呼吸性裂紋轉子的瞬態振動特性分析

劉　政， 王建軍

(北京航空航天大學 能源與動力工程學院，北京　100191)

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呼吸性裂紋轉子的瞬態振動特性分析

劉政， 王建軍

(北京航空航天大學 能源與動力工程學院，北京100191)

摘要：旋轉機械轉子軸萌生裂紋后，瞬態加速過程中轉渦差角時變使裂紋周期性開合，系統發生不同于穩態情況的振動。基于中性軸法確定裂紋開合，數值計算了呼吸裂紋引起剛度時變的轉子過臨界轉速的瞬態振動，分析裂紋大小、方向角和重力對線性加速轉子瞬態振動的影響，以及定功率加速瞬態過程中系統振動響應及穩定性。結果發現，瞬態條件下帶呼吸裂紋轉子系統亞諧波共振并不明顯；裂紋越大，過臨界轉速時瞬態振幅越大；在臨界轉速附近裂紋瞬時張開會激起很大的振動；定功率加速過程下，若功率不足以提供轉子順利穿過臨界轉速，則會出現外界扭矩與瞬態振動的能量耦合，大裂紋還可能造成瞬態振動發展成混沌。

關鍵詞：中性軸法；呼吸裂紋；臨界轉速；單盤轉子；瞬態振動

航空發動機等旋轉機械具有極其復雜的轉子結構，工作于高速、高溫、高壓、大功率條件下，因此極容易萌生裂紋，轉子渦動使裂紋開合，偏離設計狀態而發生參數振動。尤其在啟動和制動穿過一階或多階臨界轉速過程中，裂紋轉子不僅出現劇烈的大幅值瞬態振動，而且可能出現轉子振動與外界驅動力矩的能量耦合而無法工作。如果不及時發現，最終會導致轉子的失穩斷裂，且造成災難性后果。因此，近年來裂紋轉子受到學術界和工程界的高度重視。

在裂紋轉子非線性動力特性研究方面，目前Jeffcott轉子依然是研究問題最常用的模型。Patel[1]基于剛性固支Jeffcott轉子采用兩種裂紋模型——方波裂紋模型和隨響應開閉裂紋模型，對比了不同裂紋下轉子的周期參數振動，認為方波裂紋模型存在混沌、擬周期振動和亞諧波共振，而呼吸裂紋不存在上述現象。Untaroiu[2]針對帶橫向裂紋的Jeffcott轉子，采用Floquet理論分析了參數周期時變轉子運動穩定性，指出一階無阻尼臨界轉速附近存在不穩定轉速區。何成兵[3]針對裂紋Jeffcott轉子彎扭耦合的非線性振動進行計算，發現彎振存在1/3階、 1/2階亞諧共振，扭振存在1/2階亞諧共振。程禮[4]還分析了橫向裂紋對Jeffcott轉子系統固有頻率的影響。在有關剛度耦合的呼吸裂紋方面，Saber[5]采用剛度周期變化的非線性彈簧模擬帶呼吸裂紋的軸，分析了裂紋深度、旋轉速度對剛度的影響，并采用諧波平衡法研究了轉軸非線性動力響應。

在裂紋轉子線性加速瞬態振動分析方面，鄒劍等[6]基于簡單鉸鏈裂紋模型，采用余弦正交函數多項式控制裂紋開閉，數值計算得到了有裂紋de Laval轉子的瞬態振動響應，認為裂紋轉子存在亞諧共振，且剛度、質量偏心及其角度都會影響瞬態振動。何成兵等[7]采用方波裂紋模型控制裂紋開閉，也出現了亞諧共振現象。但這些裂紋模型不具有半開半閉過渡態的典型呼吸特征。Darpe[8]采用應力強度因子描述了雙向耦合裂紋模型，分析了加速比、深度和阻尼對呼吸裂紋的影響，研究了帶呼吸裂紋Jeffcott轉子的瞬態振動，然而該方法每一步都需要復雜的迭代過程。

中性軸法裂紋模型是繼方波裂紋模型、余弦裂紋模型和高-朱裂紋模型[9]之后又一個新模型，王宗勇[10]、林言麗[11]、楊丹等[12]均基于中性軸法研究了裂紋張開與閉合的呼吸過程，對帶該類裂紋轉子的穩定性、非線性動力學特性等進行研究。① 中性軸法具有明確的物理意義；② 中性軸法可以得出裂紋的解析模型，計算簡潔快速；③ 中性軸法計算裂紋轉子的規律和結論具有一般性，可以作為故障診斷等解決工程問題的參考。

鑒于以上因素，本文著眼于中性軸法確定裂紋開合的方法，數值計算了由呼吸裂紋引起剛度耦合的Jeffcott轉子過臨界轉速的瞬態振動響應，分析了裂紋轉子線性加速過程以及更符合實際的定功率加速過程的瞬態振動特性及其穩定性。

1基于剛度耦合裂紋轉子的動力學方程

圖1　呼吸裂紋軸橫截面的幾何示意圖Fig.1 Geometric sketch of cross section of shaft with breathing crack

圖1中共有6個坐標系，分別是靜止坐標系(慣性參考系)Oxy，平動坐標系Ox′y′，旋轉坐標系Oξη，既平動又旋轉坐標系O′ξ′η′，渦動坐標系OX′Y′及描述裂紋的幾何坐標系O′ξk′ηk′。轉子質量主軸張成O′ξ′η′，剛度主軸張成O′ξk′ηk′，中性面及其法向張成OX′Y′。本文以Jeffcott轉子為研究對象，裂紋位于轉軸的正中央，討論的轉子動力學方程建立于非慣性系Oξη中。以裂紋角α描述裂紋大小，φ、Ψ分別為自轉角和渦動角，其差角χ則影響裂紋呼吸特性，進而使轉子剛度時變。

采用文獻[10]中性軸法描述的帶剛度耦合的呼吸裂紋模型，單盤轉子剛度可表示為

[kξ,kη,kξη]T=k[fξ(β),fη(β),fξη(β)]T

(1)

式中：k為無裂紋剛度。裂紋造成轉子剛度非對稱，作瞬態非同步進動，彎曲中性面與兩個主剛度方向不重合，因此轉子剛度不僅在固定坐標系中時變，還在兩個主方向上相互耦合，發生隨自轉角周期變化的參數振動。

采用旋轉坐標系求解剛度耦合的轉子動力學問題時，兩個主剛度方向不隨轉速交變，在旋轉坐標系中為定方向；轉渦差角僅為心形旋轉坐標的函數，而不包含自轉角。這極大地簡化了剛度矩陣，而軸的彎曲撓度及盤的偏擺大小為坐標不變量，因此旋轉坐標系中計算的瞬態振動基本特征完全能反映系統的性質。此外，排除了自轉的干擾，在旋轉坐標系中可以獲得清晰的盤心軌跡來分析轉子的穩定性。在旋轉坐標系Oξη中，轉渦差角為

(2)

由圖1可知，設裂紋方向(沿ξk′正向)與質量偏心方向(沿ξ′正向)的夾角(即剛度主方向與質量主方向的夾角)為靜態裂紋方向角β0，因此依圖1表示的截面模型，瞬時裂紋方向角為

(3)

在旋轉坐標系Oξη中表示系統的動能、勢能及耗散函數，不考慮內阻尼，根據Lagrange方程，建立對稱放置、軸為剛性扭轉的單盤轉子系統在旋轉坐標系Oξη下的動力學式(4和式(5)，式中m、Jp、e為質量、極轉動慣量、偏心距;cr、cφ為位移和自轉角阻尼比;L為驅動力矩;q為靜系Oxy中的外力變換為旋轉坐標系Oξη中的廣義力。

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

定義無量綱時間τ=ωnt，則d( )/dt=d( )/(ωndτ)，可得帶裂紋剛性支承Jeffcott轉子的無量綱動力學方程式(11)，式(12)，式中L(dφ/dτ)為無量綱軸向扭矩，Q為無量綱廣義力。

(11)

(12)

2線性加速裂紋轉子過臨界轉速瞬態振動

2.1裂紋大小對轉子瞬態振動的影響

當β0=0時，裂紋位于質量主軸ξ′方向上，剛度主軸與質量主軸正好重合。分別對比圖2～圖5中A點對應的轉速值，由此可知，隨著裂紋角的增大，同加速度瞬態條件下發生最大振幅的轉速點在前移，這表明裂紋角的增大降低了轉子同步渦動的有阻尼固有頻率(圖中γ=10-4最大振幅對應的轉速略大于有阻尼臨界轉速)；這主要由于裂紋張開使轉子軸的橫截面積減小，裂紋角越大減小的越加明顯，因此造成大裂紋角轉子的臨界轉速顯著降低。

圖2　無裂紋Jeffcott轉子的瞬態振動Fig.2 Transient vibration of Jeffcott rotor without crack

圖3　裂紋角α=π/12轉子的瞬態振動Fig.3 Transient vibration of rotor with crack angle of α=π/12

圖4　裂紋角α=π/6轉子的瞬態振動Fig.4 Transient vibration of rotor with crack angle of α=π/6

圖5　裂紋角α=π/4轉子的瞬態振動Fig.5 Transient vibration of rotor with crack angle of α=π/4

分別對比圖2～圖5中A，B，C或D點的瞬態振動幅值，經分析隨著裂紋角增大。同加速度瞬態振動的幅值迅速增大，甚至當裂紋角α=π/4時小加速度條件下，過臨界轉速的瞬態振動已經完全超出可接受的范圍，若是穩態運轉在這個轉速上，轉子系統實際上是不穩定的。但是，當穿過臨界轉速運行在超臨界轉速階段時，不同加速度的瞬態振動幅值可以收斂在同一值上。這是由于轉子系統具有自定心性，超臨界轉速區內質心位于坐標原點，而形心則與質量主軸成-180°的方向上，距離原點一個偏心距。① 對比各圖中不同加速度條件下瞬態振動的幅值可見，加速度越大，瞬態振幅越小，尤其對于較大裂紋轉子過臨界轉速時，慢加速狀態已經失穩(圖 5中γ=10-4無量綱振幅X=1021，認為無窮大)，而快加速狀態還保持相對較小的有限值(圖 5中γ=10-2無量綱振幅X=0.89，與圖2中γ=10-2振幅X=0.45相比增加不大)。這表明，自轉角加速度對于轉子瞬態的穩定性具有極大的影響，相同結構的轉子系統，小加速度可能存在轉速失穩區，大加速度則可以順利通過臨界轉速。② 只要過了臨界轉速，轉子瞬態振幅將逐漸穩定，而與加速度無關；但是，收斂速度與形式與加速度有很大關系，小加速度狀態幾乎不出現幅值振蕩，而大加速度的瞬態振幅要多次振蕩才能緩慢收斂。這時轉子在固定坐標系Oxy下的瞬態振動由共振激起的按系統固有頻率的自由振動和按當地轉速頻率的強迫振動合成，圖2～圖5中表現出的振幅的波動頻率為當地轉速頻率與固有頻率之差。

根據以上結果可以得出：①裂紋降低了轉子非同步渦動的臨界轉速；②大加速度加速能顯著降低轉子過臨界轉速時的瞬態振幅；并且只要順利穿過臨界轉速后，轉子能穩定地運轉于超臨界轉速區內；③裂紋加劇了轉子剛度非對稱性。裂紋轉子在臨界轉速附近區域是不穩定的，且裂紋越大，轉子不穩定轉速區越大。

2.2裂紋方向角對轉子瞬態振動的影響

本小節固定裂紋大小α=π/6，以β0為參數，計算了裂紋與質量主軸方向不同夾角時的轉子在線性加速過程中的瞬態振動表現。由于轉子做正向渦動，裂紋由開到閉的β∈[π/3, 2π/3]，由閉到開的β∈[-2π/3,- π/3]或[4π/3, 5π/3]，故β0主要影響亞臨界轉速段裂紋的開合、過臨界轉速時裂紋的變化以及超臨界轉速段裂紋與中性面(位于渦動坐標系O′X′Y′的O′Y′軸)的夾角。

圖6　靜態裂紋方向角β0=-2π/3轉子的瞬態振動Fig.6 Transient vibration of rotor with static crack orientation angle of -2π/3

由于靜態裂紋方向角β0主要影響過臨界轉速時裂紋與中性面的夾角β(即瞬時裂紋方向角)以及剛度在兩個質量主軸上的分量(見圖8～圖10)，因此，① 分析瞬態振動幅值、瞬時裂紋方向角隨轉速的變化曲線，裂紋的開閉對遠離臨界轉速的轉速區影響很小，主要是由于亞臨界轉速段轉速較低，激起的瞬態振動幅值較小；超臨界轉速區轉子具有自定心效應，任何方向的瞬態振幅都維持在很小的水平；② 臨界轉速附近的裂紋開閉對瞬態振動影響很大，當轉子正在穿過臨界轉速的瞬時裂紋方向角正好落在裂紋由開到閉區間，會激起相當大的共振振幅(見圖8)，而落在裂紋由閉到開區間內激起的共振振幅并不比無裂紋轉子明顯(見圖10)。這說明，在臨界轉速附近裂紋張開對轉子瞬態振動影響較大，而遠離臨界轉速時裂紋張開并不顯著影響轉子的瞬態振動。

圖7　靜態裂紋方向角β0=-π/3轉子的瞬態振動Fig.7 Transient vibration of rotor with static crack orientation angle of -π/3

圖8　靜態裂紋方向角β0=0轉子的瞬態振動Fig.8 Transient vibration of rotor with static crack orientation angle of 0

圖9　靜態裂紋方向角β0=π/3轉子的瞬態振動Fig.10 Transient vibration of rotor with static crack orientation angle of π/3

圖10　靜態裂紋方向角β0=2π/3轉子的瞬態振動Fig.11 Transient vibration of rotor with static crack orientation angle of 2π/3

反之，若因轉子在啟動過程中不平衡方位角不同而發生不同振幅的瞬態振動，就應判斷軸上可能存在裂紋。這為振動故障的診斷提供了有價值的信息。

3變加速度裂紋轉子過臨界轉速瞬態振動

如前所述，線性加速度缺少一個自由度，并不能考慮外界能量與轉子系統的相互作用。本節針對帶裂紋單盤轉子結構考慮一種更接近實際的工況：定功率加速的有限能量模式。

當轉子工作于某一穩定轉速時，記此轉速為工作轉速λw，系統的無量綱功率為

P=2(ζφ+ε0ν2)λ2|λ=λwork

(13)

ε0為一修正值，本文取為0.05，則

(14)

代入式(11)，采用Newton-Simpson和Newmark-β法或四階Runge-Kutta法，在零初值條件下聯立求解式(11)和式(12)。工作轉速λw=0.8、1.2、1.6、2.0裂紋轉子過臨界轉速的瞬態振動(見圖11～圖13)。

圖11　定功率加速轉子的瞬態振動Fig.11 Transient vibration of accelerating rotor with constant power

圖12　轉子形心在旋轉坐標系中的運動軌跡Fig.12 Motion trajectories of rotor centroid in rotating coordinate system

圖13　振幅與轉速的瞬態耦合關系Fig.13 Transient coupling relationship between amplitude and rotation speed

可以發現，① 對于工作轉速為亞臨界轉速的轉子，如λw=0.8，由于過臨界轉速共振幅值會增高，能量需求大，因此轉子不能穿過臨界轉速，而最終穩定于亞臨界轉速區；② 對于工作轉速高于臨界轉速的轉子，如λw=1.6和2.0，能夠提供足夠能量而順利穿過臨界轉速，在超臨界轉速區的瞬態振幅由于自定心效應維持在很小，而且工作轉速越大，轉子功率越大，過臨界轉速時的加速度越大，瞬態振幅越小；③ 以定功率模式加速的轉子出現一類新情況，工作轉速略高于臨界轉速，如λw=1.2，當發生共振時振幅與轉速相互耦合，盡管預定的工作轉速高于臨界轉速，但是驅動力矩不足以克服過臨界轉速的阻力矩(包括慣性力矩)，造成振幅急劇增大，轉速穩定在亞臨界轉速上，出現“失速”現象。由圖13可知，在瞬態振動過程中，當振幅下降時，轉速增大；振幅增大，轉速下降，最終由于阻尼存在而漸進穩定于亞臨界轉速且振幅很大的點。這就是外界驅動力矩和系統瞬態振動的能量耦合現象。對比圖12(b)與其他情況的運動軌跡圖，即可發現“失速”特征十分明顯。因此，轉子系統存在一個工作轉速分岔參數λ0，表征外界驅動力矩的功率恰好使轉子平穩順利通過臨界轉速而達到預定的工作轉速。相差極小的參數λw=1.319 5和λw=1.319 6，卻分別對應兩種形態的振動(見圖 14～圖15)。

圖14　分岔工作轉速點附近轉子加速的瞬態振動Fig.14 Transient vibration of accelerating rotor with working power near the point of bifurcation parameter

圖15　分岔工作轉速點附近轉子加速的形心在旋轉坐標系中的運動軌跡Fig.15 Motion trajectories of centroid of accelerating rotor with working power near the point of bifurcation parameter

進而，若計算裂紋角α=π/4的瞬態振動，將出現更豐富的非線性現象。這主要由于裂紋開閉加大，剛度不對稱加劇，裂紋過渡區以及張開區范圍擴大，交變幅度增大，非線性特征越來越強。分別以工作轉速λw=1.2、1.6、2.0、3.0的恒定功率加速裂紋角α=π/4轉子，其瞬態振動見圖16，圖17表示相應的形心在旋轉系Oξη中運動軌跡。

將以上裂紋角α=π/4的瞬態振動結果轉化到靜止的慣性參考系Oxy下，畫出橫向位移x(t)的相軌跡(見圖18)；取θ=arctan(y/x)=π/4的截面為龐加萊截面，獲得龐加萊映射(見圖19)。

圖16　大裂紋角轉子定功率加速的瞬態振動Fig.16 Transient vibration of rotor with large crack angle accelerating with constant power

圖17　大裂紋角轉子定功率加速的形心在旋轉坐標系中的運動軌跡Fig.17 Motion trajectories of centroid of rotor with large crack angle accelerating with constant power

圖18　在慣性系Oxy下形心橫向位移x(t)的相軌跡Fig.18 Phase trajectories of centroid’s horizontal displacement x(t) in inertial system Oxy

圖19　形心橫向位移x(t)的龐加萊映射Fig.19 Poincare maps of centroid’s horizontal displacement

分析圖16～圖19，可以得到：① 當裂紋擴大時，工作轉速分岔參數λ0提高；② 只要工作轉速在分岔參數λ0之上足夠大，轉子能順利通過臨界轉速；③ 大的裂紋對應的瞬態振動形態更加豐富，(見圖17(a)和圖17(d)表示的振動形態在圖15中已經出現過；圖17(b)表現出在跟隨轉子一同旋轉的空間中形心發生周期性運動，振幅與轉速發生強耦合作用，此時達到穩態時外界驅動力矩維持阻力對能量的耗散；圖17(c)則表示瞬態振動以及幅值能收斂，但對比圖17(d)，形心作順時針旋轉，其相位要領先于質心。)④ 由圖 17～圖19(b)可知，當λw接近工作轉速分岔點時，形心軌跡在非慣性系Oξη中呈現出近似的周期性運動，但由圖 16可知，實際上形心振幅不具有周期性，而在慣性系Oxy中的龐加萊映射為一個區域內的點。因此，當外扭矩功率處于工作轉速分岔點附近，系統極有可能發生混沌振動。

4結論

本文基于中性軸理論描述的直裂紋解析模型，采用四階Runge-Kutta法數值計算了軸中央帶有直前緣裂紋的Jeffcott轉子分別在線性加速和定功率加速條件下對不平衡力的瞬態振動響應，分析了裂紋大小、方向及重力對這類轉子瞬態振動的影響，從而得出呼吸裂紋轉子瞬態振動的基本特性，為旋轉機械轉子結構設計、故障診斷、振動控制等提供參考。通過對帶呼吸裂紋轉子瞬態振動特性的分析，得出的主要結論有：

(1) 裂紋降低了轉子的臨界轉速，周期性開閉對轉子產生參數激勵；隨著裂紋的擴大，轉子不僅出現瞬態振動峰值顯著增大，而且穩定性也發生極大的變化；

(2) 在臨界轉速附近，裂紋張開對轉子瞬態振動影響較大，而在遠離臨界轉速的超臨界轉速或亞臨界轉速區間，裂紋張開并不明顯影響轉子的瞬態振動；

(3) 加速度對轉子瞬態振動影響極其顯著。對于裂紋轉子過臨界轉速的瞬態振動，小加速度產生很大的瞬態振幅，甚至系統出現不穩定，而大加速度則能快速、平穩通過臨界轉速，但是瞬態振幅的振蕩衰減要慢；

(4) 以定功率加速的轉子，存在功率分岔參數；當驅動力矩功率小于分岔參數、大于臨界轉速功率時，轉子加速超過臨界轉速時出現外界扭矩與瞬態振動的能量耦合，造成實際轉速低于臨界轉速，而瞬態振動十分劇烈；

(5) 大裂紋轉子在定功率加速過程中，當功率落在不穩定范圍內，瞬態振動可能發展成混沌。

參 考 文 獻

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Transient vibration characteristics of a rotor with breathing crack

LIUZheng,WANGJian-jun(School of Energy and Power Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China)

Abstract:When a crack emerges on a rotor of rotating machineries, time-varying rotation-whirl phase difference makes crack open and close periodically, it causes the transient vibration of the rotor being different from its steady vibration. The neutral axis method was adopted to determine if the crack is opening or closing. The transient vibration response caused by crack breathing of a single disc rotor passing its critical speed was calculated numerically, and the influences of crack depth, orientation angle and gravity on the transient vibration of the rotor with a linear rotation acceleration, and the transient vibration characteristics and the stability of the system accelerated with a constant power were analyzed. The results showed that under the transient condition, the sub-harmonic resonance of the breathing crack rotor is not obvious; the deeper the crack, the larger the transient vibration amplitude passing its critical speed; when the crack opens near the critical speed, larger transient vibration is excited; when the crack rotor is accelerated with a constant power and the power is not enough to make the rotor smoothly pass its critical speed, the energy coupling between the outside torque and the transient vibration occurs, a big crack may cause the transient vibration of the rotor to be chaos.

Key words:neutral axis method; breathing crack; critical speed; single rotor; transient vibration

中圖分類號:TH113.1; V231.96

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.07.036

通信作者王建軍 男，教授，1956年生

收稿日期：2015-01-23修改稿收到日期：2015-04-09

第一作者 劉政 男，碩士生，1991年生