股指期貨引入對我國現貨市場的統計及分形特征影響研究?

鄭 豐,趙文耀

(北方工業大學經濟管理學院，北京 100144)

1 引言

有效市場理論是現代金融理論的支柱理論之一，其核心思想是，任何時刻的證券價格都能完全反映出所有可獲得的信息．在此假設上，金融資產的收益都應具有高斯分布和隨機游走的特征．但是，其他學者的研究發現大部分證券的收益率序列服從“尖峰厚尾”分布[1]，并具有長程記憶性性[2]和杠桿效應[3]等特點．

為了更好的揭示市場的“異象”，Kantelhardt等[4]在DFA方法的基礎上提出了多重分形消除趨勢波動分析法(MF-DFA)，用以刻畫時間序列在不同時間標度下的多重分形特征．Mandelbrot[5]利用多重分形刻畫了金融市場波動的復雜性．Liu等[6]發現標普500指數波動率的累計分布符合冪律分布．Wei和Wang[7]研究了上證綜指(SSEC)5分鐘高頻數據，構造了新的衡量時間序列波動率的指標．苑瑩等[8]運用多重分形譜對上證綜指的研究表明，多重分形譜能夠揭示更多的市場變化信息．馬鋒等[9]采用R/S分析和MF-DFA研究了滬深300指數的分形特征．在上述研究的基礎上，不少學者通過統計或分形方法，對比研究了股指期貨和現貨市場．汪東華等[10]通過MF-DFA分析了我國大盤股和中小盤股的差異性．張林和劉春燕[11]通過MF-DFA方法研究了中日兩國不同經濟時期的股市特征．Hou和Li[12]采用基于GARCH的反饋交易模型，發現股指期貨對現貨有加強的正反饋作用，并降低了現貨市場的信息傳遞效率，造成期貨和現貨市場價格更不穩定．He等[13]通過MF-DFA方法，研究了股指期貨引入后對現貨市場的分形特征的影響，發現股指期貨的引入降低了現貨的復雜性．Li[14]通過VAR-BEKK-bivariate GARCH模型研究了滬深300指數的波動溢出效應，發現股指期貨的引入降低了現貨市場的波動性．

近期由于我國股市的劇烈波動，股指期貨的交易也受到了嚴格的限制，關于股指期貨和現貨市場的研究成為了熱點．現有關于股指期貨和現貨的分形研究多是基于單個市場，本文則通過統計及分形兩個方面對比研究．首先分析股指期貨的引入前后，現貨市場的整體收益的統計特性；其次，采用MF-DFA方法驗證兩個時期的多重分形特征；最后，通過MF-DXA方法研究了股指期貨和現貨之間相關性的分形特征．旨在發現股指期貨的引入對我國股指期貨和現貨市場的影響，為我國證券市場政策制定提供相應的實證基礎．

2 MF-DFA算法

MF-DFA是驗證非平穩的時間序列是否具有多標度特性的有效方法，給定序列，其中t=1,2,···,N，具體處理步驟為：計算均值累計離差，構建新的時間序列

把時間序列分割成長度為s的Ns=int(N/s)個互不重疊的等長子序列，長度N不是s的整數倍，為了不丟棄尾部剩余部分，序列尾部重復這一過程，得到2Ns個區間．

采用最小二乘法擬合每個子區間上的局部趨勢函數，得到相應的殘差序列

分別計算各區間小區趨勢子區間序列的平均值，求q階波動函數

進而q階波動函數為

確定波動函數的標度指數，先固定階數q，通過在雙對數途中分析Fq(s)與s之間的關系Fq(s)∝sh(q)．

對于每一個分割長度可以求出對應的Fq(s)，由此可以得到Ln(Fq(s)～Ln(s))函數關系圖，其斜率為q階廣義赫斯特指數h(q)．當h(q)獨立于q，為一常數時，Fq(s)就是標準的單分形DFA，當h(q)為q的函數時，序列為多標度．

通過MF-DFA得到的h(q)與Renyi指數τ(q)關系τ(q)=qh(q)?1．根據勒讓德變換，得到奇異性強度函數和多重分形譜函數

3 數據處理及統計分析

數據來自WIND數據庫，選取2005年10月12日到2015年1月22日總共2200個日收盤價格(P)，對數收益為r(t)=ln(P(t)/P(t?1))．其中，2010年4月16日股指期貨上市前1100個數據，上市后1100個數據，圖1和圖2顯示了股指期貨上市前后滬深300指數對數收益的波動情況．中國股市在經歷了2007年到2009年的大牛和大熊市，收益波動相對劇烈．股指期貨被引入之后，投資者的投資手段和投資策略多樣化，風險可以通過更多的手段進行對沖，滬深300指數價格和收益的變化幅度較小．

圖1: 引入股指期貨前滬深300對數收益

圖2: 引入股指期貨后滬深300對數收益

1) 收益率肥尾現象

股指期貨上市前后滬深300指收益的統計學特性如表1所示．股指期貨上市前后的J-B統計量都很非常顯著，表示在1%水平上拒絕原假設，對數收益不服從正態分布；兩者峰度接近為4.95左右，明顯高于正態分布的峰值3，說明對數收益具有“尖峰厚尾”的特征；股指期貨上市前的偏度較大，說明其分布非對稱性更強．

表1: 滬深300指數對數收益的統計學特性

2) 指數分布

金融市場普遍存在收益序列中部服從指數分布的特性，研究發現滬深300指數的經驗概率密度中間部符合雙指數分布(如圖3)

在區間[?0.02,0]和[0,0.02]上分別對股指期貨上市前后進行雙指數函數擬合．對于股指期貨上市后，擬合斜率分別為K上市后+=93.2和K上市后?=86.8；股指期貨上市前，擬合斜率為K上市前+=54.7和K上市前?=79.0，都表現出不對稱性，并且分布函數尾部數據不能很好的擬合．股指期貨上市后對數收益概率分布中間部分的斜率更陡，說明波動的分布更為集中，市場穩定性增強．

圖3: 滬深300指對數收益檢驗概率密度

3) 冪律分布特征

研究表明，我國滬深300指數的絕對收益的累計分布服從冪律分布[15]

式中?約等于3，表明滬深300指數的尾部具有寬尾特征．由圖4可見，股指期貨上市后(a)和上市前(b)對數收益的絕對值都服從冪律分布，上市前滬深300指絕對收益尾部擬合方程為：log(P(|X|>r))=?3.2802log(|r|)?14.9296，擬合優度(R2)為0.99，股指期貨上市后滬深300指絕對收益尾部擬合方程為：log(P(|X|>r))=?4.2323log(|r|)?15.9199，擬合優度(R2)為0.99．

圖4:絕對收益尾部的冪律分布擬合圖

4 多重分形特征

利用MF-DFA方法對股指期貨上市前后滬深300指數的對數收益進行分析，將時間序列分割成子區間的長度取值范圍為[8,N/2](N為時間序列長度)，q選取[?5,5]，得到股指期貨上市前后滬深300指數對數收益的廣益赫斯特指數，如表2所示．

表2: 滬深300指數對數收益的廣益赫斯特指數

從表2可看出：

1) 隨著階數(q)的從?5增加到5，股指期貨上市前后滬深300指數對數收益的廣益赫斯特指數都呈現遞減形式，說明單分形模型不能描述兩個序列的分形特征；

2) 股指期貨上市前滬深300指數的廣義赫斯特指數振幅(△h=max(h)?min(h))明顯大于股指期貨上市之后的，說明股指期貨上市后，滬深300指數的分形特征較弱，這是因為，投資者的投資手段更加豐富，因此股市的波動幅度和風險降低了；

3) 當階數q大于4的時候兩個序列才出現h(q)小于0.5，說明收益率波動占主導地位的波動主要是大幅波動，且具有持久性，并且股指期貨上市前滬深300指數的持久性更強，由此可見，股指期貨引入后起到了穩定股市的作用．

通過將原始價格序列打亂，股指期貨上市前后滬深300指數對數收益的廣義赫斯特指數都非常接近0.5，廣義赫斯特指數振幅明顯變小，由此可見，打亂后的滬深300指數對數收益序列分形特征消失，不再具有長程相關性，而原序列具有分形特性．

表3描述了奇異譜函數和奇異性強度之間的函數關系，從其數值可以看出，兩者呈現出明顯的非線性關系．奇異指數的最小值越小說明原序列波動的最大幅度越大，由此可以分析得出股指期貨上市前的最大波動幅度明顯較大，說明其收益波動更大．

多重分形的奇異指數寬度，是刻畫了時間序列最大與最小波動幅度之間差異程度的重要指標，能夠解釋市場的有效程度，股指期貨上市后滬深300指數對數收益的奇異指數．計算可得，股指期貨上市后滬深300指數對數收益的多重分形譜寬度為0.28，上市前寬度為0.47，股指期貨上市后的奇異指數寬度明顯減小，表明滬深300指數多重分形特性降低，市場波動的差異減小，市場的有效性更強．同樣，將原始序列隨機打亂后，兩序列的奇異譜數值更接近于1，多重分形譜寬度降低，波動差異性都明顯降低，不再具有多重分形特征．

表3: 滬深300指數對數收益的奇異指數

5 相關性分析

Zhou[16]在去趨勢相關分析法(DCCA)的基礎上，結合分形去趨勢法提出了多重分形去趨勢方法(MF-DXA)．該方法既可以分析平穩間序列的長期相關性，亦可以處理非平穩時間序列．模型中，q可以取任意實數，當q的絕對值大于某一值時，將趨于穩定；當q取較大負值時，表明小波動處于主導；q取較大正值時表明大波動處于主導地位；當q=2時，MF-DXA方法就是DCCA方法．

由于近期股市的劇烈波動，自2015年8月25日起，中金所前后三次對股指期貨的交易采取管制措施．因此，以8月25日為時間節點，選取2015年7月1日至10月27日，滬深300指數及股指期貨數據進行相關性分析．

由圖5可知，當|q|≤20時，隨著q的增大而減小，當|q|>20時，趨于穩定，這一特性說明股指期貨與現貨市場呈現多重分形的特征，并且相互間的大波動和小波動之間的影響是不均勻的．實施管制之后，h(q)的變化范圍更大，說明實施管制后期現市場之間的相關性的分形程度增加，市場有效程度降低．

6 結論

近期我國股市和股指期貨市場的波動引起了學者的廣泛關注，本文通過從統計及分形兩個角度的研究表明：

引入股指期貨后，滬深300指數對數收益序列分布不對稱性降低了，“厚尾”更顯著，收益波動性降低，市場風險更小．從分形角度可以看出，單分形不能刻畫其波動特性；股指期貨上市后，滬深300指數的奇異譜寬度較小，滬深300指數的多重分形特征變弱；實施管制之后，兩市場相關性的h(q)的變化范圍更大．以上分形特征都表明，股指期貨的引入，降低了收益的波動幅度和持久相關性，增加了市場的有效性，而對股指期貨市場交易的限制，增強了兩市場相關性的分形特征，降低了市場的有效性．

綜上，無論從統計學特性還是分形特性都可以看出，在引入股指期貨后，滬深300指數收益波動以降低，分形特性降低，整體市場的有效性增加了，而對市場交易的限制降低了市場的有效性．

圖5:股指期貨與現貨相關性特征圖

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