非高斯噪聲激勵下分段非線性系統(tǒng)的平均首次穿越時間?

郭永峰,申雅君

(天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津 300387)

1 引言

逃逸問題是用來研究系統(tǒng)在隨機(jī)力作用下從穩(wěn)態(tài)出發(fā)的演化過程這一本質(zhì)問題的，目前已吸引了越來越多研究者的關(guān)注[1-5]．平均首次穿越時間作為用來表征粒子逃逸現(xiàn)象的重要特征量，現(xiàn)已被應(yīng)用于多個學(xué)科領(lǐng)域[6-12]．在對平均首次穿越時間及其相關(guān)問題的研究中，由于高斯噪聲便于運(yùn)算，現(xiàn)已形成一套比較完整的研究方法和理論體系，然而對非高斯噪聲的研究卻沒有高斯噪聲那么成熟．事實上，非高斯噪聲不可忽略，它對系統(tǒng)本身的影響起著不可替代的作用．Wio和Toral[2]研究了非高斯噪聲所誘導(dǎo)的相變現(xiàn)象．Fuentes等[3]通過路徑積分法研究了一類非高斯噪聲驅(qū)動的雙穩(wěn)系統(tǒng)的平均首次穿越時間．張靜靜和靳艷飛[12]對非高斯噪聲驅(qū)動下非對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)的平均首次穿越時間與隨機(jī)共振進(jìn)行了研究．Wu和Zhu[13]研究了非高斯噪聲激勵下帶有時滯項的雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機(jī)共振問題．徐超和康艷梅[14]研究了非高斯噪聲激勵下含周期信號FHN系統(tǒng)的響應(yīng)特征．顧仁財?shù)萚15]還進(jìn)一步研究了非高斯Levy噪聲驅(qū)動下的非對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)的相轉(zhuǎn)移和平均首次穿越時間問題．

上述研究主要是針對高斯或非高斯噪聲驅(qū)動下的連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行的，對分段非線性系統(tǒng)的研究還比較少見．然而對于許多實際問題，如電子線路、控制器和超導(dǎo)器件等系統(tǒng)模型的建立都是基于分段系統(tǒng)實現(xiàn)的[16-20]，這說明對分段系統(tǒng)的研究更具有現(xiàn)實意義．Fiasconaro和Spagnolo[16]研究了一類分段非對稱系統(tǒng)的激活共振現(xiàn)象．Simpson和Kuske[17]分析了噪聲激勵的分段線性FHN模型的混合模振蕩現(xiàn)象．You等[18]研究了雙穩(wěn)鋸齒形系統(tǒng)的逃逸率．李貝和靳艷飛[19,20]研究了色關(guān)聯(lián)的色噪聲驅(qū)動下分段非線性系統(tǒng)的平均首次穿越時間和隨機(jī)共振問題．但對于非高斯噪聲激勵下分段非線性系統(tǒng)的研究還未見諸報道．

本文研究了非高斯噪聲激勵下分段非線性系統(tǒng)的平均首次穿越時間問題．文章首先用路徑積分法將非高斯噪聲近似為高斯色噪聲，然后通過統(tǒng)一色噪聲近似方法給出了乘性非高斯噪聲和加性高斯白噪聲共同作用下的分段非線性系統(tǒng)的FPK方程和定態(tài)概率密度函數(shù)的表達(dá)式，接著利用最速下降法得到了系統(tǒng)平均首次穿越時間的表達(dá)式，最后討論了非高斯噪聲強(qiáng)度及偏離參數(shù)、加性噪聲強(qiáng)度以及噪聲關(guān)聯(lián)時間和互關(guān)聯(lián)強(qiáng)度對系統(tǒng)的平均首次穿越時間的影響．

2 分段非線性系統(tǒng)及平均首次穿越時間

考慮乘性非高斯噪聲和加性高斯白噪聲共同激勵的分段非線性系統(tǒng)，其隨機(jī)微分方程如下

其中，系統(tǒng)(1)的確定性部分為分段函數(shù)，所對應(yīng)的勢函數(shù)U(x)為[19,20]

上式中，參數(shù)a>0,b<0,k為常數(shù)，且U(x)具有兩個穩(wěn)定點x1=?1,x2=1和一個不穩(wěn)定點x3=0．

系統(tǒng)(1)中，乘性噪聲η(t)為非高斯噪聲，其統(tǒng)計性質(zhì)[2,3]如下

其中τ為非高斯噪聲η(t)的自關(guān)聯(lián)時間，q表示非高斯噪聲η(t)偏離高斯分布的程度，ε(t)和ξ(t)均為高斯白噪聲，具有以下統(tǒng)計特性

上式中D和Q分別為ε(t)和ξ(t)的噪聲強(qiáng)度．

當(dāng)|q?1|?1時，利用路徑積分法[13]得

將(10)式代入(3)式可得到

這里ε1(t)為高斯白噪聲，

其中τeff和Deff分別表示有效噪聲關(guān)聯(lián)時間和有效噪聲強(qiáng)度，具體為

當(dāng)q→1時，非高斯噪聲η(t)可以近似看作關(guān)聯(lián)時間為τeff，噪聲強(qiáng)度為Deff的高斯色噪聲．

這里，我們考慮ε1(t)和ξ(t)滿足如下統(tǒng)計性質(zhì)

其中參數(shù)λ(?1<λ<1)為ε1(t)和ξ(t)之間的互關(guān)聯(lián)強(qiáng)度．

利用統(tǒng)一色噪聲近似[7]，方程(1)可改寫為

上式中

進(jìn)而得到其Fokker-Planck方程為

由(19)式可得分段非線性系統(tǒng)的定態(tài)概率密度函數(shù)為

其中N是歸一化常數(shù)，廣義勢函數(shù)的表達(dá)式為

將(2)式代入(23)式可得

利用平均首次穿越時間的定義和最速下降法可得分段非線性系統(tǒng)的平均首次穿越時間表達(dá)式為

3 噪聲及系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)對平均首次穿越時間的影響

根據(jù)平均首次穿越時間的表達(dá)式(26)，接下來我們將討論參數(shù)D,Q,q,τ和λ對平均首次穿越時間的影響。

圖1給出了平均首次穿越時間分別作為非高斯噪聲強(qiáng)度D和高斯噪聲強(qiáng)度Q的函數(shù)隨著不同的偏離參數(shù)q變化的曲線．由圖1(a)可見，隨著D的增加，平均首次穿越時間出現(xiàn)了明顯的單峰結(jié)構(gòu)．當(dāng)D較小時，lnT隨著q的增大而增大，當(dāng)D較大時，lnT隨著q的增大而減?。畧D1(b)出現(xiàn)了完全不同的情況，平均首次穿越時間隨著Q的增大單調(diào)遞減，且隨著q的增大而增大．這說明乘性非高斯噪聲和加性高斯白噪聲對平均首次穿越時間的影響不同．

圖1: 平均首次穿越時間作為噪聲強(qiáng)度的函數(shù)隨偏離參數(shù)q變化的曲線(a=0.05,b=?0.05,λ=0.1,τ=0.1)

圖2給出了平均首次穿越時間分別作為非高斯噪聲強(qiáng)度D和高斯噪聲強(qiáng)度Q的函數(shù)隨著不同的關(guān)聯(lián)時間τ變化的曲線．由圖2(a)可見，隨著D的增加，平均首次穿越時間出現(xiàn)了明顯的單峰結(jié)構(gòu)．峰值隨著τ的增大逐漸減小，峰的位置隨著τ的增大逐漸右移．圖2(b)出現(xiàn)了不一樣的情況．平均首次穿越時間隨著Q的增大單調(diào)遞減，且隨著τ的增大而減?。?/p>

圖3描述了平均首次穿越時間作為關(guān)聯(lián)時間τ的函數(shù)隨著不同的偏離參數(shù)q變化的曲線．由圖3可見，平均首次穿越時間是τ的單調(diào)函數(shù)，隨著τ的增加單調(diào)遞減，且隨著q的增大而增大．

圖4描述了平均首次穿越時間作為噪聲互關(guān)聯(lián)強(qiáng)度λ的函數(shù)隨著不同的偏離參數(shù)q變化的曲線．由圖4可見，平均首次穿越時間隨著λ的增加先減小后增大，在該曲線上出現(xiàn)了一個極小值，故也存在一個極小值點λ0．與此同時，曲線極小值隨q的增大而增大，極小值點λ0隨著q的增大也逐漸右移．并且在|λ|較小時，平均首次穿越時間隨著q的增大而增大；在|λ|較大時，平均首次穿越時間隨著q的增大而減?。?/p>

圖2: 平均首次穿越時間作為噪聲強(qiáng)度的函數(shù)隨關(guān)聯(lián)時間τ變化的曲線(a=0.05,b=?0.05,q=0.95,λ=0.1)

圖3:平均首次穿越時間作為關(guān)聯(lián)時間τ的函數(shù)隨偏離參數(shù)q變化的曲線(a=0.05,b=?0.05,D=0.05,Q=0.05,λ=0.1)

圖4:平均首次穿越時間作為互關(guān)聯(lián)強(qiáng)度λ的函數(shù)隨偏離參數(shù)q變化的曲線(a=0.05,b=?0.05,D=0.05,Q=0.05,τ=0.1)

圖5給出了平均首次穿越時間作為非高斯噪聲強(qiáng)度D的函數(shù)隨著不同的噪聲互關(guān)聯(lián)強(qiáng)度λ變化的曲線．圖5(a)為λ<λ0(極小值點)時，lnT隨λ變化的曲線；圖5(b)為λ>λ0(極小值點)時，lnT隨λ變化的曲線．通過圖5(a)可以看出，隨著D的增加，平均首次穿越時間曲線出現(xiàn)了明顯的單峰結(jié)構(gòu)，且峰值隨著λ的增大而逐漸減小，峰的位置逐漸右移．而圖5(b)出現(xiàn)了不一樣的結(jié)果，隨著D的增加，平均首次穿越時間曲線沒有產(chǎn)生明顯的單峰結(jié)構(gòu)，且當(dāng)D較小時，lnT隨著λ的增大而增大，當(dāng)D較大時，lnT隨著λ的增大而減?。@與圖4的結(jié)果相吻合．

圖6給出了平均首次穿越時間作為高斯噪聲強(qiáng)度Q的函數(shù)隨著不同的噪聲互關(guān)聯(lián)強(qiáng)度λ變化的曲線．圖6(a)為λ<λ0(極小值點)時，lnT隨λ變化的曲線；圖6(b)為λ>λ0(極小值點)時，lnT隨λ變化的曲線．由圖6(a)和圖6(b)整體可見，對于不同的λ，平均首次穿越時間隨著Q的增大均為單調(diào)遞減．通過圖6(a)可以看出，lnT隨著λ的增大而減??；而圖6(b)則出現(xiàn)了完全不一樣的情況，由圖6(b)可以看出，當(dāng)Q較小時，lnT隨著λ的增大而減小，當(dāng)Q較大時，lnT隨著λ的增大而增大．

圖5:平均首次穿越時間作為非高斯噪聲強(qiáng)度D的函數(shù)隨互關(guān)聯(lián)強(qiáng)度λ變化的曲線(a=0.05,b=?0.05,Q=0.05,q=0.95,τ=0.1)

圖6:平均首次穿越時間作為高斯白噪聲強(qiáng)度Q的函數(shù)隨互關(guān)聯(lián)強(qiáng)度λ變化的曲線(a=0.05,b=?0.05,D=0.05,q=0.95,τ=0.1)

4 結(jié)論

本文研究了非高斯噪聲和高斯白噪聲共同激勵下分段非線性系統(tǒng)的平均首次穿越時間問題，主要考慮了非高斯噪聲強(qiáng)度及偏離參數(shù)、加性噪聲強(qiáng)度、噪聲關(guān)聯(lián)時間和噪聲互關(guān)聯(lián)強(qiáng)度對平均首次穿越時間的影響．研究結(jié)果表明：平均首次穿越時間作為非高斯噪聲強(qiáng)度的函數(shù)時，其曲線受偏離參數(shù)、噪聲關(guān)聯(lián)時間和互關(guān)聯(lián)強(qiáng)度的影響，均出現(xiàn)單峰結(jié)構(gòu)；而平均首次穿越時間作為高斯白噪聲強(qiáng)度的函數(shù)時，其曲線受偏離參數(shù)、噪聲關(guān)聯(lián)時間和互關(guān)聯(lián)強(qiáng)度的影響，則均為單調(diào)遞減曲線，這表明非高斯噪聲和高斯噪聲對系統(tǒng)平均首次穿越時間的影響作用很不相同．此外，我們還發(fā)現(xiàn)當(dāng)噪聲互關(guān)聯(lián)強(qiáng)度λ<λ0時，平均首次穿越時間作為非高斯噪聲強(qiáng)度的函數(shù)，隨著互關(guān)聯(lián)強(qiáng)度的增大而減??；當(dāng)噪聲互關(guān)聯(lián)強(qiáng)度λ>λ0時，平均首次穿越時間作為非高斯噪聲強(qiáng)度的函數(shù)，當(dāng)非高斯噪聲強(qiáng)度較小時，平均首次穿越時間隨著噪聲互關(guān)聯(lián)強(qiáng)度的增大而增大，當(dāng)非高斯噪聲強(qiáng)度較大時，平均首次穿越時間隨著噪聲互關(guān)聯(lián)強(qiáng)度的增大而減?。c此同時，極小值點又受偏離高斯分布程度的影響作用，這使得系統(tǒng)參數(shù)對平均首次穿越時間的影響變得更為復(fù)雜．

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