最優應力波形下的沖擊機械沖錘部件的反演設計及參數優化

趙翼飛， 白爭鋒， 楊斌久

(哈爾濱工業大學 飛行器動力學與仿真研究所，山東 威海　264209)

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最優應力波形下的沖擊機械沖錘部件的反演設計及參數優化

趙翼飛， 白爭鋒， 楊斌久

(哈爾濱工業大學 飛行器動力學與仿真研究所，山東 威海264209)

摘要：受空間環境下月壤采樣機構能源供給的限制，立足于一般的沖擊機械模型，假定巖土動態加載剛度一定的情況下分析比較了不同形式入射波形對巖土介質作功過程中能量傳遞效率情況。以實現最優指數應力波形為目標，基于一維波動力學理論及δ(t)函數法對沖錘部件的波阻抗進行反演設計，并使用正解計算和有限元仿真的方法驗證反演設計的正確性。運用假設脫離法分析了沖錘與擊桿之間的受力及運動狀態，分析了沖錘幾何外形無量綱參數影響下能量傳遞效率和沖錘沖擊效率的變化規律并計算相關的最優參數。

關鍵詞：沖擊；應力波；傳遞效率；反演設計；沖錘；月壤采樣機構

沖擊機械是利用強度極大的力流，以一定的速度直接或間接地撞擊工作對象，使其發生位移和破壞。由于其結構緊湊，在工業生產中有著廣泛的應用[1]。我國探月三期工程規劃中的鉆取采樣機構便是基于此并針對特殊的工作環境而演化出一種沖擊機械系統，并且機構的輕量化、低功耗、高效率、高可靠特性等相關要求較地球上廣泛使用的沖擊機械更加嚴格苛刻，尤其是機構的能量傳遞效率是評價沖擊鉆進機構性能的最主要指標。研究沖擊機構能量傳遞的變化規律及傳遞效率，將對月壤采樣機構乃至于地球上其他形式的沖擊機械設計提供堅實的理論基礎，有助于提高工作系統的性能和效率。

與以往的以振動理論為基礎的動力學分析不同，沖擊機械系統傳遞效率的研究必須考慮彈性介質的微元體受沖擊載荷作用下,在極短暫的時間尺度上發生運動參量的顯著變化，從而導致應力波傳播的研究[2]。由于大多數的機械機構都局限在以剛體零部件動態響應為主的研究內容，可不考慮波動過程，因此以波動力學為基礎的應力波及其能量傳播過程研究相對于以振動理論為內容的動力學研究少之又少。基于月壤采樣機構與其他沖擊機械在結構上的相似性，本文將基于簡化后的結構模型(見圖1)，總結國內外該領域內的研究成果，以一維波動力學為理論依據，圍繞系統的能量傳遞效率，對以應力波形式的能量傳遞過程展開分析及計算，以最優波形的實現為目標，反演求解沖錘部件的波阻抗，并對相關參數對系統能量傳遞效率的影響特性進行分析、比較及優化，這是力學范疇內的基礎性研究。

圖1　回轉-沖擊鉆進機構模型及簡化示意圖Fig.1 Model of rotation-percussion and drilling mechanism and simplified diagram

反演設計工作的開展離不開對實現特定形式應力波問題的研究，而不同形式應力波與沖擊系統的能量傳遞效率密切相關。劉德順[3]曾對該問題進行過相關的研究與討論，并設計了一套反演求解的數值程序。由于沒有采用解析求解的形式，經設計后的沖錘部件因撞擊所產生的應力波形較預期的結果有一定的誤差[4]。Nygren等[5-6]首次使用δ函數法反演設計沖錘的波阻抗，文中在20世紀所采用的數學方法值得借鑒，其不完善之處是沒能結合沖錘兩端的邊界條件及初始條件，進而分析沖錘在整個時間范圍內的運動狀態，也沒能結合相關參數對系統的能量傳遞效率和沖擊效率展開分析。Jansson等[7-8]圍繞壓電式功率放大器實現的特定波形問題展開了相關研究。

1最優應力波形的分析求解

1.1應力波理論基礎

如圖2所示的等截面均質直桿在忽略阻尼效應條件下受到一端沖擊激勵后會產生沿軸線方向的縱振動，其控制方程可表示為

(1)

圖2　等截面均質桿微元體Fig.2 Element of uniform material and cross section rod

式(1)解析解可表示為

u(x,t)=φ1(x-ct)+φ2(x+ct)

(2)

令

(3)

Q(x+ct)=-AEφ12(x+ct)

(4)

可得到

(5)

(6)

式中:

Z=ρcA

(7)

為波阻抗，表征桿對波的傳播能力。

(8)

為波速。沿x軸正向傳播的力波P稱之為順波，沿x軸負向傳播的力波Q稱之為逆波。由于假定的是等截面均質桿，因此ρ、A都為常數；如果ρ(x)、A(x)是隨x變化的函數，那么式(1)就會更復雜。

1.2巖土介質的加載力學特性

根據月壤采樣機構的初步設計要求，動力源將采用高頻激振單元，因此沖擊機構對土壤產生循環加載作用。基于巖石與土壤力學特性的相似性，可將工作介質的動態循環加、卸載特性表示成如圖3所示的形式。

巖土受到沖擊載荷后所表現出的加載剛度K值是一個重要的參數。實際情況下，不同載荷周期所對應的K值是不同的。隨著載荷周期的循環進行，K值也隨之增大，且K與作用速率等因素也有著密切的聯系。為了后文分析的方便，這里暫且將動態加載剛度K值視作常數。從圖3可知，卸載剛度K1相對于加載剛度K要大得多，該情況可近似認為是剛性卸載，即可視K1=∞。加、卸載特性曲線經簡化后可重新表示成圖4的形式。

圖3　循環載荷作用下巖土加、卸載特性曲線Fig.3 Rock-soil’s loading and uploading characteristic under cyclicinteraction

圖4　簡化后循環載荷的加、卸載特性曲線Fig.4 Simplified loading and unloading characteristic curves

1.3最優應力波形的參數確定

真實的固體材料在力學性能上總是顯示出速率相關性或時間相關性，即材料本構關系上表現出一定的黏性，黏性微元體簡化后可得到常見的Maxwell體、標準線性固體等。這會導致應力波能量在固體材料傳播的過程中以其他形式損耗掉。由于材料本身所表現的黏性并非人力所能改變的，加上實際工作環境下動力裝置的工作效率及部件之間因干涉與摩擦所造成的能量損失無法預知，因此若能減小應力波的傳遞歷程(表現在傳播時間和傳播距離上)，讓應力波以一定的形式最大地通過巖土介質并對其作功，就能有效地提高工作效率。黏性巖土介質受力后的模型可表示為

(9)

式中：F為巖土介質或擊桿的受力，以壓力為正；J為巖土介質的黏性阻尼系數；u為軸向位移；A為等截面擊桿橫截面積。

由應力波的理論可知，在擊桿與巖土之間相互作用過程中會有正、逆兩個方向的應力波產生。設P為擊桿中傳播的入射波(正向力波)，Q為反射波(逆向力波)，由作用力及速度的平衡條件可得到式(10)：

(10)

式中：Z桿的波阻抗。由于擊桿等截面且質地均勻，所以Z為常數。定義反射波能量與入射波的能量之間的比值為能量傳遞效率目標函數ηr，從而使

(11)

由式(11)可知，要尋找一個未知的入射力波函數P(t)使得式(11)在式(10)約束條件下取得最大值，屬于泛函條件求最值的問題。由于式(11)中的分子與分母同時含有未知的表達式，求解會有很大的難度。Lundberg等及劉德順[9-10]通過分析都曾指出指數波形相對于其他波形在能量傳遞效率上的優勢。因此不妨引入參數δ，通過代入特定數值的方法比較不同形式指數波間的能量傳遞效率ηr，從而確定最優參數。

設入射P(t)的表達式為:

(12)

式中L：C為常系數。當ε=0時，P(t)為矩形波；當ε<0時P(t)為負指數形波；當ε>0，P(t)為正指數形波。將式(12)代入式(10)，由初始條件t=0時，u=0可得到0

Q(t)=

(13)

(14)

由剛性卸載特性易知，t>T時，由P(t)=0必有Q(t)=0。由ηr的定義及式(14)、式(12)可得到

(15)

ηr=2(e-τT-1)2/τT

(16)

同理可得δ>0取其它數值時函數ηr的變化規律。利用數值軟件將δ=0、δ=0.1、δ=1、δ=2、δ=3及δ=10的ηr函數曲線繪制在同一張函數圖像中(見圖5)； 當δ<0時，可取δ=-0.1、δ=-1、δ=-2、δ=-3、δ=-10，這時ηr的變化曲線見圖6。

圖5　δ≥0時ηr函數曲線Fig.5 Curves of functionηr when δ≥0

圖6　δ<0時ηr函數曲線Fig.6 Curves of function ηr when δ<0

2沖錘部件反演設計及參數優化

由應力波的理論可知，兩個恒波阻抗的沖錘與擊桿相互撞擊只會產生矩形波。由上面的分析得知正指數波形在能量傳遞效率上的優勢，若擊桿是恒波阻抗部件，則完全可通過反演設計具有特定Z(x)形式的沖錘，通過與擊桿之間的撞擊來實現最優入射波形。

2.1反演求解概述及方法步驟

若彈性部件的密度ρ和彈性模量E是恒定的，由式(7)可知波阻抗的反演設計等價為橫截面積A(x)的反演設計。變截面沖錘部件(見圖7)，在x=0處受到激勵F(0,t)的作用，x=0處的速度響應為v(0,t)。

圖7　沖錘部件受力及速度響應Fig.7 Response of impactor’s force and velocity

引入光坐標變量

(17)

ξ=ξ(x)，表示應力波以一定的波速c傳播到桿長坐標為x處所對應的時間，與常提到的光年物理含義類似。從而式(1)可重新寫成

(18)

(19)

(20)

(21)

設：

(22)

圖與δ(t)之間的關系Fig.8 Relationship between (t) and δ(t)

(23)

(24)

圖9　沖錘與擊桿撞擊示意圖Fig.9Impaction between impactor and rod

求得，而函數式f(ξ,ξ)又必須要滿足:

(25)

借助于Sondhi等[11]的研究，將在附錄中就式(24)及式(25)的正確性給出證明過程。

2.2指數波形下的沖錘部件反演求解

由圖9可知，波阻抗彈性部件時，Z桿(ξ)=Z1，顯然有

(26)

設正指數應力波形的一般表達式為:

F(t)=F0et/t0

(27)

將式(22)，式(26)，式(27)代入式(23)中，并同時對等號兩邊進行二次求導可得到G′(t)=0，設G(t)=A，可得到

(28)

(29)

式(29)代入式(25)

f(ξ,t)=1/(1-ξ/ξ0)

(30)

式中:

(31)

再根據式(24)便可得到正指數波形下沖錘部件波阻抗的解析表達式

(32)

2.3沖錘部件正問題求解及運動狀態的分析

(33)

(34)

(35)

(36)

同理撞擊端ξ=0處存在

ξ=0

(37)

φ(t)為沖錘撞擊端ξ=0受力表達式。由式(36)可得到

(38)

從而有

(39)

(40)

Laplace反變換可得到

(41)

仔細比較式(22)、式(29)和式(31)會發現它們的表達形式與式(41)等號右邊前半部分表達式是相互一致的。將式(41)、式(26)代入式(23)可得到:

(42)

當t<0時，F(t)=0。

(43)

將t=0代入

(44)

式(43)等號兩邊同時微分求解得到

(45)

式中:

(46)

(47)

利用有限元仿真程序同樣可以得到沖錘與擊桿因撞擊產生的應力波形。該模型是經反演設計后的沖錘與等截面擊桿撞擊運動的有限元模型(見圖10)。

圖10　沖錘與擊桿撞擊有限元模型Fig.10 Impacting FEM model between impactor and rod

圖11　沖錘撞擊端受力曲線Fig.11 Impactor’s stress curves at impacting end

圖12　沖錘自由端受力曲線Fig.12 Impactor’s stress curves at free end

(48)

對式(48)等號兩邊同時微分，并利用式(45)計算結果可得到

F(t)=Cexp(t/t0)-

(49)

式中：F0、t0為式(46)、式(47)的表達形式，C的表達形式較復雜。

(50)

(51)

(52)

(53)

2.4沖錘的參數設計及優化

由最優應力波形式

(54)

可知

(55)

當F0和t0為已知參數時，可知

(56)

ξ與桿長變量x之間的關系可表示成

x=cξ

(57)

由于采用相同材料且質地均勻，因此波速c為常量。引入無量綱參數λ

λ=F0/Z1V

(58)

由式(56)ξ0>0可知0<λ<1。若沖錘與擊桿由同種材料制成，利用c及t0的表達式可得到沖錘的理論長度l0

(59)

(60)

引入另一個無量綱參數

(61)

顯然0<β<1。針對β適當的取值范圍，進行討論：

就沖錘幾何尺寸而言，由于

(62)

由圖5可知，通過上一節針對不同波形能量傳遞效率ηr展開的分析可知τT較小時，不同波形間的ηr曲線幾乎重合，隨著τT增大(τT≥0.8)，δ=1的最優指數形波相對于矩形波在效率ηr上的優勢就體現得更加明顯。由式(63)可知:

(63)

要想使τT變得大，λ越小越好，而β越大越好。

由式(58)可知，如果λ過小，F0一定的情況下會導致Z1或V過大，致使激勵裝置無法實現預定的初速度。將λ代入式(28)，可得到:

(64)

(65)

(66)

圖13　η(β,λ)三維函數圖像Fig.13η(β,λ) 3-D function image

圖14　η(β,λ)平面等值線圖像Fig.14 η(β,λ) contour lines

圖15　(η,λ)與(η,β)坐標二維視圖Fig.15 (η,λ) and (η,β) coordinate graphs

通過數值計算軟件得到如圖13所示η(β,λ)三維圖像和圖14的平面圖像，從圖13中可知，函數存在最大極值點。結合圖15所示的二維視圖可得到當β≈0.7，λ≈0.3時，η取得最大值ηmax=0.55。將相應的β與λ代入式(63)計算τT并參照圖5可得到ηr≈0.86；同理λ=0.1，β=0.8時有τT=1.44，ηr≈0.93，而沖錘的沖擊效率η≈0.35。僅就沖錘的沖擊效率而言，β≈0.7，λ≈0.3為最佳參數。

3結論

通過引入參變量δ比較不同形式入射波的能量傳遞效率ηr后得出結論：δ=1的指數函數是使能量傳遞效率最高的入射應力波函數。然而通過圖5，圖6的對照發現傳遞效率函數ηr不僅取決于δ值，參數τT的大小也決定了效率的高低：當τT較小時，不同形式入射應力波條件下的傳遞效率曲線幾乎重合，且處于較低的數值范圍內；隨著τT的增大，δ=1的最優指數波形逐漸體現出了效率上的優勢，ηr(t)以遞增函數的形式≈1。實際工程設計中可結合現實巖土的力學特性首先計算與加載剛度K緊密相關的參數τT。當τT較小時，由于等波阻抗沖錘加工制造較為方便，可選取δ=0的矩形波為最優波形；當τT較大且對能量傳遞效率要求較高時，δ=1的指數波形無疑是最優方案。

通過文中的計算及分析可知，以撞擊端產生指數波形為目標經反演設計后的沖錘幾何外形是受到兩個無量綱參數β及λ控制的。從兩者的表達式可知，參數λ決定了沖錘的理論長度，β決定了沖錘的實際長度，β一定時，λ反應了沖錘橫向外形的“胖瘦”關系，β則反應了軸向“高矮”關系。僅就沖錘的沖擊效率η而言，β≈0.7，λ≈0.3是使其達到最大化的最優參數。由式(63)可知β及λ同時決定著τT和能量傳遞效率ηr的大小，因此在實際工程應用中可以結合以上分析進行綜合考慮從而合理設計β及λ的數值。

參 考 文 獻

[ 1 ] 劉德順，李夕兵. 沖擊機械動力學與反演設計[M]. 北京：科學出版社，2007.

[ 2 ] 李鵬，楊帥. 鉆取采樣機構全參數力學研究框架的構建[C]//中國宇航學會深空探測技術專業委員會第九屆學術年會論文集(下冊).北京:2012：925-932.

[ 3 ] 劉德順，朱萍玉，彭佑多. 應力波在桿形部件中的傳播與反演設計[J]. 振動工程學報，2001，14(4)：482-486.

LIU De-shun, ZHU Ping-yu, PENG You-duo. Propagation and inverse design of stress wave in an elastic bar[J]. Journal of Vibration Engineering, 2001, 14(4)：482-486.

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LIU De-shun, PENG You-duo, LI Xi-bing. Study of dynamical inverse design and test on the impact piston[J]. Journal of Mechanical Engineering, 1998, 34(3)：82-89.

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[12] 王禮立. 應力波基礎[M]. 北京：國防工業出版社，2005.

附錄：

式(24)、式(25)證明

證明：

如圖16所示的是ξ-t坐標圖，沖錘開始處于靜止狀態并在ξ=0處，及t>0時間范圍內受到激勵，由式(18)可知，系統方程的特征線方程為

dξ/dt=±1

(a)

圖16　ξ-t坐標圖Fig.16 ξ-t coordinate graph

(b)

(c)

如果將a變換成ξ，且等號兩邊同時對ξ微分可得到

(d)

(e)

(f)

(g)

式(71)中ξ=0時，可由式(73)得到

(h)

由式(72)可知f(a,t)=f(a,-t)，從而式(74)可寫成

(j)

證畢。

Impactor’s inverse design and parametric optimization of an impact machinery based on optimal stress waveform

ZHAOYi-fei,BAIZheng-feng,YANGBin-jiu(Institute of Aircraft Dynamics and Simulation Research, Harbin Institute of Technology, Weihai 264209, China)

Abstract:The energy supply to a moon soil sampling machinery is limited under space environment. Here, energy transfer efficiencies were analyzed and compared under different stress waveforms and a constant rock-soil’s dynamic stiffness based on a general impact machinery model. The impactor’s wave impedance was designed inversely based on one-dimensional wave mechanics and Dirac delta function δ(t) in order to achieve the optimal waveform. The correctness of the impactor’s inverse design was verified with the forward solution and FEM. The motion state and stress between the impactor and rod were analyzed with the assuming separation method. The energy transfer efficiency and impactor’s impaction efficiency influenced by impactor’s geometry dimensionless parameters were analyzed and the optimal parameters were also calculated.

Key words:impact; stress wave; transfer efficiency; inverse design; impactor; moon soil sampling machinery

中圖分類號:TU113.1；V57

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.07.016

通信作者白爭鋒 男，博士，副教授，碩士生導師，1982年生

收稿日期：2014-12-16修改稿收到日期：2015-04-03

基金項目：國家自然科學基金項目(51305093)；中國博士后科學基金特別資助(2014T70317)；山東省自然科學基金項目(ZR2013EEQ004)

第一作者 趙翼飛 男，碩士，1986年生

E-mail：baizhengfeng@126.com