簡支截頂圓錐殼固有振動特性分析及仿真驗證

周云澤，趙應龍（1. 海軍工程大學 振動與噪聲研究所，湖北　武漢 430033；2. 船舶振動噪聲重點實驗室，湖北　武漢 430033）

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簡支截頂圓錐殼固有振動特性分析及仿真驗證

周云澤1,2，趙應龍1,2
（1. 海軍工程大學 振動與噪聲研究所，湖北武漢 430033；2. 船舶振動噪聲重點實驗室，湖北武漢 430033）

摘要:采用 Donnell 運動方程和冪級數(shù)法，計算兩端簡支的截頂圓錐殼各階周向模態(tài)下的前 2 階固有頻率，通過數(shù)值計算和有限元仿真對比，研究冪級數(shù)法計算圓錐殼固有頻率的收斂性和準確性。此外，分析了殼體參數(shù)對前 2 階固有頻率的影響。

關鍵詞：冪級數(shù)法；圓錐殼；固有振動特性；仿真

0　引　言

圓錐殼是水下航行器尾部的主要結(jié)構(gòu)形式，對于圓錐殼振動的研究有利于減小水下航行器振動和噪聲。L.Tong[1]提出一種冪級數(shù)的方法，給出各向同性和各項異性圓錐殼的自由振動解析解。Mauro Caresta[2]以冪級數(shù)法為基礎，分析在低頻范圍內(nèi)，截頂圓錐殼在流體負載條件下的振動特性。駱東平等[3]采用遷移矩陣法分析了環(huán)肋圓錐殼的自由振動特性。陳美霞[4]分析加肋的圓錐殼在水中的振動特性。朱顯明等[5]通過模型試驗的方法研究截頂圓錐殼的自由振動特性，并綜合相關文獻，分析殼體參數(shù)改變對殼體固有頻率的影響。

對截頂圓錐殼固有振動特性的研究，可以了解水下航行器尾部的振動模式。本文通過數(shù)值計算研究了冪級數(shù)法計算截頂圓錐殼各階周向模態(tài)下前兩階固有頻率的收斂性和準確性，并采用有限元法進行仿真驗證。進一步討論了殼厚、半錐角以及軸向長度等參數(shù)對圓錐殼振動特性的影響。

1　基本理論

1.1圓錐殼振動方程

如圖1 所示，引入（x，θ）坐標系，U，V和W 分別表示殼體3個方向振動的位移；圓錐殼小端中面半徑R1；大端中面半徑 R2；軸線方向長度 L；R0為殼體平均半徑；R0處為（x，θ）坐標系原點，殼體任一位置處半徑可表達為

圖1　截頂圓錐殼模型Fig. 1　Truncated conical shell model

由 Donnell 殼體理論，圓錐殼振動方程可以表示為[6]

式中：ρ為殼體密度；h為殼厚；ω為殼體振動角頻率；Lij為偏微分算子[1]。

由冪級數(shù)法，可以將方程（2）的解表示為

其中：

n 為殼體周向模態(tài)，am，bm和cm為相應的冪級數(shù)系數(shù)。將式（3）代入式（2）中，根據(jù) x 的同次冪系數(shù)相等，可得到相應的遞推公式。由此，冪級數(shù)的未知系數(shù) am，bm(m ≥ 2) 和 cm(m ≥ 4) 可用8個系數(shù) a0，a1，b0，b1，c0，c1，c2，c3表示，如式（4）所示。

式（4）中的系數(shù) A(1～8)，B(1～7)和 C(1～15)由殼體參數(shù)和固有頻率所組成[2]。

1.2邊界條件

本文考慮簡支邊界條件，即 V = W = Nx= Mx= 0，其中 Nx為殼體母線方向的薄膜力，Mx為彎矩。

以 X = [a0，a1，b0，b1，c0，c1，c2，c3]T作為待求向量，可以得到形如 DX = 0 的矩陣方程，其中 D 為系數(shù)矩陣，令系數(shù)矩陣的行列式為 0，可得到固有頻

率[7–8]。

2　數(shù)值計算和有限元仿真

本文的圓錐殼模型參數(shù)如下：大端中面半徑 R2= 0.548 m；小端中面半徑 R1= 0.233 m；殼厚 h = 0.002 m；軸線方向長度 L = 1 m；楊氏模量 E = 2.1 × 1011N/m2；泊松比 μ = 0.3；密度 ρ = 7 800 kg/m3。

2.1數(shù)值計算

通過 Matlab 編制程序，計算以上模型在不同周向模態(tài) n 下的前兩階固有頻率，m 取不同值時，計算結(jié)果如表 1和表 2所示。

表1　各階周向模態(tài)下第 1 階固有頻率（Hz）Tab. 1　The first natural frequencies under each circumferential mode number（Hz）

m 值越大，冪級數(shù)法計算的固有頻率值越準確[1]，為確定得到足夠精度結(jié)果時 m 的最小值，對各階周向模態(tài) n 下，不同 m 值的固有頻率值做多項式擬合，擬合曲線在 m 處的斜率為 k(n,j,m)，其中 n = 1～Nj為周向模態(tài)數(shù)，j = 1，2 為前 2 階固有頻率。其均方根 Δk為

在 m = 11 時，Δk= 0.8，可見此時各條曲線斜率已近似為0，表明結(jié)果已收斂。為方便計算，本文引入不同周向模態(tài) n 下相鄰 m 值的固有頻率之差的均方根Δ，即

表2　各階周向模態(tài)下第二階固有頻率（Hz）Tab. 2　The second natural frequencies under each circumferential mode number（Hz）

其中 x(n,j,m)為周向模態(tài) n 下第 j 階固有頻率在 m 處的值，m = 0，1，2，…

Δk和 Δ 正相關，以均方根 Δ 判斷計算結(jié)果的收斂性。在 m = 11 時，均方根 Δ = 16.5，因此，若均方根 Δ ≤16.5 時，計算結(jié)果可達到收斂。

2.2有限元仿真

有限元仿真過程，在 Ansys 軟件中采用 shell63 單元建立圓錐殼模型，劃分網(wǎng)格后，進行模態(tài)分析。前2階固有頻率仿真結(jié)果見表 3。圖2 和圖3 分別給出了周向模態(tài) n = 3 和 n = 5 時的前 2 階模態(tài)結(jié)果。

圖4 是 m = 11 時固有頻率的數(shù)值計算結(jié)果和有限元仿真結(jié)果對比圖，從圖4 中可以看出兩者十分接近。此時數(shù)值計算結(jié)果的均方根為 16.5。

表3　各階周向模態(tài)下前兩階固有頻率仿真結(jié)果（Hz）Tab. 3　The simulation results of the first two natural frequencies under each circumferential mode number（Hz）

由此可見，冪級數(shù)法計算簡支截頂圓錐殼各階周向模態(tài)下前 2 階固有頻率，在均方根小于 16.5 時其結(jié)果比較準確。下文均以此作為計算標準。

圖2　周向模態(tài) n = 3 時模態(tài)Fig. 2　Mode of circumferential mode number n = 3

圖3　周向模態(tài) n = 5 時模態(tài)Fig. 3　Mode of circumferential mode number n = 5

圖4　數(shù)值仿真與有限元仿真結(jié)果對比Fig. 4　Contrastingresults of numerical calculation and the finite element simulation

3　殼體參數(shù)對固有頻率的影響

本文考慮了殼厚、半錐角以及軸向長度等因素對圓錐殼固有頻率的影響。

3.1殼厚對固有頻率的影響

如圖5（a）所示，考慮殼厚對固有頻率的影響。m = 11，Δ = 23.5；m = 12，Δ = 13.6?？梢?m = 12 時結(jié)果已收斂。如圖6 所示，殼厚增大，簡支圓錐殼的前2階固有頻率總體表現(xiàn)為增大。周向模態(tài) n = 1～3 時，殼厚對前2階固有頻率影響不大，周向模態(tài) n = 4～9時，殼厚越大，對固有頻率的影響越大。

3.2半錐角及軸向長度對固有頻率的影響

如圖5（b）所示，考慮半錐角對固有頻率的影響。m = 11，Δ = 27.0；m = 12，Δ = 11.3?？梢?m = 12時結(jié)果已收斂。從圖7 中可以看出，隨半錐角減小，固有頻率增大，并且在周向模態(tài)數(shù)較低時，半錐角對固有頻率的影響比較明顯。

圖5　殼體參數(shù)改變圖Fig. 5　The diagram of shell parameters change

圖6　殼厚對固有頻率的影響Fig. 6　The effects ofthickness on the natural frequencies

圖7　半錐角對固有頻率影響Fig. 7　The effects of semi-cone angle on the natural frequencies

如圖5（c）所示，考慮軸向長度對固有頻率的影響。m = 12，Δ = 19.8；m = 13，Δ = 12.0。可見 m = 13時結(jié)果已收斂。從圖8 中可以看出，隨軸向長度減小，固有頻率增大，并且與圖7 情況類似，在周向模態(tài)數(shù)較低時，軸向長度對固有頻率的影響比較明顯。

如圖5（d）所示，同時考慮半錐角和軸向長度的影響。m = 11，Δ = 29.2；m = 12，Δ = 14.2?？梢?m = 12 時結(jié)果已收斂。如圖9 所示，從圖中可以看出，當半錐角 α 增大，殼體軸向長度 L 減小時，前2階固有頻率整體表現(xiàn)為增大，可見該過程中，與半錐角的影響相比較，軸向長度對固有頻率的影響更大。另外，與圖7 和圖8 的情況類似，在周向模態(tài)數(shù) n 較小時，兩者對固有頻率的影響較大。

圖8　軸向長度對固有頻率影響Fig. 8　The effects of axial length on the natural frequencies

圖9　半錐角及軸向長度對固有頻率影響Fig. 9　The effects ofsemi-cone angle andaxial length of conical shells on the natural frequencies

4　結(jié)　語

本文為研究冪級數(shù)法計算簡支截頂圓錐殼前2階固有頻率，得到準確結(jié)果時，m 取的最小值，提出以均方根作為收斂性的評判標準。進一步研究了殼體參數(shù)對固有頻率的影響。均方根標準的提出，在保證準確性的基礎上，減少了計算固有頻率的時間，提高了效率。分析殼體參數(shù)對固有頻率的影響，可指導殼體結(jié)構(gòu)設計，避免殼體發(fā)生共振。

參考文獻：

[1]TONG L Y. Free vibration of orthotropic conical shells[J]. International Journal of Engineering Science, 1993, 31(5): 719–733.

[2]CARESTA M, KESSISSOGLOU N J. Vibration of fluid loaded conical shells[J]. Acoustical Society of American, 2008, 124(4): 2068–2077.

[3]駱東平, 趙玉喜. 環(huán)肋圓錐殼自由振動特性分析[J]. 振動與沖擊, 1990(4): 64–69.

[4]陳美霞, 鄧乃旗, 張聰, 等. 水中環(huán)肋圓錐殼振動特性分析[J].振動與沖擊, 2014, 33(14): 25–32. CHEN Mei-xia, DENG Nai-qi, ZHANG Cong, et al. Vibration of submerged and ring stiffened conical shells[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(14): 25–32.

[5]朱顯明, 張國良, 師漢民. 截頂圓錐殼體的自由振動分析[J].艦船科學技術, 1997(5): 33–36.

[6]LEISSA A W. Vibration of shells[M]. New York: American Institute of Physics, 1993.

[7]CARESTA M, KESSISSOGLOU N J. Free vibrational characteristics of isotropic coupled cylindrical-conical shells[J]. Journal of Sound and Vibration, 2010, 329(6): 733–751.

[8]CARESTA M, KESSISSOGLOU N J. Acoustic signature of a submarine hull under harmonic excitation[J]. Applied Acoustics, 2010, 71(1): 17–31.

The natural vibrational characteristics of simply supported truncatedconical shells and the simulation verification

ZHOU Yun-ze1,2, ZHAO Ying-long1,2
(1. Institute of Noise and Vibration, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China; 2. National Key Laboratory on Ship Vibration and Noise, Wuhan 430033, China)

Abstract:With Donnell equations of motion and power series method applied, the first two natural frequencies of the truncated conical shells simply supported at its ends under each circum ferential mode number are calculated. By contrasting results of numerical calculation and the finite element simulation, the convergence and accuracy of power series method are investigated in calculating natural frequencies of the conical shells. In addition, the effects of parameters of conical shells on the first two natural frequencies are analyzed.

Key words:power series；conical shells；natural vibrational characteristics；simulation

作者簡介：周云澤(1990–)，男，碩士研究生，研究方向為振動與噪聲控制。

基金項目：海軍工程大學自然科學基金資助項目(HGDKYJGZX15021)

收稿日期：2015–06–03； 修回日期：2015–06–12

文章編號：1672–7619(2016)03–0045–05

doi：10.3404/j.issn.1672–7619.2016.03.010

中圖分類號：U661.44；O327

文獻標識碼：A