基于數值-解析法測量靜壓條件下阻尼材料動態力學參數

陶　猛, 江　坤

(貴州大學 機械工程學院，貴陽　550025)

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基于數值-解析法測量靜壓條件下阻尼材料動態力學參數

陶猛, 江坤

(貴州大學 機械工程學院，貴陽550025)

摘要：建立了一種測量靜壓條件下阻尼材料動態力學參數的數值-解析法。分別制作兩種空腔半徑不同的圓柱空腔覆蓋層樣品，測量兩種樣品在靜壓力下的復反射系數;采用有限元法仿真靜壓力下的空腔結構變形，在此基礎上同樣采用有限元法計算復反射系數。以實測復反射系數和計算復反射系數建立二元非線性方程組，利用牛頓迭代法求解方程組獲得復彈性模量和復泊松比等黏彈性動態力學參數;對聚氨酯材料制作的樣品進行復反射系數測量，分析了靜壓力對聚氨酯材料動態力學參數的影響規律。測量了某不同結構吸聲覆蓋層靜壓下的反射系數，并與采用實測材料參數計算的反射系數進行比較，驗證了該方法的正確性。

關鍵詞：數值-解析法；靜水壓力；阻尼材料；動態力學參數

黏彈性材料具有減振降噪的作用，在水聲工程[1]、高速列車[2]、航空航天[3]等方面得到了廣泛應用。在水下航行器表面敷設以黏彈性材料為基體制作的聲學覆蓋層，能夠同時起到較好的吸聲及隔聲作用。要設計和預測聲學覆蓋層性能，就需知道準確的黏彈性動態力學參數。特別是聲學覆蓋層通常處于水下工作狀態，靜水壓力對聲學覆蓋層性能的影響顯得尤為突出[4]，而靜壓下的黏彈性動態力學參數則是設計和預測聲學覆蓋層性能的關鍵參數。

常壓條件下測量黏彈性材料動態力學參數已有成熟的方法且還在不斷發展新的方法，但總的可以分為力學法和聲學法。力學法的基本原理是利用測量材料振動特性計算其力學參數，例如振動梁法[5-6]、激光測振法[7-8]等，這些方法通過加工不同的樣品以得到不同的變形模式，從而獲得復楊氏模量、復剪切模量等力學參數。雖然力學法相對簡單，但還是存在測試頻段低、樣品制作要求高等局限性。聲學法通過測量聲學性能參數如反射系數和透射系數反演得到材料黏彈性動態力學的參數[9-10]，聲學法的優點是參數測量頻率范圍可與機理研究同步。

靜壓條件下測量黏彈性材料動態力學參數的方法已有開展。Guillot等基于波傳播理論和共振原理，利用激光測振手段測量了不同溫度、靜壓力條件下的橡膠復楊氏模量[11]，并在此基礎上建立了復體積模量的測試系統和方法[12]，盡管該方法可以獲得靜壓力下的黏彈性動態力學參數，但需要2套系統才能分別獲得復楊氏模量和復體積模量，整個測試過程較復雜。黃修長等[13]基于水聲聲管測量了不同靜壓力下橡膠材料的反射系數，并以此反演了黏彈性動態力學參數，但這個過程基于以下兩個近似：① 可采用等效復波數的近似解描述圓柱空腔覆蓋層中的黏彈性波傳播；② 根據樣品的硬度換算得到空腔結構變形仿真計算的輸入參數，而這兩個近似均降低了測量結果的準確性。

圖1　靜壓下測量黏彈性動態力學參數流程圖Fig.1 Calculation flow chart of viscoelastic dynamic parameters under hydrostatic pressure

通過測空腔覆蓋層的反射系數，建立一種反演量靜壓條件下阻尼材料黏彈性動態力學參數的數值-解析法，整個反演過程見圖1，其特點在于：① 空腔覆蓋層的反射系數通過有限元法計算獲得，對于空腔形狀并沒有嚴格限制；② 將新的動態力學參數與舊的比較，如果滿足收斂條件則獲得最終的動態力學參數，若不滿足則將其作為輸入參數重新計算空腔覆蓋層的結構變形，進而重復有限元計算過程并計算新的動態力學參數直至結果收斂。

1基于ANSYS的反射系數計算

黏彈性吸聲覆蓋層的結構大多包含空腔結構(圓柱型、球型等形狀)。圖2為一種典型的空腔吸聲覆蓋層，其特點是按正六邊形周期性地排列了兩段組合式圓柱空腔。由于空腔結構具有對稱性，可以只取其中的一個單元分析，即圖2中以雙點劃線所表示的正六面棱柱體。但是在有限元計算過程中，采用軸對稱單元相對于三維實體單元能大大縮減計算量，因此采用圓柱體模型代替正六面棱柱體模型以提高計算效率。

圖2　典型圓柱空腔覆蓋層及其單元結構示意圖Fig.2 Schematic diagram of unit cell of a typical acousticcoating

采用ANSYS計算黏彈性空腔覆蓋層的反射系數時，需對黏彈性材料的損耗因子、無窮遠處邊界條件、覆蓋層與水介質的流固耦合界面進行合理設置。ANSYS沒有直接提供黏彈性材料損耗因子的輸入選項，由于計算反射系數時必須計及黏彈性材料的阻尼損耗，但在考慮到ANSYS中定義了Rayleigh阻尼，因此首先需建立ANSYS中阻尼輸入量與黏彈性材料損耗因子的關系。

(1)

式中：E0為彈性儲能模量，ηE為對應的損耗因子。

采用ANSYS計算空腔覆蓋層的反射系數，需建立描述覆蓋層在平面波激勵下的運動微分方程。當系統以頻率ω作穩態簡諧振動時(包含時間因子e-jωt)，運動微分方程可寫成：

(K-jωD-ω2M)qT=fT

(2)

式中：Μ,D,K分別為結構的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，qT為節點的位移向量，fT為結構所受激勵的等效節點載荷向量。

與復彈性模量的表達類似，黏彈性材料的復剛度矩陣可用復數形式表示：

(3)

式中：η為對應的損耗因子。

(K-jηK-ω2M)qT=fT

(4)

與式(2)比較，得到以剛度矩陣及其損耗因子表示的阻尼矩陣：

D=(η/ω)K

(5)

考慮到ANSYS定義了Rayleigh阻尼：

D=αM+βΚ

(6)

式中：α為質量阻尼系數;β為剛度阻尼系數。有了這兩個系數，系統的阻尼矩陣就可以根據式(6)獲得，進而黏彈性材料的損耗因子就可以通過剛度阻尼系數表示：

β=η/ω

(7)

在ANSYS中，定義材料的剛度阻尼系數β可通過相應的命令實現。

此外，由于平面波是從水介質一側入射到吸聲覆蓋層，因此需要選擇吸聲覆蓋層-水介質的接觸面并將其設置為耦合面以解決流固耦合問題，以及通過設置水介質區域的外邊界為聲學吸收邊界可以解決無窮遠處無反射的問題。

當計算完成后，提取吸聲覆蓋層的前端面(平面波入射一側)上所有節點的聲壓p和法向振速vn，并根據式(8) 計算各節點的輸入阻抗：

zf=p/vn

(8)

以及計算根據式(9) 計算各節點的反射系數：

(9)

式中：z0為水介質的特性阻抗。

最后，按照節點所占的表面積比例加權得到整個前端面的平均反射系數。

應該指出的是，基于ANSYS的反射系數計算模型并不局限于圓柱空腔，同樣也適用于其他任何形狀的空腔結構覆蓋層。

2黏彈性動態力學參數計算

(10)

(11)

(12)

其迭代公式為:

(13)

式中：

(14)

需要強調的是，文獻[15]給出了根據在脈沖管中測得的復反射系數計算被測材料的縱波聲速和衰減系數的迭代法計算公式，但是該迭代具有多值性問題。同樣地，本節采用牛頓迭代法求解的二元非線性方程組也有多值性問題，即對于不同的初始值會迭代出不同的結果。但是，計算結果表明若選取迭代初值為常壓下的復彈性模量和復泊松比，通常只需數次迭代就能滿足收斂條件，在此基礎上加以經驗判斷可獲得最終的計算結果。

此外，由于實際黏彈性材料的動態力學參數與頻率呈現明顯的相關性，因此上述過程需要在每一個離散的頻率點處都進行以得到全面的測量結果。

3測量結果和分析

3.1靜壓作用于腔體的結構變形仿真

進行靜壓條件下的動態力學參數測量，首先要考慮空腔結構在靜壓作用下的變形，然后將變形后的空腔幾何尺寸代入反射系數的有限元計算模型。計算空腔結構變形需要輸入所有的材料參數，但是彈性模量和泊松比是通過測量計算獲得的，因此需要假設這兩個參數以完成靜壓下的變形計算。初始計算靜壓力下的空腔結構變形時，假設聚氨酯材料的彈性模量60 MPa，泊松比0.48，密度通過測量為1 250 kg/m3，圓柱空腔半徑2 mm，覆蓋層厚度35 mm。

當圓柱空腔覆蓋層受到3 MPa的靜壓力時，變形前后的覆蓋層單元結構示意圖(見圖3)，變形主要為覆蓋層厚度減小和空腔半徑減小兩個方面。與未受壓狀態相比，封口薄層的變形程度較大，空腔結構形狀不再是圓柱空腔，因此以受壓后的變形結果計算靜壓反射系數。第一次參數計算結束后，(見圖1)，將新的彈性模量和泊松比重新代入靜變形分析模型，計算該參數下的靜壓反射系數并與實驗測試進行比較，直至二者差值滿足設定的收斂條件。

3.2方法驗證

本文中并未直接測量材料的黏彈性動態力學參數，因此無法進行直接的比對驗證。但是為了驗證該方法的正確性，利用上節獲得的黏彈性動態力學材料參數，對以相同材料制作的、空腔半徑為3 mm的覆蓋層反射系數進行了有限元計算，并與實際測量結果進行了比較。測試方法采用成熟的基于雙傳聲器(見圖4)的傳遞函數法[16]，測量過程中選擇的靜壓力分別為1 MPa、2 MPa和3 MPa。

比較結果見圖5，可以看出兩者符合良好，只是在個別頻點處稍有差異，原因可能是聲管經過多次加壓釋壓操作之后，兩個水聽器的幅值一致性和相位一致性產生偏差，但這并不妨礙說明該方法的可靠性。應該指出的是，圖5中的計算結果和測量數據之間的差別應是測試系統引起的誤差，從式(11)可以看出，如果反射系數測量不夠準確，必然使參數計算結果產生誤差，若能提高復反射系數測量的準確性，黏彈性動態力學參數測量的準確性肯定會進一步提高。

圖3 靜壓力下單元結構的變形圖Fig.3Deformationofcellunderhydrostaticpressure圖4 雙水聽器法測量示意圖Fig.4Schematicdiagramoftwo-hydrophonemeasuringsystem

圖5　靜壓下某聚氨酯覆蓋層吸聲系數的計算結果和測量數據Fig.5 Simulated and measured reflection coefficients of polyurethane coating under hydrostatic pressure

3.3靜壓下黏彈性動態力學參數測量結果

圖6　靜壓下聚氨酯材料的彈性儲能模量Fig.6 Measured elastic storage modulus of polyurethane under hydrostatic pressure

圖6和圖7分別為靜壓下聚氨酯材料的彈性儲能模量及其損耗因子的測量結果，圖8和圖9分別為靜壓下復泊松比的實部及其損耗因子，復泊松比由ν=ν0(1-jην)表達，其中ν0和ην分別是復泊松比的實部和損耗因子。從圖6～圖9可以總結出如下幾點：

圖7　靜壓下聚氨酯材料的彈性模量損耗因子Fig.7 Measured loss factor of complex elastic modulus of polyurethane under hydrostatic pressure

圖8　靜壓下聚氨酯材料的復泊松比實部Fig.8 Measured real part of complex Poisson’s ratio of polyurethane under hydrostatic pressure

圖9　靜壓下聚氨酯材料的復泊松比損耗因子Fig.9 Measured loss factor of complex Poisson’s ratio of polyurethane under hydrostatic pressure

(1) 不同靜壓條件下，彈性儲能模量的數值變化不大，約在100～150 MPa的范圍內，文獻[17]列出的聚氨酯材料的相關數值為200 MPa，說明通過本方法獲得的彈性儲能模量數值量級上在聚氨酯材料的合理范圍內。

(2) 靜壓值升高導致材料的致密性增加，因此彈性儲能模量及其損耗因子隨靜壓值升高分別呈現出增加和減小的特點。但是與橡膠類材料有較大不同，彈性儲能模量及其損耗因子在不同靜壓值條件下的差別不大，由于聚氨酯材料較硬，因而靜壓引起的材料致密性增加程度有限。

(3) 泊松比數值在不同靜壓值下的差別不大≈0.49，這與高分子材料的泊松比接近于0.5是符合的。泊松比損耗因子量級在10-3左右，這與Pritz的研究結果[18]類似，相對于復泊松比的實部來說，其損耗因子可以忽略不計。

(4) 與初始假設的彈性模量和泊松比相比，最終測量計算得到的這兩個參數有較大差別，說明反復迭代直至收斂獲得計算結果是必要的。

4結論

建立了一種測量靜壓條件下阻尼材料黏彈性動態力學參數的數值-解析混合方法，該方法邏輯清晰、測量精度高，原則上對空腔形狀并無嚴格限制，并且測試頻率和壓力與聲學性能及機理研究的范圍同步。對聚氨酯覆蓋層進行測量和分析發現，由于本次實驗選擇的聚氨酯材料較硬，靜水壓力對聚氨酯材料的復彈性模量和復泊松比的影響都不大。通過黏彈性動態力學參數的驗證計算，指出提高參數測量精度的關鍵是保證靜壓下樣品復反射系數測量的準確性。

參 考 文 獻

[ 1 ] 范軍， 湯渭霖. 覆蓋黏彈性層的水中雙層彈性球殼的回聲特性[J]. 聲學學報, 2001, 26 (4): 302-306.

FAN Jun, TANG Wei-lin. Echoes from double elastic spherical shell covered with visocoelastic materials in water.Acta Acoustica, 2001, 26 (4): 302-306.

[ 2 ] 范蓉平, 孟光, 賀才春,等. 黏彈性阻尼材料降低列車車內噪聲的試驗研究[J]. 振動與沖擊,2008,27(6):123-127.

FAN Rong-ping, MENG Guang, HE Cai-chun,et al. Experiment study on viscoelastic damping materials for noise control in railway vehicles[J]. Journal of Vibration and Shock, 2008, 27 (6): 123-127.

[ 3 ] 李明明, 方勃, 黃文虎. 基于壓電堆和黏彈性材料的新型整星混合隔振系統[J]. 振動與沖擊, 2012, 31 (16): 148-152.

LI Ming-ming, FANG Bo, HUANG Wen-hu.New type of whole-spacecraft hybrid vibration isolation system based on piezoelectric stacks and viscoelastic material[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31 (16): 148-152.

[ 4 ] 陶猛, 卓琳凱. 靜水壓力下吸聲覆蓋層的聲學性能分析[J]. 上海交通大學學報, 2011, 45 (9): 1340-1344.

TAO Meng, ZHUO Ling-kai.Effect of hydrostatic pressure on acoustic performance of sound absorption coating[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 2011, 45 (9): 1340-1344.

[ 5 ] Park J, Lee J, Park J. Measurement of viscoelastic properties from the vibration of a compliantly supported beam[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 2011, 130 (6): 3729-3735.

[ 6 ] Policarpo H, Neves M M, Maia N M M. A simple method for the determination of the complex modulus of resilient materials using a longitudinally vibrating three-layer specimen[J]. Journal of Sound and Vibration, 2013, 332 (2): 246-263.

[ 7 ] Yuan H, Guzina B, Chen S, et al. Estimation of the complex shear modulus in tissue-mimicking materials from optical vibrometry measurements[J]. Inverse Problems in Science and Engineering, 2012, 20 (2): 173-187.

[ 8 ] 尹銚, 劉碧龍, 白國鋒,等. 激光測振有限元反演優化方法測量黏彈材料動態力學參數[J]. 聲學學報, 2013, 38 (2): 172-180.

YIN Yao, LIU Bi-long, BAI Guo-feng,et al. A study on polymer modulus test using laser-based finite element method[J]. Acta Acustica, 2013, 38 (2): 172-180.

[ 9 ] Piquette J C. Shear property determination from underwater acoustic panel tests[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 2004, 115 (5): 2110-2121.

[10] 宋揚, 楊士莪, 黃益旺. 中高頻段下的黏彈性材料聲學參數測量[J]. 材料科學與工藝, 2007, 5 (1): 44-46.

SONG Yang, YANG Shi-e, HUANG Yi-wang. Acoustic parameters measurement of viscoelastic material in median and high frequency[J]. Materials Science and Technology,2007, 5 (1): 44-46.

[11] Guillot F M, Trivett D H. A dynamic Young’s modulus measurement system for highly compliant polymers[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 2003, 114 (3): 1334-1345.

[12] Guillot F M, Trivett D H. Complete elastic characterization of viscoelastic materials by dynamic measurements of the complex bulk and Young’s moduli as a function of temperature and hydrostatic[J]. Journal of Sound and Vibration, 2011, 330 (14): 3334-3351.

[13] 黃修長, 朱蓓麗, 胡碰,等. 靜水壓力下橡膠動態力學參數的聲管測量方法[J]. 上海交通大學學報, 2013, 47 (10): 1503-1508.

HUANG Xiu-chang, ZHU Bei-li, HU Peng,et al. Measurement of dynamic properties of rubber under hydrostatic pressure by water-filled acoustic tube[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University,2013,47(10): 1503-1508.

[14] 徐瑞民. 二元非線性方程組求根的牛頓迭代法[J]. 山東輕工業學院學報, 2009, 23 (4): 89-91.

XU Rui-min.Newton’s method for the nonlinear function of two independent variables[J]. Journal of Shandong Institute of Light Industry, 2009, 23 (4): 89-91.

[15] 中華人民共和國國家質量監督檢驗檢疫總局 中國國家標準化管理委員會 GB/T 5266-2006. 聲學 水聲材料縱波聲速和衰減系數的測量 脈沖管法 [S].北京：中國標準出版社， 2006.

[16] 朱蓓麗, 肖今新. 雙水聽器傳遞函數法低頻測試及誤差分析[J]. 聲學學報, 1994, 19 (5): 351-360.

ZHU Bei-li, XIAO Jin-xin. A two-hydrophone transfer function method for measuring low-frequency acoustic properties and its error analysis[J]. Acta Acustica,1994, 19 (5): 351-360.

[17] Skelton E A, James J H. Theoretical acoustics of underwater structures[M]. London: Imperial College Press, 1997.

[18] T Pritz. The Poisson’s loss factor of solid viscoelastic materials[J]. Journal of Sound and Vibration, 2007, 306 (3): 790-802.

Dynamic parameters measurement of damping materials under hydrostatic pressure based on a hybrid numerical-analytical method

TAOMeng,JIANGKun(School of Mechanical Engineering, Guizhou University, Guiyang 550025, China)

Abstract:For viscoelastic dynamic parameters measurement of damping materials under hydrostatic pressure, a hybrid numerical-analytical method was developed. Firstly, two different samples of sound absorption coatings containing cylindrical holes with two different radii were tested in order to obtain the two different measured complex reflection coefficients under hydrostatic pressure. Secondly, the complex reflection coefficients were calculated with FEM based on the structural deformation simulated with the FE method. Then, using the measured and the simulated complex reflection coefficients simultaneously, two nonlinear equations were established. Using Newton iteration method, the nonlinear equations were solved, the viscoelastic dynamic parameters including complex elastic modulus and complex Poisson’s ratio were obtained. Then, two samples made with polyurethane were tested in a water-filled acoustic-pipe, and the effects of hydrostatic pressure on the viscoelastic dynamic parameters were analyzed and summarized. Finally, the reflection coefficient of another different sound absorption coating tested under hydrostatic pressure was measured and compared with the simulated reflection coefficient calculated with the measured viscoelastic dynamic parameters, the correctness of the proposed method was verified.

Key words:numerical-analytical method; hydrostatic pressure; damping material; dynamic parameters

中圖分類號:TB56

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.07.015

收稿日期：2014-09-23修改稿收到日期：2015-03-31

基金項目：國家自然科學基金(51365007；11304050);高等學校博士學科點專項科研基金(20135201120007);上海交通大學艦船設備噪聲與振動控制技術重點學科實驗室開放課題(VSN201301);貴州省教育廳優秀科技創新人才計劃(黔教合KY字[2014]246)

第一作者 陶猛 男，教授，1980年生