函數(shù)中含絕對值問題的求解策略

●戴海林　(瑞安中學(xué)　浙江瑞安　325200)

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函數(shù)中含絕對值問題的求解策略

●戴海林(瑞安中學(xué)浙江瑞安325200)

1　命題趨勢分析

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考數(shù)學(xué)中突出考查的主干知識，在歷年浙江省數(shù)學(xué)高考中都占較大的比重，考查涉及函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)及其綜合應(yīng)用，命題設(shè)計以基本初等函數(shù)、抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù)為背景，從函數(shù)與方程、不等式等知識交匯處來立意，突出考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想．試題中既有靈活多變的客觀性試題，又有內(nèi)涵豐富的解答題，要求考生有較高的理性思維能力．

由于浙江省深化課程改革要求減少必修課程，從而使2015年和2016年浙江省高考數(shù)學(xué)的考查內(nèi)容發(fā)生了較大的變化，不再要求考查導(dǎo)數(shù)．綜觀2015年浙江省高考試題及各地區(qū)模擬試題不難發(fā)現(xiàn)，命題時設(shè)計解答題主要是以二次函數(shù)為背景，而小題著重考查函數(shù)概念與性質(zhì)為主，最明顯的特征是試題中大多都帶有絕對值符號，顯然是想通過絕對值符號來增加函數(shù)試題背景的復(fù)雜性，從而有利于考查學(xué)生分類討論、轉(zhuǎn)化化歸的能力與意識．因此，在2016年的高考復(fù)習(xí)中仍然應(yīng)重視函數(shù)中含絕對值問題的研究，努力去發(fā)現(xiàn)并總結(jié)一些解決這類問題的思路與方法．

2　知識要點梳理

2．1有關(guān)函數(shù)的知識體系

圖1

高中階段學(xué)習(xí)的函數(shù)及相關(guān)內(nèi)容包括:必修1中的函數(shù)、必修4中的三角函數(shù)及必修5中的數(shù)列，在復(fù)習(xí)時應(yīng)梳理并把握函數(shù)有關(guān)內(nèi)容的知識體系(如圖1)、弄清每個內(nèi)容的本質(zhì)所在及其相互關(guān)系，比如對于函數(shù)性質(zhì)的復(fù)習(xí)，必須明確每個性質(zhì)的定義、本質(zhì)及數(shù)學(xué)表示，加強性質(zhì)的綜合應(yīng)用，并要把握研究一個新函數(shù)性質(zhì)的順序:定義域、周期性、奇偶性、單調(diào)性、值域．我們知道，定義域是研究一切性質(zhì)的基礎(chǔ)，有了函數(shù)周期性或奇偶性就可以縮小研究范圍，單調(diào)性是函數(shù)最重要的性質(zhì)，知道了單調(diào)性就可以確定函數(shù)值域(最值)，從而可以解決函數(shù)零點、恒成立等問題．

2．2有關(guān)絕對值的重點知識

1)絕對值的含義:

它的幾何意義表示數(shù)軸上坐標(biāo)為a的點到原點的距離．

2)絕對值不等式的解法:

①從絕對值的幾何意義出發(fā)可得出

②從函數(shù)的圖像出發(fā)可得出

3)絕對值三角不等式:

|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|．

3　解題策略剖析

3．1利用分段函數(shù)分解絕對值問題

我們知道含絕對值的函數(shù)是分段函數(shù)的另一類表現(xiàn)形式，因此，把函數(shù)中含絕對值的問題轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來解決是最基本的方法．

A．(－∞，3)B．［3，+∞)

C．(0，3)D．(3，+∞)

分析設(shè)函數(shù)

利用圖像容易得出:當(dāng)x∈(0，3)時，方程g(x)=m 有2個不同的解，即函數(shù)f(x)有2個不同的零點．故選C．

例2已知函數(shù)f(x)=x2－|2x－a|．

1)若a=1，求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

2)當(dāng)a＞0時，若對任意的x∈［0，+∞)，不等式f(x－1)≤2f(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

分析1)當(dāng)a=1時，

2)不等式f(x－1)≤2f(x)可化為

即2|2x－a|－|2x－(2+a)|≤x2+2x－1對任意的x∈［0，+∞)恒成立．

式子左側(cè)含2個絕對值可分3類情形討論，因為a＞0，所以可分類如下:

評注從例1和例2的分析中可以看出，分類討論是解決絕對值問題的基本方法．一般地，要去掉一個絕對值需分2類，去掉2個絕對值需分3類，……，依次類推，從而將它轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)問題．對于分段函數(shù)問題，其基本方法是“分段歸類”，即自變量涉及到哪一段就用這一段的解析式來處理．

3．2利用幾何意義表示絕對值問題

盡管使用分類討論是解決絕對值問題的基本方法，但許多特定背景下的絕對值問題也可以選擇其他的方式來避免繁瑣的分類討論．

分析1設(shè)函數(shù)u=x2－2x－t，則

由題意可知－1－t=－2或3－t=2，可得t=1．

分析2設(shè)函數(shù)u= x2－2x，則－1≤u≤3，而y= |u－t|表示數(shù)軸上坐標(biāo)為u的點A到坐標(biāo)為t的點B之間的距離(如圖2所示)，且點A在區(qū)間［－1，3］內(nèi)移動，易得t=1．

圖2

例4若對于任意的x，y恒成立，則實數(shù)a的值為______．

分析1設(shè)f(x)=|x+1|+|x－a|，g(y)= －y2+2y+2，根據(jù)題意得f(x)min≥g(y)max，求f(x)的最小值應(yīng)先對a分情況(a＞1，a=1，a＜1)討論，再對每一類情形進行分類去絕對值，較為繁瑣．

分析2由絕對值的幾何意義知|x+1|+ |x－a|表示數(shù)軸上坐標(biāo)為x的點到坐標(biāo)為－1的點及坐標(biāo)為a的點的距離之和，顯然它的最小值為|a+1|，而g(y)max=3，則由|a+1|≥3得a≥2或a≤－4．

評注從例3和例4的分析中可以發(fā)現(xiàn):有時利用絕對值的幾何意義可以直觀而又簡便地解決問題，有時可以利用|x－a|+|x－b|的最小值為|a－b|，|x－a|－|x－b|的最大值為|a－b|，從而解決絕對值問題．

3．3利用圖形對稱轉(zhuǎn)化絕對值問題

函數(shù)圖像的幾何特征與函數(shù)性質(zhì)的數(shù)量特征緊密結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法，假如我們能夠發(fā)現(xiàn)絕對值符號下函數(shù)的圖形特征，就能把函數(shù)中含絕對值問題中的“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”進行解題，這是避免分類討論的又一種有效手段．

例5設(shè)max{a，b}表示數(shù)a，b中的最大值，若f(x)= max{e|x|，e|x－2|}，則f(x)的最小值為_____;若f(x)=關(guān)于x= 2016對稱，則t =______．

圖3

分析畫出函數(shù)y=e|x|， y=e|x－2|的圖像，可以發(fā)現(xiàn)它們的圖像形狀一樣，前者是偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱，后者的圖像關(guān)于直線x=2對稱，2個圖像關(guān)于直線x=1對稱，因此函數(shù)f(x)的圖像為圖3中的實線部分，可得f(x)的最小值為e;類似地，若f(x)=max{e|x|，e|x－t|}關(guān)于x=2016對稱，則t=4032．

例6存在函數(shù)f(x)滿足:對任意x∈R都有()

A．f(sin2x)=sinxB．f(sin2x)=x2+x

C．f(x2+1)=|x+1|D．f(x2+2x)=|x+1|

分析1這是2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第7題．試題較為抽象，但若采用特殊值排除法，選出正確答案并不難，比如將代入，發(fā)現(xiàn)選項A，B都錯;再將x=1，x=－1代入，發(fā)現(xiàn)選項C錯．故選D．

分析2對于選項D，設(shè)函數(shù)u=x2+2x，t= |x+1|，可知這2個函數(shù)圖像都關(guān)于直線x=－1對稱，且它們在對稱軸2側(cè)都是單調(diào)函數(shù)，當(dāng)x≤－1時，對于每一個x的值，u，t都是唯一的，從而滿足題意．對于選項C，函數(shù)u=x2+1，t=|x+1|的圖像的對稱軸不一樣，當(dāng)x=1，x=－1時u的值相等，但t的值不相等，不符合函數(shù)定義，對于選項A，B也可一樣處理，很容易發(fā)現(xiàn)它們不符合函數(shù)概念．

例7已知函數(shù)f(x)=|x－3|+|x－a|，g(x)=x3+1，若函數(shù)y=f(g(x))的圖像為軸對稱圖形，則實數(shù)a可能的值是()

A．－1B．1C．2D．3

分析函數(shù)g(x)=x3+1的圖像關(guān)于點(0，1)成中心對稱，設(shè)t=g(x)，則

評注對于函數(shù)f(x)，可以得出以下結(jié)論:函數(shù)y=f(|x|)是偶函數(shù)，它的圖像是保留f(x)在y軸上及右側(cè)部分的圖像，y軸左側(cè)的圖像只要作出右側(cè)圖像關(guān)于y軸的對稱圖即可;函數(shù)y=|f(x)|的圖像是保留f(x)在x軸上及上方部分的圖像，并將x軸下方圖像作出它關(guān)于x軸的對稱圖即可;函數(shù)f(x)=|x－a|+|x－b|的圖像關(guān)于直線x=對稱，函數(shù)f(x)=|x－a|－|x－b|的圖像關(guān)于點成中心對稱．

3．4利用等價轉(zhuǎn)換簡化絕對值問題

例8設(shè)函數(shù)f(x)=x|x－a|+2x，若存在a∈［0，4］使得關(guān)于x的方程f(x)=tf(a)有3個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)t的取值范圍是()

分析由已知得

圖4

例9若存在實數(shù)x0∈［1，3］，使得不等式成立，則實數(shù)a 的取值范圍是______．

則由題意知只要存在x0∈［1，3］使得a+3≥x0+成立．又，則a+3≥4且 5≥a－3，可得1≤a≤8．

評注在研究函數(shù)中含絕對值問題的最值、零點等問題時，等價轉(zhuǎn)換、數(shù)形結(jié)合是基本的解題方法，我們常將不等式問題轉(zhuǎn)化為2個函數(shù)圖像的上、下關(guān)系來解，方程解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為2個熟悉的函數(shù)圖像的交點個數(shù)問題來求解，力爭減少分類討論．

3．5利用放大、縮小巧解絕對值問題

例10已知二次函數(shù)f(x)=－x2+bx+c在區(qū)間(m，m+1)(其中m∈R)上存在2個不同零點，設(shè)則()

分析設(shè)函數(shù)f(x)的2個零點為α，β(其中α≠β)，則

且

設(shè)t=min{|f(m)|，|f(m+1)|}，則

例11已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，記M(a，b)是|f(x)|在區(qū)間［－1，1］上的最大值．

1)證明:當(dāng)|a|≥2時，M(a，b)≥2;

2)當(dāng)a，b滿足M(a，b)≤2，求|a|+|b|的最大值．

分析這是2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第18題，主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、分類討論及轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想．

1)當(dāng)|a|≥2時可知f(x)在［－1，1］上是單調(diào)函數(shù)，則

顯然M(a，b)≥|f(1)|，M(a，b)≥|f(－1)|，則

故M(a，b)≥2．

(此題也可通過分a≥2與a≤－2討論來解決．)

2)由M(a，b)≤2得

則|a+b|≤3，

當(dāng)a=－2，b=－1時取等號;同理由|1－a+b|= |f(－1)|≤2得

當(dāng)a=2，b=－1時取等號．又

故|a|+|b|的最大值為3．

評注解決函數(shù)中含絕對值的范圍或最值問題時，經(jīng)常構(gòu)造2個式子的和或積，再利用基本不等式或絕對值三角不等式來進行放縮，從而借助整體思想巧妙得到解決，但要注意取等號的條件．

4　精題集萃

1．設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，對于函數(shù)h(x)= |f(x－1)|+g(x－1)，則下列結(jié)論中正確的是()

A．h(x)的圖像關(guān)于點(1，0)對稱

B．h(x)的圖像關(guān)于點(－1，0)對稱

C．h(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱

D．h(x)的圖像關(guān)于直線x=－1對稱

A．(4，16)B．(0，12)

C．(9，21)D．(15，25)

3．設(shè)函數(shù)f(x)=|log2ax|在上的最大值為M(a)，則M(a)的最小值是()

4．已知f(x)=a|x－2|，若f(f(x))＜f(x)恒成立，則a的取值范圍為()

A．a(chǎn)≤－1B．－2＜a＜0

C．0＜a＜2D．a(chǎn)≥1

5．已知函數(shù)f(x)=x2+ax+1，若存在x0，使同時成立，則實數(shù)a的取值范圍是______．

6．定義域為R的奇函數(shù)f(x)=x|x+m|，若對任意的x1，x2∈［1，1+a］，總有|f(x1)－f(x2)|≤ 2，則實數(shù)a 的取值范圍是______．

7．已知f1(x)=|x－1|，fn+1(x)=|(n+ 1)fn(x)－1|，其中n∈N*，若函數(shù)y=f3(x)－kx恰有4個不同的零點，則正實數(shù)k 的值為______．

1)若f(x)在區(qū)間［0，1］上不單調(diào)，求a的取值范圍;

2)若對于任意的a∈(0，4)，存在x0∈［0，2］，使得|f(x0)|≥t，求t的取值范圍．

參考答案

1．C2．B3．B4．A

7．2

2)

當(dāng)且僅當(dāng)x=0或x=2時取等號，又(1+|a－2|)min=1，因此t≤1．