Heston模型下保險公司與再保險公司的博弈?

王愫新,榮喜民,趙 慧

(天津大學理學院，天津 300072)

1 引言

再保險是保險公司規避風險和提高競爭力的重要手段．保險公司把其承擔的保險業務，以再保險的形式，通過繳納再保險費用，部分轉移給其他保險公司，從而達到分散風險、控制損失、穩定經營的目的，是風險管理的重要手段，也是整個保險體系中非常重要的一個環節．

保險公司的核心問題是風險管理與控制，即對保險公司盈余進行管理與控制．將保險精算問題與組合投資問題結合在一起進行研究，是一類極具理論研究價值的特殊的組合投資問題．因為保險公司不僅關注投資的風險和收益，還受制于承保的風險，要確保能夠及時支付參保人的索賠，所以保險公司的投資與再保險問題近年來引起了大量關注．Browne[1]用帶漂移的幾何布朗運動模型來模擬保險公司的盈余過程，最早研究了指數效用函數下以及破產概率最小化目標下的最優投資策略．Yang和Zhang[2]考慮跳–擴散模型下的最優投資問題．Wang等[3]利用鞅方法探討了保險公司在不同效用函數下的封閉形式的策略．Bai和Guo[4]考慮了擴散風險模型下投資于多種風險資產的最優投資策略．同時，許多文獻也從不同角度研究了再保險問題．Kaluszka[5]考慮了均值–方差模型下的最優再保險策略．H?jgaard和Taksar[6]研究了擴散風險模型下最大化收益函數的最優比例再保險問題，得到了最優策略和值函數的近似表達式．Hipp和Plum[7]研究了經典風險模型下使保險公司破產概率最小化的投資策略．Cao和Wan[8]在擴散風險模型下，得到了使終端財富的指數效用最大的投資和再保險策略．Zhang等[9]考慮了含交易費用的投資和再保險問題．

然而，上述模型一般假設風險資產的價格過程服從幾何布朗運動模型．但大量研究表明，實證結果不支持幾何布朗運動模型，即風險資產價格的波動是確定性的假設，而帶有隨機波動的模型更加符合實際．因此，許多文獻提出了各種隨機波動模型，例如均值回復模型、Stein-Stein模型、Heston模型以及CEV模型．Gu等[10]研究了CEV模型下保險公司的最優超額損失再保險問題．Li等[11]在Heston模型下得到了時間一致的最優再保險和投資策略．Zhao等[12]在跳–擴散模型下考慮了保險公司的最優超額損失再保險和投資問題，其中風險資產的價格過程服從Heston模型．實際上，Heston模型是經典的隨機波動模型．本文我們將研究Heston模型下指數效用最大化目標下的最優投資和比例再保險策略．

以上再保險投資的研究都是僅考慮保險公司的利益，而忽略了再保險公司的收益和風險．為了改進現有研究的不足，本文將同時考慮保險公司和再保險公司的利益．本文假設保險公司可將資產投資于一種無風險資產和一種服從Heston模型的風險資產，并購買再保險；同時再保險公司也可以在金融市場中進行投資．應用擴散風險模型來描述保險公司的盈余，研究使最終財富的指數效用期望最大的最優投資和比例再保險策略．根據隨機最優控制理論，我們分別建立了保險公司和再保險公司最優問題的HJB方程，并得到保險公司與再保險公司的最優投資和再保險策略的解析解，分析了使保險公司和再保險公司都滿意的再保險策略需滿足的條件．最后給出數值實例，分析了模型參數對最優再保險策略的影響．

2 數理模型

2.1 保險公司的財富過程

根據Prom islow和Young[13]，由帶漂移的幾何布朗運動模型，保險公司的賠付過程可以由擴散過程來逼近，假設保險公司的賠付過程滿足

其中a>0表示索賠率，b>0表示賠付過程的波動率，是標準布朗運動．假設保費費率c0=(1+η)a，安全負荷η>0．保險公司可以購買一定比例的再保險來分散風險，q1(t)表示t時刻購買再保險的比例，保險公司所支付的再保險費率為c1=(1+θ)aq1(t)，其中θ是再保險公司的安全負荷且θ>η>0．θ越大，再保險費率就越高．根據(1)式，購買比例再保險后，保險公司的盈余過程可以表示為

除了進行再保險，假設保險公司可以投資于金融市場上的兩種資產：無風險資產(債券或銀行賬戶)和風險資產(股票或基金)．

S0表示無風險資產的價格過程，滿足方程

其中r>0是無風險收益率．

設風險資產價格S(t)服從Heston模型

其中v,α,δ,σ是正常數，{W1(t)},{W2(t)}為定義在概率空間(?,F,P)上的標準布朗運動，E(W1(t)W2(t))=ρt,2αδ≥σ2，見參考文獻[14]．且,{W2(t)}獨立．

我們用一個隨機過程α1(t)=(q1(t),π1(t))來描述策略α1，其中q1(t)表示t時刻的再保險比例，π1(t)表示保險公司在t時刻投資于風險資產上的金額，則X(t)?π1(t)表示t時刻投資于無風險資產上的金額．給定一個投資與再保險策略，則保險公司的財富過程為X(t)，其需滿足

定義1是完備概率空間，其中由{X(t)}生成，則再保險–投資策略(q1(t),π1(t))稱為可行策略，若：

1)(q1(t),π1(t))是循序可測的，且當T<∞時，滿足

2)對任意的(x,l)∈R×R+,X(t)=x,L(t)=l，(4)式有唯一解{X(s)}s∈[t,T]．

記為保險公司所有可行策略的集合．

2.2 再保險公司的財富過程

類似于保險公司的財富模型，可以得到再保險公司的財富過程，其中再保險公司的保費費率c1=(1+θ)aq2(t)，再保險公司的賠付過程為

假設π2(t)表示再保險公司在t時刻投資于的風險資產上的金額，則X(t)?π2(t)表示t時刻投資于無風險資產上的金額．可以得到再保險公司的財富過程

定義2是完備概率空間，由{X(t)}生成．策略(q2(t),π2(t))稱為可行的，若：

1)(q2(t),π2(t))是循序可測的，且當T<∞時，滿足

2)對任意的(x,l)∈R×R+,X(t)=x,L(t)=l，(5)式有唯一解{X(s)}s∈[t,T]．

記再保險公司所有可行策略的集合為．

投資者(無論是保險公司還是再保險公司)都希望終端財富最大化，即投資者期望找到一個最優的投資策略α?，使得T時刻財富值的期望效用達到最大．因此，投資者的目標函數為，其中T表示終止時刻，u(·)表示效用函數，E[u(·)]表示效用函數的期望．

我們的目標是找到使得投資者終端財富期望效用最大化的策略．

3 模型求解

效用函數u(x)是增函數，并且是一個凹函數(u′>0,u′′<0)．故存在唯一的最優投資策略使得期望效用的終值達到最大．對于策略α，定義t時刻在狀態x下投資者終端財富的條件期望效用為

為使財富最大化，考慮如下最優問題，即價值函數

以及最優策略(q?(t),π?(t))，使得Vα?(t,x,l)=V(t,x,l)．

3.1 保險公司最優策略

假設投資者的效用函數u(·)為指數效用函數，即

為解決上述問題，本文參考了Flem ing和Soner[15]的方法．如果價值函數H及其偏導數在上連續，那么H滿足如下的HJB方程

假設V(t,x,l)是方程(8)的一個解，滿足Vx>0,Vxx<0．根據(7)，我們假設V(t,x,l)有如下形式

且h1(T)=1,f1(T)=0,g1(T)=0，則有

將上式帶入(8)中，得

對π1和q1求導并令導數為0，得

將(11),(12)帶入(10)式，得

為了解決(13)，將上式關于x,l分解為三個等式

由邊界條件，解得

其中

根據假設條件，即

得到

定義

下面將根據兩種不同情況討論最優策略的問題．

情形1若，有t0>T．那么對于0≤t≤T，有，即最優策略

對應的價值函數

情形21)若，有t0≤T．

當0≤t

解得

最優策略為

將在后面確定．

2)當t0≤t

將

帶入上式，得

關于x,l分解為三個等式

解得

最優策略為

由上述求解過程，得

下面求解．

由V(t,x,l)在t=t0處連續，可以解得

因此，可以得到

定理1保險公司的價值函數V(t,x,l)以及在Heston模型下對應的最優再保險和投資策略如下：

1)若，則

2)若，則

3.2 再保險公司最優策略

假設再保險公司的效用函數u(·)為指數效用函數，即

類似于上述求解過程，再保險公司的價值函數滿足如下的HJB方程

假設V(t,x,l)是HJB方程(22)的一個解，滿足Vx>0,Vxx<0．假設V(t,x,l)有如下形式

帶入(22)，得

對π2和q2求導并令導數為0，得最優策略

將(24),(25)帶入(23)式，得

將上式關于x,l分解為三個等式

解得

根據假設，即

下面將根據兩種不同情況討論最優策略的問題．

情形1若，有t0>T，那么對于0≤t≤T，有，即最優策略

對應的價值函數

情形21)若，有t0≤T．

當0≤t

解得

最優策略為

2)當t0≤t

將上式關于x,l分解為三個等式

解得

最優策略

由上述求解過程，得

由V在t=t0處的連續性，有

解得

從而可以得到

定理2再保險公司的價值函數V(t,x,l)以及在Heston模型下對應的最優再保險和投資策略如下：

1)若，則

2)若，則

4 經濟分析與數值實例

在實際金融市場中存在多家保險公司和再保險公司，在模型中簡化為只有兩個局中人：保險公司和再保險公司．這種假設與實際觀察到的當事人的行為一致，同時也為了研究問題的方便．

4.1 兩個最優再保險策略的比較

再保險比例的確定應該考慮保險公司和再保險公司各自的利益．因此，公平的再保險合同應是在保險公司與再保險公司各自效用最大化前提下進行博弈、妥協，形成雙方都可接受的再保險協議．假設保險公司和再保險公司對風險標資產的損失額的大小都有完全信息，存在共同認識，根據保險公司和再保險公司的財富過程，得到兩公司的最優再保險比例，通過比較和分析二者的最優策略，可體現保險公司與再保險公司的博弈過程．

為了便于后面的討論，我們將根據保險公司計算得到的最優再保險比例記為，將再保險公司的最優再保險比例記為．本文就三種情況進行研究．

對于以指數效用函數作為其效用函數的保險公司和再保險公司而言，在考慮無風險資產，風險資產的投資以及再保險過程情況下，可以看到：

1)當時，也即

時，保險公司與再保險公司的期望效用同時達到最大，即雙方的利益均達到最大化，再保險公司有能力承保保險公司的風險，此時比例再保險合同成立．

2)當時，即

時，此時保險公司的最優再保險比例小于再保險公司的最優再保險比例，保險公司的最優策略相對保守，只愿意分擔比例的再保險，而再保險公司的最優策略相對激進，愿意接受更大比例的再保險，再保險合同難以簽署．

3)當時，即

時，在這種情況下，保險公司希望將更多的風險分散給再保險公司，而從再保險公司的角度來看，再保險公司只愿意接受比例的再保險，因此，保險公司應在金融市場中尋找其他的再保險公司，將比例的再保險進行分保，將風險分散給多家再保險公司．

4.2 外生變量對的影響

以下考慮各變量對的影響時，均假設其他變量取固定值．

1)索賠率a對的影響

由表達式得到

a與的改變方向相反．假設參數為r=0.05,θ=0.2,b=1,T=20,k1=k2=0.5，令索賠率a變化，得到最優再保險策略關于a變化的圖像，如圖1．

從圖1可以發現，保險公司的最優再保險比例隨著索賠率a的增加而減小，而再保險公司愿意接受的再保險比例將增大．事實上，索賠率的增加將導致更昂貴的再保險費用，所以為了減少支出，保險公司將減少用于購買再保險的資金．而對于再保險公司來說，由于再保險保費隨a的增加而增大，所以其愿意接受的最優再保險比例增大．

2)再保險公司安全負荷θ對的影響

假設參數為r=0.05,a=4,b=1,T=20,k1=k2=0.5，令安全負荷θ變化，得到最優再保險策略關于θ變化的圖像，如圖2．

從圖2可以看出，安全負荷θ越大，表明所需再保險的成本越高，因而保險公司選擇減小再保險比例．而對再保險公司而言，θ越大說明其所收的再保險保費越高，因而其最優再保險比例隨著θ的增加而上升．當

時，雙方均達到最優狀態，再保險合同成立．

圖1:索賠率a對最優再保險策略的影響

圖2:再保險公司的安全負荷θ對最優再保險策略的影響

3)風險厭惡系數k對的影響

是風險厭惡度量指標，k越大，表示風險厭惡程度越大，因此保險公司和再保險公司的風險偏好也決定著再保險比例．假設參數為r=0.05,a=4,b=1,T=20,θ=0.2，令風險厭惡系數k變化，得到最優再保險策略關于k變化的圖像，如圖3．

從圖3可以看出，保險公司的風險厭惡程度k越大，其選擇的再保險比例也越大．同樣由可知，再保險公司的風險厭惡系數k越大，它愿意接受的再保險比例越小，這也與實際相符．

4)風險波動率b對的影響

假設參數為r=0.05,a=4,k1=k2=0.5,T=20,θ=0.2，令風險波動率b變化，得到最優再保險策略關于b關于變化的圖像，如圖4．

圖3: 風險厭惡系數k對最優再保險策略的影響

圖4: 風險波動率b對最優再保險策略的影響

從圖4我們可以看出，關于b單調遞增，這是由于風險波動率b越大，風險的波動幅度大，保險公司面臨的承保風險不確定性增大．為了控制風險，保險公司將增加再保險比例．風險波動率b越大也意味著再保險公司面臨的風險增加，其愿意接受的再保險比例將減小．

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