一元函數的極值理論與應用

張梁*

沈陽師范大學數學與系統科學學院，遼寧　沈陽110034

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一元函數的極值理論與應用

張梁*

沈陽師范大學數學與系統科學學院，遼寧沈陽110034

摘要:極值是函數的一種局部性態，能夠反映出函數的變化狀態。求函數極值的問題既是一個培養學生邏輯思維解題能力的問題，又是一個學以致用，解決生產，研究實際問題的數學方法。本文給出了一元函數極值的定義，論述了關于一元函數的極值問題，討論了求一元函數極值的必要條件和充分條件，并且給出了一元函數極值的一些應用。

關鍵詞:一元函數;極值的必要條件;極值的充分條件;極值的應用

一、引言

極值是函數在極值點上取得的函數值，是極大值和極小值的統稱。函數在某區間的極大值點是使自變量取得的函數值大于該點鄰域的函數值的點。函數在某區間的極小值點是使自變量取得的函數值小于該點鄰域的函數值的點。

一元函數極值的存在性判定定理是數學分析中的重要內容，它為求解多元函數的極值做了鋪墊，也是求解最值得基礎。在科研和實際問題中一元函數極值的判定定理也有廣泛的應用:如不等式的證明、根的存在性、生活中的應用(利潤最大化、用料最少)等問題，而一元函數極值的判定定理就是研究這些問題的基礎，雖然教材上對一元函數極值的存在性判定定理做了介紹，但還是遠遠不夠，還需要更深入的去討論一元函數極值的存在性判定定理。

對于一元函數極值的應用(不等式證明、判斷方程的根、在生活中的應用)也給予了總結，因此研究一元函數極值的判定定理具有一定的理論意義和實踐意義。

二、一元函數極值理論

(一)定義3(一元函數極值的定義)［1］

設函數f(x)在x0的一個鄰域內有定義，若對于該鄰域內異于x0的x恒有:f(x0)＞f(x)，則稱f(x0)為函數f(x)的極大值，x0稱為f(x)的極大值點; f(x0)＜f(x)，則稱f(x0)為函數f(x)的極小值，x0稱為f(x)的極小值點。函數的極大值、極小值統稱為函數的極值。極大值點，極小值點統稱為極值點。

函數的定義域為R

令f '(x) = 0，得x =±1

當x＜-1或x＞1時，f '(x)＜0

∴函數f(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上是減函數;

當-1＜x＜1時，f '(x)＞0

∴函數f(x)在(-1，1)上是增函數。

∴當x =-1時，函數取得極小值f(-1) =-3

當x = 1時，函數取得極大值f(1) =-1

(二)定理5.3(費馬定理)［2］

設函數f(x)在x0的某鄰域內有定義，且在點x0可導。若點x0為f(x)的極值點，且必有f '(x) = 0。這是可導函數極值的必要條件。

(三)定理6.11(極值的第一充分條件)［3］

設函數f(x)在x0的一個鄰域內連續，且在此鄰域內(x0可以除外)可導，則

(1)若當x＜x0時，f '(x)＞0;當x＞x0時，f '(x)＜0，則f(x)在x0處取得極大值。

(2)若當x＜x0時，f '(x)＜0;當x＞x0時，f '(x)＞0，則f(x)在x0處取得極小值。

【注】由此可知如果f(x)在x0處可導且f '(x0) = 0，但f '(x)在x0的兩側同號，則x0不是f(x)的極值點，f(x)在x0處不取得極值。

(四)定理6.12(極值的第二充分條件)［3］

設函數f(x)在x0的某鄰域U(x0;δ)內一階可導，在x = x0處二階可導，且f '(x) = 0，f ''(x)≠0，則x0是函數f(x)的極值點，f(x)在x0處取得極值，并且當f ''(x)＜0時，f(x0)是極大值，f ''(x)＞0時，f(x0)是極小值。

【注】應當注意的是如果f '(x0) = 0，且f ''(x0) = 0，或者f '(x0) = 0，但f ''(x0)不存在，那么一元函數極值的第二充分條件就失效了，此時可以考慮運用一元函數極值的第一充分條件。

(五)定理6.13(極值的第三充分條件)［3］

設函數f(x0)在x0的一個鄰域內存在直到n-1階的導數，且在x0處n階可導，且f '(x0) = f ''(x0) =…fn-1(x0) = 0，fn(x0)≠0，則當:

(1) n為偶數時，f(x)在x0處取得極值，且當fn(x0)＜0時，f(x)在x0取得極大值，當fn(x0)＞0時，f(x)在x0取得極小值。

(2) n為奇數時，f(x)在x0處不取極值。

【注】f(x)在x0處取得極值，并不意味著一定存在正整數n，使得:

f '(x0) = f ''(x0) =…fn-1(x0) = 0，fn(x0)≠0。

三、一元函數極值的應用

(一)利用一元函數極值確定函數的零值點

對于給定的一個連續函數，確定它有無零值點一般是用零點定理來判斷的，求出在某個區間上的極值又為使用零點定理做了鋪墊，因此一元函數極值的存在性判定定理在確定函數的零值點上有很重要的意義。

從而可知f(x)有唯一駐點x = e，且是極大值點，也是最大值點，最大值f(e) = k(k＞0)。

又因為f(0+) =-∞，f(e) = k，f(+∞) =-∞，由零點定理知f(x) 在(0，e)和(e，+∞)內嚴格單調，且f(0+) f(e)＜0，f(e) f(+∞)＜0知f(x)在(0，e)和(e，+∞)內有且僅有一個零點，故f(x)在(0，+∞)有且僅有兩個零值點。

(二)利用一元函數極值證明不等式

極值的判定定理在一元函數不等式的證明中非常重要，在證明的過程中，首先構造出輔助函數，將要證明的不等式變形，改寫成f(x)≥A(或f(x)≤A，其中A是常數)，其次求出它的導數，進而選擇合適的方法求出極值、端點值，最后進行比較得出結論。

例3:當a＞0，x＞0時，證明:x2+ 2ax + 1＜ex

證明:構造函數f(x) = x2+ 2ax + 1-ex，則f '(x) = 2x-ex-2a，f ''(x) = 2-ex，令f ''(x) = 0，得:ex= 2，x-ln 2，當0＜x＜ln 2時，f ''(x)＞0，f '(x)單調遞增;當x＞ln 2時，f ''(x)＜0，f '(x)單調遞減。

故f '(x)在x = ln 2時取得唯一極大值，即最大值，而f '(ln 2) = 2 ln 2-2-2a，因a＞0，所以f(ln 2)＜0。故當x＞0時，f '(x)＜f '(ln 2)＜0，即f(x)是嚴格單調函數，而lim x→0+f(x) = f(0) = 0，所以當x ＞0時，f(x)＜lim x→0+f(x) = 0，即:x2-2ax + 1-ex＜0，故x2-2xa + a＜ex。

(三)一元函數極值在生活中的應用

在經濟迅速發展的今天，競爭日趨激烈，怎樣才能達到投入小，產出多，成本低，效益高，利潤大的效果，以上都是我們在經濟管理中需要考慮的問題。這些問題的解答都可歸結于函數的最大值和最小值。可是，更值得注意的往往還不是這些數值本身，而是那些使函數獲得極值的點。

對于這一類的應用問題，最常見的情形是函數f(x)在其定義域內有唯一(或兩個)駐點，該函數在駐點處取極值，從而知其為最大值點，或最小值點(或一個為最大值點，另一個為最小值點)。

例4:某公司生產某型號產品，設年產量為a件，分若干批生產，每批生產準備費為b元，若產品均勻投放市場，即庫存量的平均數為批量的一半，假設每件產品庫存一年所需費用為c元，在不考慮其他因素的情況下，問每批生產多少件產品，可使庫存費和生產準備費之和最省?

解:設批量為x，庫存費和生產準備費之和為P(x)的函數關系是:

四、結束語

一元函數極值的存在性判定定理是數學分析教學中教學大綱的必學內容，本文重點介紹了一元函數極值的必要條件和充分條件。在生活中遇到求解最值的問題比較多。對于一元函數的最值問題均可以轉化成求解一元函數的極值。數學問題的求解千變萬化，因此只有不斷的學習，不斷的總結，才能更好的解決函數的極值問題。

［參考文獻］

［1］華東師范大學數學系.數學分析(上冊) (第四版)［M］.北京:高等教育出版社，2001.96.

［2］華東師范大學數學系.數學分析(上冊) (第四版)［M］.北京:高等教育出版社，2001.97.

［3］華東師范大學數學系.數學分析(上冊) (第四版)［M］.北京:高等教育出版社，2001:145-147.

［4］劉講軍，溫少挺.淺談一元函數求極值時兩種充分條件的合理選擇［J］.都市家教，2011(3) :249-260.

［5］馮長亮.判定一元函數極值點的一個定理［J］.菏澤師專學報，1991，36 (3) :36-37.

*作者簡介:張梁(1995-)，女，遼寧沈陽人，漢族，沈陽師范大學數學與系統科學學院，本科在讀。

中圖分類號:O171

文獻標識碼:A

文章編號:1006-0049-(2016)05-0126-02