四輪汽車運動性能的分析

楊鞏，劉守銀，王曉軍

（安徽江淮汽車股份有限公司技術中心，安徽 合肥 230022）

四輪汽車運動性能的分析

楊鞏，劉守銀，王曉軍

（安徽江淮汽車股份有限公司技術中心，安徽 合肥 230022）

通過將四輪汽車的運動簡化為剛體的平面運動，并將四輪汽車等價成二輪車模型，根據牛頓的運動學原理建立二個基本運動方程。在適當條件下通過對這兩運動方程式求解，可以得到車輛對于轉向角的響應。如果運動系是線性的，即使不直接求出運動方程的解，或者在運動方程求解過程中，通過計算、作圖等方法對特性方程的根進行仔細研究，捕捉到力學系的瞬態響應和運動性能。這些結果對整車設計和分析具有很高的參考價值。

四輪汽車；二輪車模型；運動性能；轉向角；響應

CLC NO.:U467.11 Document Code: A Article ID: 1671-7988 (2016)07-124-04

引言

嚴格地來說，一輛四輪汽車有上下、前后、左右、側傾、俯仰和橫擺6個自由度的運動，如果要把汽車的運動用嚴密的數學來表示，那這個數學公式將極其復雜。對轉向的基本運動特性進行分析時，一般將汽車看成一個剛體、忽略上下運動、行駛速度不變、左右輪胎特性相同，這樣，將一輛四輪汽車的運動簡化成橫向并行運動（左右）和車體的旋轉運動（橫擺）2這個自由度，用表示這兩個自由度的數學公式來進行分析，就簡單了，下面就基于這兩個自由度的運動方程式，對四輪汽車的運動性能進行分析。

1、基本運動方程

如果把四輪汽車的運動簡化成剛體的平面運動，

那么這個運動必須滿足牛頓運動定律，可用以下兩個方程式來表示：

(1) 質量×橫向加速度=橫向外力；

(2) 轉動慣性×角加速度=圍繞重心由外力產生的力矩。

如果把左右輪胎合在一起，并放在汽車中心面，四輪汽車等價為圖1所示的模型，上面兩個方程式就可改寫成：

其中，I：橫擺轉動慣量；υ：橫向速度；：橫向速度微分值；u：速度V在x向的分值；ω：橫擺角速度；Ff：前輪產生的側偏力；Fr：后輪產生的側偏力。

車輛在橫擺角β較小范圍內運動，下列公式成立：

因為假定速度不變，所以對公式（3）進行微分可得出：

利用上述公式，可將公式（1）改成：

公式（1）與公式(5)沒有本質性差別，而公式（5）中使用β這個參數更好，能直感理解汽車的平面運動。公式（2）和公式（5）是簡化為剛體的平面運動的汽車模型的基本運動方程式。

側偏角小時，由輪胎產生的側偏力（也叫轉彎力）可看成與輪胎側偏角成比例地變化，此假定在車體的橫向加速度小于0.5G時是基本成立的。由于前后各有兩個輪胎，如果前后輪胎的側偏角分別為βf和βr，那么，前后輪的側偏力分別為：

公式中由于相對+β產生-F的力，所以在前面加上負號，其中Kf和Kr分別為前后輪胎的側偏剛度，如圖1所示，Kf和Kr可用下列公式表示：

為了從公式（7）可知，前輪橫擺角βf公式中包含轉向角δ，它是運動方程的輸入參數。

將公式（6）、（7）代入公式（2）、（5）中，可得下列兩個線性聯立常微分方程：

用這兩個方程便于分析四輪汽車的運動，能簡捷地說明其運動性能。

2、穩態回轉特性

下面就通過分析用方程式（8）、（9）表示的運動系統的性能，來了解四輪汽車的運動性能。

穩態回轉車輛的重心的橫擺角沒有變化，橫擺角速度也不變，將微分方程（8）、（9）中的微分項設定為零，得到兩個代數方程式，這兩個方程式有β和ω兩個未知數，求解得：

δ=0時，表示β=ω=0的直線行駛狀態。如果改變轉角，保持β和ω的值不變，這樣運動是以一定速度和一定轉角的圓周運動，通常稱之為穩態回轉。如果回轉半徑為R，那么R=V/ω，從公式（11）可得：

當四輪汽車以一定轉角進行圓周運動時，如果A>0，隨著速度的增加，半徑增大；如果A<0與之相反，隨著速度的增大，半徑減小。從公式（12）可知，A的正負取決于?的正負，也就是說，對于轉角一定的圓周旋轉運動，隨著速度增加而變化的A值的大小取決于?的值大小，因此，將A稱之為穩定系數，這個值為正的車輛（也就是

?）為不足轉向(US)，負的車輛（也就是?）為過轉向(OS)，為零的車輛為中性轉向(NS)。速度非常慢，也就是?時，公式(10)、(11)、(13)可寫成：

這個狀態叫做極低速回轉，各個輪胎在完全無側偏角（因此，也不產生側偏力）狀態下旋轉。

橫軸表示速度的2次方，縱軸表示極低速時回轉半徑R0與以速度V行駛時回轉半徑R之比，圖2所示，這些直線的斜率就表示（車輛回轉運動的）穩定系數。

圖2 速度和回轉半徑比的關系

對于過度轉向的車輛，隨著速度的增加，回轉半徑減少，速度Vc時回轉半徑理論上為零，這個速度Vc叫臨界速度，可由求得。

圖3 穩態回轉狀態的速度和側偏角

從公式(10)可以算出穩態回轉狀態的速度和側偏角對應數值，并作出曲線圖，如圖3所示。

同樣，從公式（11）可以算出穩態回轉狀態的速度和橫擺角速度對應數值，并作出曲線圖，如圖4所示。從圖3和圖4可知，過轉向車輛以某一有限速度行駛時，橫擺角速度和側偏角同時發散，不能穩態回轉，這個速度是公式（17）的臨界速度；中性轉向車輛隨速度增加橫擺角速度線性增加，橫擺角減小；不足轉向車輛的橫擺角速度在某個有限速度時達到最大值，更大速度時緩慢減小，另外，由于不足轉向車輛的，從公式（10）來看，隨著速度的增加，當時，側偏角收縮到如公式（18）所得負的一定值。

如果得到橫擺角速度的值，根據公式（11）就可算出側向加速度ay：

用上式進行計算側向加速度時，速度很大時，側向加速度會超過1g，然而，車輛的運動是輪胎和地面的摩擦力產生，輪胎和地面的摩擦系數為μ，實際上車輛的側向加速度不會超過μg。由輪胎產生的側偏力是按照公式（6）這個數學模型計算而來的，其中不管側偏角增加多少，側偏力都隨著側偏角成比例增加的，所以造成計算時側向加速度超過1g。

3、穩定性和瞬態響應特性

3.1 瞬態響應和方向穩定性

在第2節已分析，過度轉向車輛的橫擺角速度和側偏角在臨界速度時發散，不能進行穩態旋轉。在此，從系統安全性方面對這一點進行分析。

系統的動態穩定性可從其系統的特性根進行分析。分別用β(s)、ω(s)、δ(s)表示β、ω、δ，對公式（8）、（9）進行拉普拉斯變換，展開、整理后可得到下列對時間s的二次特性方程式。

負，如公式（23）所示。由公式（23）所得到V0和公式（17）得到臨界速度Vc相等，也就是說，過轉向車輛超過臨界速度不能穩態回轉，也可以理解為是車輛動態不穩定的原因。

因為車輛具有不足轉向或中性轉向特性，以什么速度行駛都穩定，所以也正是這個理由，市場上賣的車的轉向特性都設計成不足轉向。

3.2 固有振動頻率和阻尼比

方程式（19）是單自由度一般強迫振動微分方程，把它與下列一般2次特性方程式：

進行比較，可求出車輛的阻尼比ξ和橫擺角速度波動時的固有振動頻率。2次系統的瞬態響應的收斂性一般是通過阻尼比和固有振動頻率的積來估算，這個值越大，整體響應的起步和收斂都比較好，具體計算如下：

? 增大輪胎的側偏剛度；

? 減小質量；

? 減小橫擺轉動慣量。

4、頻率響應特性

下面分析對于周期性轉向的穩態響應，這個響應被稱之為頻率響應。

現在來考慮以公式（26）正弦波狀輸入轉向角時的情況。

如果系統是線性的話，其穩態輸出x一定以公式（27）來表示，也就是說，對于正弦波輸入的穩態輸出：

? 輸出的頻率與輸入相同，都是ω；

? 振幅由a變成b；

? 只是相位相差φ。

因此，從對輸入頻率的振幅比b/a和相位差的分析入手，可把握對周期性輸入的車輛特性。

這個頻率響應特性可用圖來表示，如圖5所示，這個圖就是相對方向盤轉向角橫擺角速度的頻率響應。這個圖可根據基本運動方程式（8）、（9）和轉向器傳動比通過計算求得，也可通過整車試驗數據來求得。在分析汽車的操縱穩定性時，一般多看這樣的橫擺角速度頻率響應，而橫擺角速度頻率響應隨速度變化而變化，所以一般多看速度100km/h時的響應。

圖5 相對轉向角橫擺角速度頻率響應

圖5的上圖為相對輸入頻率的振幅比（多稱之為增益），下圖是相對頻率的相位差。振幅比一般以分貝（db）（x [db]=20）表示，根據0 [db]=20，0分貝對應的振幅比x為1，表示輸入和輸出的振幅相等；振幅比x為負，表示輸出的振幅比輸入的振幅小；振幅比x為正，表示輸出的振幅比輸入的振幅大。另外，相位差為負，表示輸出滯后于輸入。

下面就圖5說明幾個關注點。

首先，關注的是增益圖的1點（圖5的上圖），該點是極低頻率的增益值，表示極低頻率時一定轉角的橫擺角速度的增益是一個穩定值，在圖5中，這個值約為-10[db]，從-10[db]=20可知，橫擺角速度為0.32，也就是，這個車輛方向盤轉10°時，穩態橫擺角速度為3.2°/s。對于公式（11），這個值與考慮轉向器傳動比的影響的穩態回轉的橫擺角速度對應。

關注點2是增益的峰值的高度。對于特性方程式（8）、（9）表示的汽車模型，阻尼比變小，這個值就變大，因此，峰值的高低成為表示橫擺角響應的衰減程度的標尺，希望車輛有良好衰減特性，這個峰值不大最好，乘用車通常這個值為2~4[db]。

關注點3是增益在峰值時的頻率。因為這個峰值的頻率（多稱之為共振頻率）幾乎與固有頻率一致，所以峰值頻率越大，速應性就好。對駕駛員來說，感覺方向盤反應比較快。對乘用車來說，通常在1~1.3[Hz]的范圍內，而對賽車來說，這個值比較大。

關注點4是相位延遲。相位延遲越大，相對方向盤轉向角的輸入，橫擺角速度就滯后。因此，對于很快的轉向，為了不使橫擺角速度過慢，相位延遲最好小一點，一般與頻率1[Hz]的相位延遲進行橫擺響應特性比較，一般乘用車在1 [Hz]時相位延遲的取值范圍為20~40°。

5、結論

通過將四輪汽車簡化為剛體的平面運動的汽車模型，再等價成二輪車模型，根據牛頓的運動學原理建立二個基本運動方程。

從系統安全性方面進一步分析過轉向不能進行穩態回轉的原因，并指出正是過轉向的不穩定，所有車的轉向特性必須設計成不足轉向。同時分析了瞬態響應特性與行駛速度、振動頻率和阻尼乘積的關系，強調車輛操穩設計時必須關注操穩因素，增大輪胎的側偏剛度，減小車輛的質量和橫擺轉動慣量。

通過輸入一個正弦函數轉向角，對橫擺角速度的頻率響應特性的分析，并把這個響應用圖表示出來，充分說明頻率與振幅比（增益）、相位差的關系和特性，并詳細分析了圖中四個關注點對車輛的運動性能影響，并說明設計時取值范圍。

通過計算、作圖等方法對運動方程的根進行仔細研究，捕捉到運動系的瞬態響應和運動性能等關鍵特性，對整車設計和分析具有很高的參考價值。

[1] 自動車の運動と制御(第二版)安部正人東京電機大學出版局，2012.1.20.

[2] 社団法人自動車技術會.自動車技術ハンドブック(第一分冊)基礎?理論編 精興社.2011.5.10改訂版第3刷発行.

[3] 清華大學余志生. 汽車理論. 機械工業出版社(第四版),2004.4.

[4] 自動車用タイヤの基礎と実際 株式會社ブリヂストン 東京電機大學出版局,2009.11.20.

[5] 車両運動性能とシャシーメカニズム 宇野高明 グアンプリ出版,2011.3.10第12刷発行.

An analytical study of motion performanceabout four-wheelautomobile

Yang Gong, Liu Shouyin, Wang Xiaojun
( TheCenter of Technology of Jianghuai Automobile Co. Ltd., Anhui Heifei 230022 )

The paper establishes two fundamental motion equations under the kinematic principle of Newton by simplifying motion of the four-wheel automobile into plane motion of rigid-body and transforming the four-wheel into two-wheel model. Then the response of automobile to steering angle can be obtained by solving the two motion equations under appropriate conditions. If the motion system of the analyzed object is linear,whetherthe motion equations are not solved directlyorat course of solving motion equations, the transient response of the mechanical system andmotion performance can also be captured by studying the characteristic equation root with calculation, graphic representation and other approaches, which will be of great reference values to the whole-vehicle design and analysis.

Four-wheel Automobile; Two-wheel AutomobileModel; Motion Performance; Steering Angle; Response

U 467.11

A

1671-7988(2016)07-124-04

楊鞏，就職于安徽江淮汽車股份有限公司。

10.16638/j.cnki.1671-7988.2016.07.039