單個移動集中荷載下簡支梁的彈性臨界彎矩

褚昊，郭兵，管海龍

（山東建筑大學土木工程學院，山東 濟南 250101）

單個移動集中荷載下簡支梁的彈性臨界彎矩

褚昊，郭兵*，管海龍

（山東建筑大學土木工程學院，山東 濟南 250101）

簡支梁的臨界彎矩計算公式都有其特定的適用范圍，其中單個集中荷載下的計算公式只能適用于荷載作用于特殊位置的情況，當荷載作用在其他位置時計算結果偏差較大。文章基于Bleich的總勢能公式，假設了可以模擬任意彎扭變形及彎矩圖的函數，圍繞單個集中荷載作用于任意位置時簡支梁的臨界彎矩展開研究，通過瑞利—里茲法，分析了單個集中荷載處于簡支梁任意位置時臨界彎矩的計算公式，并通過函數擬合，提出了公式中相關參數的簡化計算方法，同時進行算例分析，驗證所給公式的精確性。結果表明：文章所給的臨界彎矩計算公式能夠計算單個集中荷載作用于簡支梁任意位置時的臨界彎矩；公式形式與傳統公式一致，但公式中參數 C1、C2、C3不再是具體數值，改用計算公式表達，適用范圍更廣；文章算例中，所給公式的計算結果與傳統計算方法所得結果最大偏差僅為5.4%。

簡支梁；單個移動荷載；彈性臨界彎矩；瑞利—里茲法

0 引言

受彎構件的整體穩定問題一直存在爭議，國內外眾多學者都曾對簡支梁的彎扭屈曲問題進行過研究［1－6］。GB 50017－2003《鋼結構設計規范》在計算及彎構件的整體是系數時用到了彈性臨界彎矩［7－8］。但其給出的 Mcr計算方法不能涵蓋所有的受荷情況。

推導臨界彎矩的總勢能公式主要有 Bleich公式［9］、童根樹公式［10］和 呂 烈 武 公 式［11］。目 前，計 算彈性臨界彎矩的方法很多，Kirby提出橫向荷載作用于剪心時 Mcr的計算公式［12］，陳紹蕃提出荷載作用于上、下翼緣時Mcr的計算方法［13］，但二者都有其特定的適用范圍，而使用等效彎矩系數法，是將非均勻受彎等效成均勻受彎的近似方法；周緒紅等［14］和劉占科等［15］提出了荷載作用在任意位置時 Mcr的通用計算公式，但其采用的變形函數相對簡單，只能適用于對稱荷載，當荷載非對稱時，計算結果偏差較大。Clark等提出三參數法，通過 C1、C2、C3三個參數綜合考慮各因素對彈性臨界彎矩值的影響，計算精度較高。文章將依據Bleich的總勢能公式，采用可以模擬任意彎扭變形的位移函數和彎矩表達式，通過瑞利—里茲法和三參數法，推導單個移動集中荷載作用下簡支梁的 Mcr計算公式。

1 基本假設

對于單個集中荷載 P作用下的單向受彎簡支梁，由 Bleich總勢能公式可得構件的總勢能，由式（1）表示為

式中：П為總勢能，J；l為簡支梁的跨度，m；E、G分別為彈性模量和剪切模量，N／mm2；Iy、It分別為繞y軸的慣性矩、自由扭轉慣性矩，mm4；Iω為繞y軸的翹曲慣性矩，mm6；βy為截面不對稱參數；M為z坐標處的截面彎矩，kN·m；u為 z坐標處的剪心側向位移，mm；θ為z坐標處的截面扭轉角；a為荷載P作用點到剪心S的距離，mm；荷載作用點位于受壓區時a取負值，反之取正值；θP為P作用處的截面扭轉角；如圖1所示。圖1中，P代表集中荷載，kN；zP表示荷載作用點距簡支梁端的距離，m；S、O分別為截面的剪心和形心；S′、O′分別為構件發生位移后截面的剪心和形心。

圖1 構件坐標、荷載及截面側向彎扭位移圖

1.1 彎扭變形函數

假設構件的側向位移 u、扭轉角θ分別由式（2）～（5）表示為

式中：A、B、C分別為獨立的廣義坐標；ψ、ζ分別為基函數。

則 P作用處的截面扭轉角由式（6）表示為

1.2 彎矩表達式

單個集中荷載作用下，簡支梁的最大彎矩由式（7）表示為

則構件上任意z坐標處的彎矩M分別由式（8）～（9）表示為

穩定分析時還需建立P與Mmax的式（10）關系，引入等效力臂e，令

將式（7）代入式（10）可得式（11）為

2 簡支梁臨界彎矩的通用公式

2.1 臨界彎矩公式及參數表達式

將式（2）～（11）帶入總勢能公式（1），并逐項分解由式（12）～（17）表示為

為方便表達，引入參數由式（18）～（25）表示為

總勢能由式（26）表示為

在式（26）中，根據勢能駐值原理 ?Π／?A＝0、?Π／?B＝0、?Π／?C＝0可得線性方程組由式（27）～（29）表示為

線性方程組恒成立的條件是系數行列式（30）為零，即

可得特征方程式（31）為

將 k5、k6、k7的值代入上式可解得 Mmax的最小值，也即臨界彎矩由式（32）表示為

為方便與傳統公式相對照，將式（32）寫成式（33）為

其中，參數 C1、C2、C3的表達式分別由式（34）～（36）表示為

2.2 典型算例驗證

當跨中央作用一個集中荷載時，zP＝l／2、Mmax＝Pl／4，此時式（9）簡化為式（37）為

式（11）簡化為式（38）為

將上述參數代入式（18）～（21）可得

再將 k1～k4代入式（34）～（36）可得 C1＝1.42、C2＝0.58，C3＝0.42；傳統公式所得解［17］為 C1＝1.37，C2＝0.55和C3＝0.41，三個參數中的最大偏差為5.4%，由此計算的臨界彎矩也偏差很小。

3 C1、C2、C3的簡化

3.1 C1、C2、C3的擬合

將式（9）代入式（18）～（20），式（11）代入式（21），可得式（40）～（43）為

由式（40）～（43）可以看出，k1～k4的計算公式較為復雜，使得公式（34）～（36）的計算比較困難，不方便實際應用。為簡化計算，文章利用簡支梁的對稱性，在（0，l／2］區間上等分的取十個點，由式（40）～（43）分別求出每個點處 C1、C2、C3的具體值，見表1。然后通過函數擬合，得出C1、C2、C3簡化的計算方法。zP－C1、zP－C2、zP－C3之間的函數關系曲線如圖2所示。圖2中的三條曲線分別擬合成式（44）～（46）為

表 1 利用式（40）～（43）計算的 C1、C2、C3值

圖 2 zP－C1、zP－C2、zP－C3的關系曲線圖

利用公式（44）～（46）求得的C1、C2、C3的值見表2。

對比表 1、2可得，相差最大的是 0.4l處C3的值，僅相差4.5%。

表 2 利用式（44）～（46）計算的 C1、C2、C3值

3.2 典型算例驗證

如圖3（a）所示簡支梁，l為 9.0 m；采用雙軸對稱工字型截面，材料為Q235鋼，截面尺寸如圖3（b）所示。簡支梁僅在 l／4處承擔一個集中荷載 P，荷載作用于剪心 S，即 a＝0。圖3中，zP表示荷載作用點距簡支梁端的距離，m；l表示簡支梁長度，m；S、O分別為截面的剪心和形心。

圖3 l／4處作用一個集中荷載的單向受彎簡支梁

由圖3（b）可得構件的截面特性為：Iy＝6.56× 107mm4、Iω＝6.97×1012mm6、It＝6.29×105mm4；而Q235鋼有 E＝2.06×105N／mm2、G＝0.79×105N／mm2；由式（41）～（43）可得C1＝1.52、C2＝0.41、C3＝0.56。將以上數據代入式（19）可得 Mcr＝921.95 kN·m。經典解［17］為 Mcr＝879.49 kN·m，誤差僅為4.8%。因此，式（41）～（43）較為合理。

4 結論

文章基于 Bleich的總勢能公式，通過瑞利—里茲法進行了一系列推導，給出了單個集中荷載作用于任意位置時簡支梁臨界彎矩的計算方法，并得出以下結論：

（1）文章所給公式適用于單個集中荷載作用于簡支梁任意位置時的情況，適用范圍相對較廣。

（2）通過函數擬合簡化了參數 C1、C2、C3的計算公式，方便使用。

（3）算例中，所給公式的計算結果與傳統計算方法所得結果最大偏差僅為5.4%，表明文章所給公式仍具有較高的精度。

文章所給公式也有其局限性：采用 Bleich的總勢能公式進行推導，未考慮童根樹、呂烈武等對總勢能公式的修正；也未能給出多個集中荷載作用下及復合荷載作用下簡支梁臨界彎矩的通用公式，這也是未來研究工作的方向。

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［17］陳驥.鋼結構穩定理論與設計（第6版）［M］.北京：科學出版社，2014.

Elastic critical moment of simply supported beams under a moving concentrated load

Chu Hao，Guo Bing*，Guan Hailong
（School of Civil Engineering，Shandong Jianzhu University，Jinan 250101，China）

The critical moment design formula of simply supported beam has its specific scope of application，and the design formula of a single concentrated load is applicable only to special positions，while the result of load acting on other positions is large deviation.Based on Bleich’s total potential formula，the article assumed that any functions of bending and torsion deformation and bending moment diagram can be simulated，conducted the research on the critical moment of simply supported beam focusing on single concentrated load，analyzed critical moment design formula of single concentrated load in any position，put forward simplified calculation method for relevant parameters in formula，meanwhile made illustrative examples and verified accuracy of formula.The result turned out that the given critical moment design formula is capable of calculating critical moment design formula of single concentrated load in any position；the formula is consistent with traditional formula，the parameters C1，C2，C3are not specific values，but expressed in calculation formula，the scope of application is broader.In the case study，the maximum deviation of given formula calculation result and traditional calculation method is simply 5.4%.

simply supported beam；single moving load；elastic critical moment；Rayleigh-Ritz method

TU391

A

1673－7644（2016）05－00466－05

2016－07－01

禇昊（1991－），男，在讀碩士，主要從事鋼結構穩定等方面的研究.E-mail：36510485＠qq.com

*：郭兵（1970－），男，教授，博士，主要從事鋼結構穩定及抗震等方面的研究.E-mail：sdgb123＠163.com