自選模塊備考策略

2016-05-19 08:55:53范東暉北侖中學(xué)浙江寧波315800

中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2016年2期

●范東暉　(北侖中學(xué)　浙江寧波　315800)

自選模塊備考策略

●范東暉(北侖中學(xué)浙江寧波315800)

2012年深化課程改革以來(lái)，浙江省高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容作了相應(yīng)調(diào)整，原來(lái)一些高考必考部分的內(nèi)容，如導(dǎo)數(shù)和概率等，從2015年起調(diào)整到選考部分．

1　知識(shí)內(nèi)容

2016年數(shù)學(xué)高考自選部分包含“復(fù)數(shù)與導(dǎo)數(shù)”和“計(jì)數(shù)原理與概率”這2個(gè)模塊．其中復(fù)數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊包括的知識(shí)內(nèi)容有:導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、極值、最大(小)值，復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算．計(jì)數(shù)原理與概率模塊包括的知識(shí)內(nèi)容有:加法原理和乘法原理，排列與組合，二項(xiàng)式定理，楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)，事件、事件的關(guān)系與運(yùn)算，互斥、對(duì)立、獨(dú)立事件，概率與頻率，古典概型，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．

2　命題分析

“18選6”作為浙江省高考的一個(gè)特色，其中2個(gè)數(shù)學(xué)模塊的考查，內(nèi)容豐富，考查的知識(shí)點(diǎn)多、涉及面廣．預(yù)計(jì)2016年將繼續(xù)保持每個(gè)模塊各2個(gè)小題的格局，總體難度較之2015年以前應(yīng)有所降低，更注重主干知識(shí)和基本思想方法的考查．

2．1導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用通常圍繞3個(gè)點(diǎn)進(jìn)行命題: 1)圍繞導(dǎo)數(shù)的幾何意義展開(kāi)，設(shè)計(jì)求曲線的切線方程，根據(jù)切線方程求參數(shù)值等問(wèn)題，這類(lèi)試題在考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的同時(shí)也考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、函數(shù)等知識(shí)，試題的難度不大;2)圍繞利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)展開(kāi)，設(shè)計(jì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值，已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)或者參數(shù)范圍等問(wèn)題，在考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的同時(shí)考查分類(lèi)與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法;3)考查導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用，涉及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題以及方程等，同時(shí)考查邏輯思維能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．命題的重點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等問(wèn)題．

2．2復(fù)數(shù)

主要考查復(fù)數(shù)的概念、分類(lèi)，復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的運(yùn)算，特別是復(fù)數(shù)的乘法與除法運(yùn)算，求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的虛部、復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置等．常常將復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義和復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算融合在一起，其中復(fù)數(shù)的運(yùn)算、純虛數(shù)的概念以及“分母實(shí)數(shù)化”是考試的重點(diǎn)．運(yùn)算時(shí)注意“i2=－1”以及運(yùn)算的準(zhǔn)確性．

2．3計(jì)數(shù)原理

對(duì)2個(gè)計(jì)數(shù)原理及排列、組合的考查主要是直接利用計(jì)數(shù)原理、排列、組合知識(shí)進(jìn)行計(jì)數(shù);對(duì)二項(xiàng)式定理的考查主要是求展開(kāi)式中的某一項(xiàng)、某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、各項(xiàng)系數(shù)和等，考查賦值技巧，難度不大．其中與通項(xiàng)公式有關(guān)問(wèn)題的考查是命題的重點(diǎn)．

2．4概率

概率的考查常常結(jié)合排列組合知識(shí)進(jìn)行，其中古典概型為命題的重點(diǎn)內(nèi)容，常與互斥事件、對(duì)立事件相結(jié)合命題，考查古典概率的計(jì)算求解能力和枚舉、分類(lèi)討論等思想方法．從近幾年的命題情況看，概率問(wèn)題命題的背景通常是摸球問(wèn)題．

3　典題剖析

分析顯然x∈R，對(duì)f(x)進(jìn)行求導(dǎo)，得

求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，轉(zhuǎn)化為求解不等式f'(x)＞0，即

從而解得函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－1］和［0，+∞)．

評(píng)注利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的步驟:

1)根據(jù)函數(shù)f(x)的解析式求解其定義域;

2)根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及求導(dǎo)法則求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x);

3)不等式f'(x)＞0的解集就是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，不等式f'(x)＜0的解集就是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;

4)根據(jù)上面的解題過(guò)程得出結(jié)論．

分析先考慮f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，再對(duì)f(x)進(jìn)行求導(dǎo)，得

將y=f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f'(x)＜0在(0，+∞)上有解問(wèn)題，即考慮ax2+x－1＞0 在(0，+∞)上有解，需對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論:

1)當(dāng)a=0時(shí)，x＞1在(0，+∞)上有解;

2)當(dāng)a＞0時(shí)，ax2+x－1＞0在(0，+∞)上總有解;

3)當(dāng)a＜0時(shí)，要使ax2+x－1＞0在(0，+∞)上有解，只需ax2+x－1=0有2個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，必須

評(píng)注已知單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，這里需要對(duì)x2的系數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)討論．當(dāng)然本題還有另一種常用的解法:通過(guò)參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化為a＞，其中x∈(0，+∞)有解來(lái)考慮．

評(píng)注復(fù)數(shù)的考查核心是代數(shù)形式的四則運(yùn)算，即使是概念的考查也需要相應(yīng)的運(yùn)算來(lái)支持．本題首先根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義得復(fù)數(shù)相乘可根據(jù)平方差公式求得

也可根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)求得

例4復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(z－3)(2－i)=5(其中i為虛數(shù)單位)，求z的共軛復(fù)數(shù)

分析先由(z－3)(2－i)=5，求出

評(píng)注復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算解題時(shí)，只要按照法則進(jìn)行即可，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算類(lèi)似于多項(xiàng)式的運(yùn)算，加法類(lèi)似于合并同類(lèi)項(xiàng)，乘法類(lèi)似于多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，除法類(lèi)似于分母有理化(實(shí)數(shù)化)，分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)．

再令x=1，得展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為(1－2)8=1．

評(píng)注二項(xiàng)式定理中最關(guān)鍵的是通項(xiàng)公式，即二項(xiàng)式(a+b)n的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是Tk+1=求展開(kāi)式中特定的項(xiàng)或者特定項(xiàng)的系數(shù)等均可以利用通項(xiàng)公式和方程思想解決．應(yīng)用通項(xiàng)公式要注意以下幾點(diǎn):

1)它表示二項(xiàng)展開(kāi)式的任意項(xiàng)，只要n與r確定，該項(xiàng)就隨之確定;

2)Tr+1是展開(kāi)式中的第r+1項(xiàng)，而不是第r 項(xiàng);

3)公式中a，b的指數(shù)和為n，且a，b不能隨便顛倒位置;

4)要將通項(xiàng)中的系數(shù)和字母分離開(kāi)，以便于解決問(wèn)題;

5)對(duì)二項(xiàng)式(a－b)n展開(kāi)式的通項(xiàng)公式要特別注意符號(hào)問(wèn)題．

例6設(shè)(x2+1)(x+1)9=a0+a1(x+2)+ a2(x+2)2+…+a11(x+2)11，求a1+a2+…+a11的值．

分析先求出a0，取x=－2，得a0=－5，再取x=－1，得a0+a1+a2+…+a11=0，最后得到

評(píng)注二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)和及一些特定項(xiàng)的系數(shù)通常是通過(guò)對(duì)二項(xiàng)式及其展開(kāi)式中給變量賦予特殊值得出的，注意根據(jù)展開(kāi)式的形式給變量合理賦值．

例7設(shè)袋中共有7個(gè)球，其中4個(gè)紅球，3個(gè)白球．從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，求取出的白球比紅球多的概率．

分析首先明確這是一個(gè)古典概型概率問(wèn)題．從袋中取出3個(gè)球，取法共有種，其中白球比紅球多的取法有種．因此取出的白球比紅球多的概率為

評(píng)注解決古典概型概率問(wèn)題，關(guān)鍵是弄清基本事件的總數(shù)n以及某個(gè)事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)m，然后由公式求出概率;事件A的個(gè)數(shù)常常用列舉法得出，對(duì)于較復(fù)雜的互斥事件的概率求法可考慮利用分類(lèi)相加或?qū)α⑹录デ螅?/p>

例8袋中有形狀、大小都相同的4個(gè)球，其中1個(gè)白球、1個(gè)紅球、2個(gè)黃球，從中1次隨機(jī)摸出2個(gè)球，求這2個(gè)球顏色不同的概率．

分析從4個(gè)球中1次隨機(jī)摸出3個(gè)，共有6種摸法，2個(gè)球顏色不同的情況相對(duì)復(fù)雜，可以考慮2個(gè)球顏色相同的情況(只有1種)，這樣不同的共有5種，因此其概率為

評(píng)注求解互斥事件、對(duì)立事件的概率問(wèn)題時(shí)，一要先利用條件判斷所給的事件是互斥事件，還是對(duì)立事件;二要將所求事件的概率轉(zhuǎn)化為互斥事件、對(duì)立事件的概率;三要準(zhǔn)確利用互斥事件、對(duì)立事件的概率公式去計(jì)算所求事件的概率．

4　精題集萃

1．設(shè)f(x)=a(x－5)2+6lnx，其中a∈R，曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與y軸相交于點(diǎn)(0，6)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．

2．已知函數(shù)f(x)=(1+x)e－2x，當(dāng)x∈［0，1］時(shí)，求證:

3．若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足iz=2+4i，求在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．

7．袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有10個(gè)白球，5個(gè)紅球．從袋中任取2個(gè)球，求所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球、1個(gè)紅球的概率．

8．有3個(gè)人，每人都以相同的概率被分配到4個(gè)房間中的一間，求至少有2人被分配到同一房間的概率．

參考答案

1．解因?yàn)閒(x)=a(x－5)2+6lnx，所以

令x=1，得

從而曲線y=f(x)在(1，f(1))點(diǎn)處的切線方程為

由點(diǎn)(0，6)在切線上可得

令f'(x)=0，解得x1=2，x2=3．當(dāng)0＜x＜2或x＞3時(shí)，f'(x)＞0，故f(x)在(0，2)，(3，+∞)上為增函數(shù);當(dāng)2＜x＜3時(shí)，f'(x)＜0，故f(x)在(2，3)上為減函數(shù)．因此函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，2)，(3，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(2，3)．

2．證明要證x∈［0，1］時(shí)，