數(shù)的和、面積計算、倍數(shù)、組合等的模型；除法可以作為平均分配、比率或乘法逆運算等的模型。

除此之外，我們還應該關注四種運算之間的聯(lián)系：乘法是加法的簡便運算；加法和減法互為逆運算；乘法和除法互為逆運算；除法是減去相同減數(shù)的簡便運算等。

數(shù)的加減法，不論整數(shù)、小數(shù)，還是分數(shù)，其本質都是計數(shù)單位個數(shù)的相加減。小學階段學習的乘法計算從知識序列上看：從二年級學習乘法意義和乘法口訣，到三年級學習多位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)，四年級學習三位數(shù)乘兩位數(shù)，到五年級學習小數(shù)乘法等。乘法計算的依據(jù)是十進位值，本質是分與合的思想，基礎是乘法意義。而小數(shù)乘法是在已學知識的基礎上，先把它轉化成整數(shù)乘法計算，然后再根據(jù)積的變化規(guī)律得出正確答案。整數(shù)乘法計算熟練了，小數(shù)乘法不過是找個替身而已，即轉化成整數(shù)乘法去計算。

除法計算，一個數(shù)除以分數(shù)，等于這個數(shù)乘這個分數(shù)的倒數(shù)。利用乘除法的互逆關系進行了轉化。是不是就分數(shù)除法這樣做呢？我們一起來梳理除法計算。除法計算包括三個方面：一個數(shù)除以一個整數(shù)；一個數(shù)除以一個小數(shù)；一個數(shù)除以分數(shù)（如圖1）。它們都可以轉化為乘一個數(shù)的倒數(shù)，這就是數(shù)學的統(tǒng)一性。既體現(xiàn)了知識間的內(nèi)在聯(lián)系，也體現(xiàn)了數(shù)學具有抽象性的特點。

在數(shù)學教學中，有很多的知識序列，需要教師用心勾連，關注知識間的內(nèi)在聯(lián)系，讓知識形成網(wǎng)絡，有助于學生的數(shù)學理解。

三、建構知識包，把握核心概念

教材關于教學內(nèi)容的安排體現(xiàn)了分散難點、循序漸進、螺旋上升的特點，所以在教學時，要讀懂知識間的內(nèi)在聯(lián)系，建立知識包，體現(xiàn)數(shù)學的統(tǒng)一性，抓住核心概念，構建學生的關鍵能力。

“同樣多”是一個核心概念，正是因為有了“同樣多”，才有了相同加數(shù)，才定義了乘法；正是有了“分得同樣多”，才定義了除法，也就產(chǎn)生了分數(shù)；有了“同樣多”就有了幾個幾，有了幾個幾就有了倍的概念……

“同樣多”作為一個概念進行學習，背后的思想是一一對應。角的大小比較、圖形的大小比較都能用重合的方法比較，都是以“同樣多”的對應思想作為支撐。

在小學數(shù)學學習中，“單位”也是一個核心概念。學習數(shù)的認識、數(shù)的計算、數(shù)的大小比較、常見的量、度量中找標準等都離不開“單位”。這里的“單位”包括計數(shù)單位、計量單位、度量單位等。

總之，小學雖小但其內(nèi)涵不小。在小學數(shù)學學習過程中還有很多的核心概念，需要數(shù)學教師認真地思考和發(fā)掘。數(shù)學知識的學習要求教師對所學內(nèi)容有整體把握，了解知識的來龍去脈，關注知識間的內(nèi)在聯(lián)系，把握核心概念，滲透數(shù)學本質。？筻