兩端一般支承裂紋管道的動力學特性

包日東， 梁　峰

(沈陽化工大學，沈陽　110142)

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兩端一般支承裂紋管道的動力學特性

包日東， 梁峰

(沈陽化工大學，沈陽110142)

摘要：研究了兩端一般支承輸流管道在含有圓周非貫穿裂紋時的動力學特性。在梁模型橫向彎曲振動模態函數中加入3次多項式構造出含裂紋梁的模態函數，根據特征方程具體分析了彈性支承剛度、平均流速、裂紋圓周角、裂紋位置等對系統的固有頻率特性和失穩臨界流速的影響。數值計算結果表明，由于裂紋的存在，管道的固有頻率和靜態失穩和動態失穩臨界流速將發生復雜的變化。

關鍵詞：輸流管道；裂紋；動力學特性；固有頻率；臨界流速

輸流管道在安裝和操作過程中，由于多種原因可能導致管道發生損傷，如腐蝕、疲勞、過載、沖擊等，裂紋是損傷中典型的一種形式。管道裂紋的出現將改變結構的剛度、阻尼和質量，從而導致結構的動力學特性發生變化。

含裂紋梁的動力學問題的研究已有大量報道[1-3]，但對于含裂紋輸流管道流固耦合系統的研究則剛在起步階段。Yoon等[4-5]首次研究了含裂紋的懸臂輸流管道和簡支輸流管道在移動載荷作用下的動態特性。蔡逢春等[6-8]在Yoon的研究基礎上，探討了含裂紋懸臂輸流管道的穩定性，討論了裂紋位置和深度對頻率和顫振臨界流速的影響，研究了兩端鉸支輸流管道在振蕩流作用下的非線性動力學特性。

本文研究兩端受線性彈簧支承和扭轉彈簧約束一般支承的輸流管道在含有圓周非貫穿裂紋時的固有頻率特性和靜態失穩及動力失穩臨界流速。在梁模型橫向彎曲振動模態函數加入3次多項式構造含裂紋梁的模態函數，根據特征方程具體分析了彈性支承剛度、平均流速、裂紋圓周角、裂紋位置等對系統的固有頻率特性和失穩臨界流速的影響。

1系統運動方程

如圖1所示的輸流管道，兩端受線性彈簧支承和扭轉彈簧約束的一般支承情況，其運動方程為[9-10]：

圖1　一般支承裂紋管道模型Fig.1 Model of a commonly supported pipe with crack

(1)

式中：U為流體流速;mf為單位長度流體質量;m為單位長度管道的總質量;Af為管道過流截面積;P為流體壓強;ν為泊松比;η為Kelvin-Voigt黏彈性系數;E為管材彈性模量;I為管道截面模量;EI為管道抗彎剛度;T為軸向力;x為管道截面位置坐標;y為管道橫向振動時的變形。

引入如下的量綱一變量：

(2)

將式(1)化為量綱一形式：

2模態函數

考慮含有一條裂紋的梁(見圖1)，從裂紋處將梁分成2段，在裂紋處因轉角不連續，用無質量的扭轉彈簧模擬裂紋，裂紋梁的模態函數可分段表示為：

A1+A2x+A3x2+A4x3,(0≤x≤xc)

(4)

A5+A6x+A7x2+A8x3,(xc≤x≤L)

(5)

(6)

(7)

一般支承裂紋管道在端部應滿足線性彈性支承和扭轉彈簧約束的邊界條件，在裂紋處應滿足位移、彎矩、剪力和轉角四個協調條件：

(8)

式(8)中：C為管道外壁圓周裂紋帶來的局部柔度系數。將式(4)～(7)代入邊界條件為式(8)，可得：

(9)

考慮兩端對稱支承的情形，即：

KT1=KT1=KT,K1=K2=K

(10)

令：

(11)

將式(11)代入式(9)，可得

(12)

式(12)構成關于Ai(i=1,2,…,8)的線性方程組，求解該方程組，可以唯一確定系數Ai，由此得到裂紋管道的兩段模態函數。

3局部柔度系數

假設裂紋尖端應力在彈性范圍內，將含單邊直裂紋圓管的裂紋區域分割成一序列無限小的矩形條帶區域(見圖2)，各個微小裂紋條帶的應力強度因子近似使用無限長板條的單變裂紋應力強度因子，然后求得直裂紋的柔度系數。依據線性斷裂力學理論可計算出在純彎矩作用下由外壁部分圓周裂紋帶來的局部柔度系數為：

(13)

圖2　裂紋管道截面Fig.2 Section of the cracked pipe

可進一步將局部柔度系數化為無量綱形式：

(14)

4運動方程的離散

令以上各種邊界條件下的模態函數中L=1，即得到無量綱的模態函數。

(15)

將式(15)代入式(3)可得

(16)

式(16)兩邊同乘以φj(ξ),(j=1,2)，然后在區間[0，1]上進行積分，可得

(17)

式中：M，C，K的表達式分別為

C=αB1+2β0.5uB2,K=B1+(u2+p-Γ)B3

q=(q1,q2)T,(i,j=1,2)

進一步將系統運動方程(17)化為：

(18)

式中：

R=-M-1C,S=-M-1K

(19)

式中：

這里，rij，sij(i,j=1,2)為矩陣R，S的元素。

5動力學特性分析

式(19)中A的特征方程為

ω4+P1ω3+P2ω2+P3ω+P4=0

(20)

式中：

仿真參數取：α=0.002，β=0.2，Γ=5，p=5，γ=10，u=3，kt=300，k=300，d=Di/De=0.925 9，a/h=0.5，θ=π/6，ξc=0.5。當討論某參數對固有頻率和臨界流速的影響時，該參數取變化的值(圖中的橫坐標)。數值仿真結果見圖3～圖9，分析和討論如下。

圖3　管道固有頻率隨彈性支承系數k的變化Fig.3 Variation of natural frequencies with elastic coefficient k

圖4　管道固有頻率隨平均流速u的變化Fig.4 Variation of natural frequencies with mean flow velocity

(1) 圖3所示為裂紋管道與無裂紋管道固有頻率隨端部彈性支承系數k的變化情況比較。從圖3可知，兩種管道的固有頻率隨彈性支承系數的變化趨勢一致，都隨著彈性支承系數的增大而增大，但是，裂紋管道的一階固有頻率比無裂紋管道的一階固有頻率有所降低，而二階固有頻率則有所升高。

(2) 圖4是管道固有頻率隨平均流速u的變化規律。從圖4可知，管道的固有頻率隨內流流速的增大而下降，當一階固有頻率下降到零時，管道便發生屈曲，也即是靜態失穩現象。從圖中得出，裂紋管道的靜態失穩臨界流速大于無裂紋管道的靜態失穩臨界流速，這主要是因為管道系統的總剛度由于裂紋的出現而減小的緣故。另外,從圖4也可知，兩種管道的一階和二階靜力失穩會發生耦合，而對于較小的彈性系數，則不會發生一階和二階的耦合現象。

圖5　管道固有頻率隨裂紋圓周角θ的變化Fig.5 Variation of natural frequencies with circumferential angle of crack θ

圖6　管道固有頻率隨裂紋相對位置ξc的變化Fig.6 Variation of natural frequencies with relative location of crack ξc

圖7　失穩臨界流速隨彈性支承系數k的變化Fig.7 Variation of critical instabilityflowrate with elastic coefficient k

圖8　失穩臨界流速隨彈性系數k和kt的變化Fig.8 Variation of critical instability flowrate with elastic coefficient k and kt

圖9　失穩臨界流速隨裂紋相對位置ξc的變化Fig.9 Variation of critical instabilityflowrate with relative location of crack ξc

(3) 圖5為管道固有頻率隨裂紋圓周角θ的變化情況。從圖5可知，管外非貫通裂紋的圓周角增大時，管道的一階固有頻率下降，而二階固有頻率上升，在[0～π/6]和[5π/6～π]區間內，一階固有頻率下降較快，二階固有頻率上升較快，在中間區間內的變化相對較平緩。

(4) 圖6為管道固有頻率隨裂紋相對位置ξc的變化情況。從圖6可知，固有頻率隨裂紋位置的變化呈現出波形變化的規律。一階固有頻率出現了二波，而二階固有頻率出現了三波。

(5) 圖7和圖8為管道失穩臨界流速隨兩端彈性剛度系數的變化規律。從圖7和圖8可知，在一定區域的彈性約束剛度kt下，管道的動態顫振失穩臨界流速小于靜態發散失穩臨界流速，也即管道首先發生動態顫振失穩，在較大的彈性支承剛度k下，管道的失穩形態則相反，發散失穩臨界流速小于顫振失穩臨界流速，即管道先發生發散失穩。另外，從圖7和圖8還可知，管道的靜態發散失穩臨界流速有一突變區間，在此突變區間之前，管道的靜態發散失穩臨界流速隨著k的增大而增大，在此突變區間，管道的靜態發散失穩臨界流速則隨著k的增大而減小，最后趨于一個定值，當kt和k足夠大時，此定值為兩端固定管道的靜態發散失穩臨界流速值。裂紋管道的這一靜態發散失穩臨界流速突變區間比無裂紋管道的突變區間大且向后(即向較大的彈性支承系數)變化。在出現此突變區間之前，兩種管道的靜態失穩臨界流速基本相同，而在此之后，則出現裂紋管道的靜態失穩臨界流速大于無裂紋管道的靜態失穩臨界流速值。

(6) 圖9為失穩臨界流速隨裂紋相對位置ξc的變化規律。從圖9可知，裂紋在管道中點時靜態失穩臨界流速達到最大值，裂紋向管道兩端移動時靜態失穩臨界流速值下降。動態失穩臨界流速有相似的規律，但比靜態失穩臨界流速的變化較急劇和復雜，特別是裂紋移動到管道的后半部分時變化有較大的波動現象。

6結論

輸流管道兩端理想支承(簡支或固支)是支承條件的理想化模型，工程實際中的支承情況往往介于這兩種理想支承之間的中間狀態，所以無論采用哪種理想支承來分析輸流管道的動力特性，其結果必然與實際情形有較大出入。本文研究的端部受線彈簧支承和扭轉彈簧約束的一般支承管道系統，在含圓周非貫穿裂紋時的動力學特性，兩端的彈性系數可根據管道實際工況情形來選取，分析比較靈活，能較好地仿真工程中管道實際支承情況。

參 考 文 獻

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Dynamic characteristics of a cracked pipe conveying fluid with both elestically supported ends

BAORi-dong,LIANGFeng(Shenyang University of Chemical Technology, Shenyang 110142, China)

Abstract:The dynamic characteristics of a cracked pipe conveying fluid with both ends supported elastically were studied. The bending vibration modal functions of the cracked pipe were derived using the general beam modal functions adding a cubic polynomial. The influences of elastic stiffness coefficients, mean flow velocity, circumference angle of crack and crack position on the natural frequencies and fluid critical flow velocity of the pipe system were simulated and analyzed based on the eigenequation of the piping system. The numerical results showed that the natural frequencies and the fluid critical flow velocity vary complicatedly due to crack existing.

Key words:pip conveying fluid; cracked pipe; dynamic characteristics; natural frequencies; critical flow velocity

中圖分類號:O322

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.07.034

收稿日期：2014-10-28修改稿收到日期：2015-02-06

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51275315)

第一作者 包日東 男，博士，教授，1967年生