基于小波包變換和時變頻率的結構地震損傷評估

何浩祥， 陳　奎， 閆維明

(1．北京工業大學 工程抗震與結構診治北京市重點實驗室，北京　100124;2．首都世界城市順暢交通北京市協同創新中心，北京　100124)

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基于小波包變換和時變頻率的結構地震損傷評估

何浩祥1,2， 陳奎1， 閆維明1,2

(1．北京工業大學 工程抗震與結構診治北京市重點實驗室，北京100124;2．首都世界城市順暢交通北京市協同創新中心，北京100124)

摘要：基于頻率變化的結構地震損傷評估方法具有機理明確和精度較高等特點，但傳統信號分析方法在時頻分辨率上不能同時滿足精度要求，導致時變頻率不能直接從響應信號中精確獲取，影響頻率法損傷評估的應用。依據時頻邊緣條件提出時頻譜分析精度評價標準，通過對比不同的信號分析方法，確認具有特定基函數的小波包變換是獲取精確時變功率譜的有效工具;提出基于小波包脊的時變頻率提取方法，在此基礎上依據結構頻率的變化可計算結構時變損傷指標，并最終實現結構多維地震損傷評估。算例表明基于小波包變換和時變頻率的結構地震損傷評估方法可以較準確地反映結構的整體損傷演變過程和最終損傷程度;應用該方法時僅需結構的位移時程，在結構動力分析、抗震驗算及實際結構的震害評估中均具良好的適用性。

關鍵詞：地震；損傷評估；小波包變換；時變頻率；時變功率譜

結構損傷可定義為結構整體或某些部分在材料和幾何性能上的變化，工程結構在長期使用過程中會因各種自然及人為因素的作用而不可避免地發生損傷。由于環境變化和構件退化疲勞銹蝕等因素導致結構損傷具有緩慢積累的特點，通常可通過長期監測其演變實現損傷評估。地震等自然災害在很短時間內就會對結構造成較嚴重損傷，具有顯著的時變性和非平穩性。地震中結構一般將進入彈塑性狀態，且其動力性能不斷退化和波動，結構動力響應信號既包含結構自身動力特性，同時又蘊含豐富的地震動時頻信息[1]。目前，結構地震損傷的評估很難在地震過程中在線實現，通常只能通過現場調查或對地震當時及隨后的響應信號進行動力特性分析完成，并不能充分反映結構的損傷過程和細節，因此評估結構地震損傷及評定的研究意義重大且仍需不斷發展和完善。目前，構件層次上的損傷評估模型主要包括基于滯回耗能、變形以及變形和耗能雙變量的模型。結構整體層次上的損傷評估模型主要包括基于整體變形、整體剛度或自振周期以及整體耗能模型。目前大部分損傷評估模型均存在以下問題[2-4]：① 大部分模型是性能參數的簡單統計疊加或經驗組合，缺乏明確的物理意義；② 合理的損傷指標應該嚴格控制在[0，1]，但由大部分模型計算得到的損傷指標>1，這影響了震害較嚴重的結構評估精度；③ 震害模型考慮的性能參數不能只在模擬分析中獲得，應通過實測信號獲取且反映結構在地震過程的時變損傷特征，且計算應簡便可靠；④ 研究適合整體結構損傷程度評估的震害指標實用計算模型將更具工程實踐意義，基于整體結構剛度退化或模態變化的震害指標模型將更具優越性, 但尚未得到地震工程界足夠的重視。

近年來，隨著結構損傷識別理論和現代信號分析技術的發展，通過時變參數在線識別或非平穩信號時頻分析直接獲得結構時變頻率從而判斷結構損傷程度的方法不斷成熟和發展。基于廣義卡爾曼濾波、序貫非線性最小二乘法和貝葉斯估計等算法可實現簡單結構的線性響應預測、反演和參數實時識別[5-6]，但限于算法能力以及計算規模，此類方法暫時不能完全實現多自由度結構的動力參數快速變化識別。在時頻分析法中，比較常用的是通過對結構動力響應信號進行連續小波變換，之后利用小波系數模極大值提取小波脊從而識別時變頻率[7]。但由于結構響應是典型的窄帶隨機過程，頻帶干擾較嚴重，傳統的小波變換也較難同時滿足時頻兩域的分辨率要求，導致識別結果中常出現只能識別某階頻率、部分時刻識別值缺失或頻率增大等現象。盡管諸如基于小波傳遞函數和基于小波能量傳遞函數譜識別時變頻率的改進方法被提出[8]，但效果仍不明顯。一些研究者提出了利用以Hilbert-Huang變換(Hilbert-Huang Transform,HHT)為基礎的經驗模態分解識別結構瞬時頻率的方法[9-10]，但經驗模態分解缺乏嚴密的數學基礎，頻率分辨率不均勻，且不能保證其各分量嚴格正交，因此該方法一般只能實現特定信號或特定頻段的頻率識別。

鑒此，提出了基于小波包變換獲得時頻譜，并通過提取指定頻域內時頻脊線從而確定結構頻率變化時程的方法。相比目前其它時頻分析法，該方法更滿足時間和頻率邊緣條件，因此具備更高的準確性。在上述方法的基礎上，提出了考慮多維地震作用下，結構地震損傷指標和評估方法。算例結果表明本方法能夠較準確地識別結構在不同強度地震下低階頻率的時變過程，從而可對結構整體損傷進行較精確的評估，且該方法機理明確，簡單實用。

1基于小波包分解的時變功率譜

結構震害響應蘊含著結構在時域和頻域上損傷演變的特性和過程，可利用信號分析技術提取其損傷信息。然而，地震動記錄及結構響應信號本身只能在時域上表征損傷信息的非平穩性，通過Fourier變換獲得的信號功率譜只能從頻域上表征信號的頻帶能量分布。基于現代信號分析技術的時變功率譜能夠從時間、頻率和幅值三個方面描述非平穩隨機過程的時頻局部特性，特別適合在結構動力參數的時變識別中應用。

目前的計算信號時變功率譜的方法主要有短時Fourier變換(Short-time Fourier transform,STFT)、WVD(Wigner-Ville Distribution)分解、S變換、經驗模態分解以及小波和小波包變換等[11-14]。由不同信號分析法得到的時變功率譜的數值及表現形式均有所差異，究其原因是目前的各種信號分析法均存在理論或實際運算的不足。WVD分解雖然時頻分辨率高，但存在明顯的頻帶交叉項，且其時移不變性和頻移不變性特點限制其應用。STFT雖然無交叉項干擾，但時頻分辨率低。S變換在高頻分辨率上的精度有明顯降低。經驗模態分解缺乏嚴密的理論基礎和普適性。小波分解在高頻段的頻率分辨率較差，而在低頻段的時間分辨率較差。小波包分解是小波分解的推廣，具有更高的時頻分辨率和精度。對一個給定的正交小波函數，可以生成一組小波包基。每一個小波包基里提供一種特定的信號分析法，它可以保存信號的能量并根據特征進行精確的重構。在多分辨率分析中，對于給定的基本尺度函數φ(t)和基本小波函數ψ(t)，有雙尺度方程

(1)

式中:hk和gk為多分辨分析中定義的一組共軛鏡像濾波器。

推廣上述雙尺度方程，令u0(t)=φ(t)，u1(t)=ψ(t)，定義式(2):

(2)

稱{un(t)}為相對于φ(t)的正交小波包。將un(t)進行二進伸縮、平移可得小波包函數

(3)

式中:j為尺度參數，k為平移參數，n為頻率參數。

則，信號的小波包分解可表示為

(4)

(5)

對不同的窄帶信號分別進行時頻分析，經整合得到信號整體的時變功率譜或時頻譜。由上述分析可知，小波包采用正交小波將信號分解成各尺度上的正交小波包分量，再對各分量用其相應的小波包基函數為窗函數進行時頻變換。小波包分解機理明確，由此得到的時變功率譜從理論表達上是準確的，且分辨率高，與前述信號分析技術相比是一種更精細的時頻分析法。

需要指出的是，小波包分解中對高頻部分進行濾波和抽樣時由于不滿足Nyquist定理將產生頻譜混疊現象，即小波包分解的自然序列與信號頻帶排列順序不一致。在時頻譜分析中，有必要將小波包分解產生的Paley序子頻帶按升頻序列進行重新排列。此外，選用不同的小波包基函數及分解層數產生的時頻譜也有差異，應當通過調試選取正交性、緊支撐性和近似對稱性較好的小波包基函數。一般認為，只有離散Meyer(dmey)小波以及ReverseBior小波系和Coiflets小波系中小部分基函數可較準確地描述模擬地震動和結構動力響應的時頻變化特征。

2時頻譜分析精度評價標準

研究結構動力響應時頻功率譜的目的是在堅實數學理論基礎上建立合理、可靠、便捷的時頻分布，以便準確地同時反映結構動力響應在時間和頻率上的能量或強度。根據已有研究成果提出的一系列信號時頻分析法可建立不同形式和精度的時頻功率譜，采用時域分辨率、頻域分辨率、交叉項強弱、抗噪性等定性的指標對由不同分析法獲得的時頻譜的有效性和準確性進行大致的評判，但如何實現量化評判一直缺乏具體而深入的探討。

根據Parseval定理可得到非平穩信號y(t)的時間和頻率邊緣條件如下

(6)

式中：Sy(t,ω)為非平穩信號y(t)的時變功率譜;SFT(t)為信號的Fourier變換幅值譜。式(6)表明：信號某一特定時間的所有頻帶能量分布之和等于其瞬時能量；信號某一特定頻帶的能量分布在全部時間上的總和等于能量密度頻譜。由精確的時頻分析法計算得到的時變功率譜應嚴格滿足上述條件。然而，利用實際的時頻分析法得到的時變功率譜很難具有足夠的精度，如何量化評價不同方法的準確性雖然重要但相關的研究并不深入。考慮到上述邊緣條件，且一般分析中主要注重時變功率譜時頻分布特征而通常忽略其幅值的準確性，本文提出利用時域和頻域歸一化邊緣值的誤差標準差量化評判時變功率譜的精度(見式(7))。

(7)

式中：Syn(ti,ω)為時變功率譜在時域上邊緣值(瞬時能量向量)Sn(ti,ω)的歸一化值；yn(ti)為非平穩信號y(ti)的歸一化值；Syn(t,ωj)為時變功率譜在頻域上邊緣值(能量密度頻譜向量)Sy(t,ωj)的歸一化值；SFn(ωj)為信號Fourier幅值譜的歸一化值。

為了比較由不同時頻分析法獲得的結構動力響應時頻譜的精度，選取了某5層鋼筋混凝土結構在El Centro(EW)地震波作用下頂層前20 s加速度響應作為分析對象，信號采樣頻率為50 Hz。值得指出的是，利用HHT或經驗模態分解獲得的時頻譜概念不嚴密，且其各IMF(Intrinsic Mode Function)分量不正交，頻帶分布不清晰。雖然近年來有研究者提出通過采用IMF分量正交化技術對HHT時頻譜進行修正[15]，但仍不是真正意義上的時變功率譜，不予討論。此外，基于S變換或Chirplet變換的時頻譜不能保證頻域上的分辨率，效果不佳，也不予深入研究。上述舍棄的時頻方法各具特色，但更適合在某些具體信號的時變特征分析方面應用而不能作為建立準確時變功率譜的通用工具。采用STFT、修正WVD分解、小波分解和小波包分解等獲得的最佳時變功率譜(見圖1)，其中小波分解所用函數為11層Morlet復小波，小波包基函數為10層離散Meyer小波。對應的頻域邊緣值和時域邊緣值分別見圖2和圖3。

圖1　不同時頻分析方法的時變功率譜Fig.1 Power spectra based on different methods

圖2　不同時頻分析方法的頻域邊緣值Fig.2 Frequency marginal based on different methods

圖3　不同時頻分析方法的時域邊緣值Fig.3 Time marginal based on different methods

從以上結果可知：結構非線性響應的時變功率譜復雜多變，僅依靠三維譜圖表觀上無法直接判斷其準確度，必須結合時頻域邊緣值進行量化分析才能比較和評價。由于STFT、修正WVD變換和小波變換不能兼顧時頻域的分辨率，因而也不作為獲得時變功率譜的可靠工具。以目前的時頻分析技術水平，只有利用具有適合的基函數及分解層次的小波包分解才能獲得相對精確的時變功率譜。根據式(7)計算得到的時頻域邊緣數誤差的標準差(見圖4)，進一步驗證了上述結論。由此，后文將只討論由小波包變換獲得的結構地震響應時變功率譜的特征及規律。

圖4　時頻域邊緣數誤差的標準差Fig.4 Comparison of SD of the errors in marginal

3基于小波包脊的時變頻率提取及結構地震損傷評估

由前文可知，j水平的小波包可通過帶通濾波器將結構動力響應信號分解為2j個窄帶信號。在時頻譜中的各個時間點上作切片并選取能量最大值，即求解時頻譜中的頻率突變點(局部極值點)便能夠獲得頻率的時變過程，從而可以全面地反映結構損傷的時間、頻譜和幅值變化特征。上述方法可視為以時間為走向的時頻山脈脊線的提取過程，也可稱為小波包脊的提取。結構在地震作用下進入彈塑性狀態，不同階的頻率都將有所減小，為了避免頻率相互干擾，可針對結構不同階頻率選取相應的頻帶范圍，然后在指定頻帶的小波包時頻譜中提取小波包脊從而識別頻率的時變值。

由于頻率主要反映了結構整體的動力特性和損傷情況，評估結構在單向水平地震下的損傷時可將結構等效為具有雙線形力與變形關系的單自由度體系并研究其頻率變化特性(見圖5)。設等效體系彈性階段的剛度為k0，后屈服剛度為αk0；屈服強度和屈服位移分別為fy和uy。若在t時刻結構進入塑性狀態且位移達到ue時，等效力為fe(t)，等效剛度為ke(t)，時變延性系數為μe(t)=ue(t)/uy。假定結構的損傷是結構等效剛度損失造成的，則等效線性體系的時變損傷指標D(t)可表示為:

(8)

式中：T0和f0為結構彈性周期和頻率;Te(t)和fe(t)

為結構塑性時變等效周期和時變等效頻率。利用小波包分解可獲得結構某階時變頻率，再根據式(8)便可計算出時變損傷指標，通常可取結構動力時程末段中較穩定的損傷值或整體時程中最大損傷值作為綜合等效損傷。根據震后結構的破壞程度和修復水平，可將震害劃分為基本完好、輕微破壞、中等破壞、嚴重破壞和倒塌5個等級。參考已有研究成果并結合上述損傷評估方法的特點[16]，定義對應結構不同破壞等級的損傷指標范圍(見表1)。通過式(8)和表1便可較便捷地實現結構整體或其在某一方向的損傷評估。

圖5　結構單自由度等效體系示意圖Fig.5 Scheme of equivalent system with SDOF

損傷程度破壞描述損傷指標基本完好承重構件完好,個別非承重構件輕微損壞,附屬構件有不同程度破壞0.00～0.10輕微損傷個別承重構件有輕微殘余變形,個別非結構構件明顯破壞,附屬構件有不同程度破壞0.10～0.20中等破壞多數承重構件有輕微殘余變形,部分有明顯殘余變形,個別非結構構件嚴重破壞0.20～0.40嚴重破壞多數承重構件嚴重破壞或部分倒塌0.40～0.70倒塌多數承重構件倒塌0.70～1.0

然而，式(8)并不能完全反映結構局部損傷狀態以及不同方向和振型的綜合損傷情況，因此，對于多維復雜結構的時變綜合損傷指標Dg可在式(8)的基礎上擴展為

(9)

式中:x,y和z為結構三個主軸方向;m,n和p分別為相應方向參與損傷評估的振型數量;ρ為相應的歸一化振型參與系數;Dxi為x方向第i個振型對應的損傷指標，γxi為x向振型參與權重，可按下式計算

(10)

這樣，根據式(8)～式(10)的計算結果可實現多維復雜結構的綜合損傷評估。

4算例

為了驗證本文提出的基于小波包脊的時變頻率提取及結構地震損傷評估方法的有效性，選取一座5層鋼筋混凝土偏心框架結構作為算例，結構所在場地類型為Ⅱ類，抗震設防烈度為8度(見圖6)，結構平面尺寸為30 m×6 m，各層層高均為3 m。底部角柱截面600 mm×600 mm，其他柱截面300 mm×300 mm，配筋率為1.2%。梁截面分別為200 mm×500 mm和300 mm×600 mm，配筋率為0.8%。樓板厚120 mm，混凝土強度等級為C35，鋼筋采用HRB400。結構在x向和y向的偏心距分別為3 m和0.5 m。結構總質量為5.2×105kg。

圖6　算例結構三維示意圖Fig.6 Three-dimensional scheme for example structure

采用非線性有限元軟件Opensees建立模型，在El Centro、Taft和Loma Prieta地震記錄中分別選用一組典型的三向地震波進行多維彈塑性時程分析。為考慮地震動幅值對損傷程度的影響，依據抗震設計規范要求將每一組地震動X向的加速度幅值分別調至0.11 m/s2、0.22 m/s2和0.51 m/s2，并使X向、Y向和Z向的地震動幅值比例為1∶0.85∶0.65，從而分別作為小震、中震和大震下的地震動輸入。

利用Opensees里的時變剛度和頻率求解功能提取每一時間子步的各階頻率從而得到時變頻率時程，經過適當的多點平滑處理后可作為數值解以備參考。由于結構的頂層響應已經蘊含結構多階模態信息和結構整體損傷特征，因此選取頂層中間節點的兩水平向位移時程分別進行小波包分解，其中小波包基函數為11層離散Meyer小波，從而獲得時變功率譜。之后選取適當的頻率范圍并基于小波包脊提取結構的時變頻率，如果頻率時程中存在突變點可采用多點平滑算法處理。該結構的前兩階初始彈性周期為1.074 s和0.754 s，分別為X向和Y向第一階水平振型。振型參與系數分別為0.408和0.329，考慮到豎向振型階數較高，且相應的損傷較輕，因此可只識別兩水平的第一階頻率并用式(8)～式(10)進行單向和綜合損傷評估。

圖7為El Centro波大震作用下，由頂層中間節點X向水平位移獲得的時變功率譜，頻率范圍為0.55～0.96 Hz。可見小波包脊具有明顯的時變特征，表明結構的第一階頻率發生了較大變化，損傷較嚴重。圖8中，圖8(a)為由有限元計算得到的時變頻率時程和相應的基于小波包脊提取的時變頻率，圖8(b)為結構位移響應絕對值。兩種時變頻率均逐漸減少，二者變化趨勢一致、終值接近且和響應幅值具有明顯的相關性，表明兩種方法均能夠較真實地反映結構損傷的過程、程度和細節，但后者具有突出的應用性。由于在較嚴重損傷時結構中較多構件已發生屈服，有限元計算得到的結構時變剛度更多地反映了后屈服剛度特征，因此對應的時變頻率一般比真實值偏低，這可通過以上兩種方法得到的時變頻率存在一定差異提供解釋。

圖7　結構位移響應時變功率譜Fig.7 Time-frequency power spectrum of response

圖8　時變頻率和位移響應對比Fig.8 Comparison for time-varying frequencies and response

圖9　時變頻率的對比Fig.9 Instantaneous frequency and time-frequency

圖9為X向大震下Taft波和Loma Prieta波作用時結構的時變頻率的對比，進一步驗證了本文的論述。圖10為按式(8)計算得到大震下三組地震的X向損傷指標時程，可見基于時變頻率的損傷評估具有良好的通用性和精度。

圖11為El Centro波小震和中震下時變頻率的對比，結果相對更接近，表明該方法同樣適用于中小震害的評估，并具有較高的精度。圖12為El Centro大震下按式(8)計算得到的X向和Y向損傷指標時程，以及按式(9)計算得到的結構綜合損傷指標時程。參考表1以及有限元分析結果，進一步確定結構發生了嚴重損傷，驗證了本方法的有效性和準確性。

圖10　大震下X向損傷指標時程Fig.10 Damage index history in x direction under rare earthquake

圖11　小震和中震下時變頻率的對比Fig.11 Instantaneous frequency and time-frequency

確定結構綜合等效損傷值可采用損傷指標時程末段中較穩定的數值，表2列出了不同地震及幅值下的綜合等效損傷值。可認為該建筑結構在不同地震下均能實現小震下完好，中震下輕微損傷，在大震下發生嚴重破壞但仍有較強的抗倒塌能力。

表2　不同震害等級對應的損傷指標范圍

圖12　各向損傷指標和綜合損傷指標Fig.12 Damage index in different directions and overall index

綜上所述，本文提出的基于小波包變換和時變頻率的結構地震損傷評估法可以較準確地反映結構的整體損傷演變過程和最終損傷程度，可在今后的結構動力分析和驗算以及安有地震記錄儀和傳感器的震后實際結構損傷評估中廣泛應用。

5結論

目前大部分工程結構的地震損傷評估方法存在著機理不夠明確、指標范圍不嚴格以及性能參數較難實際測試等不足。基于頻率或周期變化的損傷評估可以較準確地反映結構整體損傷特性，利用現代時頻分析等方法能夠獲取結構響應的時變功率譜，為研究地震下結構頻率時變特性提供了有力工具。但由于地震動和結構響應均是典型的窄帶隨機過程，頻帶干擾較嚴重，傳統的時頻分析方法較難同時滿足時頻兩域的分辨率要求。本文將滿足時間和頻率邊緣條件的程度作為時頻譜分析精度評價標準并從機理上論述了基于特定基函數的小波包變換相對具有更高的時頻分辨率和精度。基于小波包變換獲得時變功率譜，并通過提取指定頻域內時頻脊線可較精確地提取結構低階頻率變化的時程。在此基礎上，依據結構時變頻率的變化可計算出結構的時變損傷程度指標，進而可評估多維地震作用下結構的綜合損傷。

算例表明本文提出的基于小波包變換和時變頻率的結構地震損傷評估方法，可以較準確地反映結構整體損傷演變過程和最終損傷程度。應用本方法時僅需結構的位移時程，對結構時程分析與驗算以及實際結構的震害評估均具有良好的適用性和精度，簡單實用。

值得指出的是，小波基函數將顯著影響小波包變換的精度，如何針對地震動和結構響應特性選擇乃至建立小波基函數需要更深入的探究。目前的小波包變換只能提取差別較明顯的低階頻率，如何準確提取高階頻率和密集頻率，從而改進基于頻率變化評估結構地震損傷方法以使其適合高層復雜結構也需要進一步的研究。

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Structural seismic damage assessment based on wavelet packet transformation and time-varying frequencies

HEHao-xiang1,2,CHENKui1,YANWei-ming1,2(1．Beijing Municipal Key Lab of Earthquake Engineering and Structural Retrofit，Beijing University of Technology, Beijing 100124，China; 2．Beijing Collaborative Innovation Center for Metropolitan Transportation, Beijing 100124，China)

Abstract:The structural seismic damage assessment method based on frequency changes has the advantages, such as, clear mechanism and high precision, but the time-frequency resolution for the traditional methods of signal analysis can not accurately meet the requirements of precision. Hence, the time-varying frequencies cannot be obtained directly from the response signals and the application of this damage assessment method is affected. Here, accuracy evaluation criteria for different signal analysis methods were presented based on marginal conditions in time-frequency domain, and the wavelet packet decomposition method with special wavelet basis functions was verified as an efficient tool to establish time-varying power spectrum on the basis of theoretical and computational analyses. The time-varying frequency extraction method based on wavelet packet ridge was proposed, and the structural time-varying seismic damage index was calculated according to structural frequency changes, furthermore, the structural multi-dimensional seismic damage assessment was realized. The examples showed that the seismic damage assessment method based on wavelet packet transformation and time-varying frequencies can accurately reveal the overall damage evolution process and the eventual damage level of a structure; this method only requires structural displacement histories, and has a good applicability for structural dynamic analysis, seismic design verification and seismic damage assessment of actual structures.

Key words:earthquake; damage assessment; wavelet packet transformation; time-varying frequency; time-varying power spectrum

中圖分類號:TU362; TN911. 6

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.07.004

收稿日期：2015-01-13修改稿收到日期：2015-04-19

基金項目：國家自然科學基金項目(51478024); 工程抗震與結構診治北京市重點實驗室重點項目(USDE201403)

第一作者 何浩祥 男，博士，副研究員，1978年生

E-mail: hhx7856@163.com