夯實(shí)基礎(chǔ)，大膽嘗試、猜想、反思

江叔新

摘 要：在創(chuàng)新的前提下，本文主要闡述定義性閱讀題解法一點(diǎn)思考以及四道典型題目的解題過程。

關(guān)鍵詞：創(chuàng)新；定義性閱讀；應(yīng)用；解法

近年來，由于素質(zhì)教育的實(shí)施速度加快，各種評(píng)價(jià)也隨之變革，現(xiàn)在的評(píng)價(jià)更多側(cè)重于創(chuàng)新能力和學(xué)習(xí)能力方面。縱觀這些年來各地中考試卷，幾乎都能見到創(chuàng)新題型，而在眾多的創(chuàng)新題中有一類題目特別突出，那就是定義性閱讀理解題。這類題目多為幾何題，它往往與課本知識(shí)聯(lián)系很緊密，但是又涉及很多新鮮的數(shù)學(xué)規(guī)定、數(shù)學(xué)術(shù)語。它考查的是學(xué)生的閱讀能力、理解能力，知識(shí)的遷移能力，以及應(yīng)用已有的知識(shí)解決后面的練習(xí)的應(yīng)用能力。這往往給我們的學(xué)生帶來很大的挑戰(zhàn)，許多學(xué)生不知道從何處開始分析，從而失掉了解題的契機(jī)。筆者現(xiàn)就這類問題的解決提出一點(diǎn)自己的看法。

例1：（北京中考卷壓軸題）我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線相等，則稱這個(gè)四邊形為等對(duì)角線四邊形。請(qǐng)解答下列問題：

（1）寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中等對(duì)角線四邊形的兩種圖形的名稱；

（2）探究：當(dāng)?shù)葘?duì)角成四邊形中兩條對(duì)角線所夾銳角為60°時(shí)，這對(duì)60°角所對(duì)的兩邊之和與其中一條對(duì)角線的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

第一問的分析：抓住題目中關(guān)鍵詞“四邊形”、“對(duì)角線相等”，馬上聯(lián)想到我們學(xué)過的四邊形，普通四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形，再分析這些四邊形的對(duì)角線的特征，普通四邊形對(duì)角線特征不知，平行四邊形對(duì)角線互相平分，矩形對(duì)角線互相平分且相等，菱形對(duì)角線互相垂直，正方形對(duì)角線互相平分、互相垂直且相等，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角，普通梯形對(duì)角線特征不明朗，等腰梯形對(duì)角線相等。這簡單的第一問考查了我們學(xué)過的所有特殊四邊形的對(duì)角線的特征，如此第一問順利解決了。

第二問才是真正的探索的重點(diǎn)，創(chuàng)新的關(guān)鍵。從特殊的等對(duì)角四邊形、矩形（或正方形或等腰梯形）著手考慮。

如圖：∠AOB=∠DOC=60°，則由OB=OA，OC=OD，

∴△AOB為正三角形，△COD為正三角形，AB=AO，CD=OC，∴AB+CD=AC。

（或者利用30°所對(duì)直角邊等于斜邊的一半）

如此可以判定此題中這個(gè)關(guān)系中應(yīng)有相等這一種答案，再分析等腰梯形。

考慮特殊情況：∠ODC=90°，∠AOB=60°。∠ABO=∠DCO=30°。

∠BAO=90時(shí)°，設(shè)OD=x時(shí)，

也許讀者心頭會(huì)不由自主地涌出如下一種情形：AB+CD

例2：（2007年北京市中考?jí)狠S題）我們知道：有兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形，類似地，我們定義：至少有一組對(duì)邊相等的四邊形叫作等對(duì)邊四邊形。

（1）請(qǐng)寫出一個(gè)你學(xué)過的特殊四邊形中是等對(duì)邊四邊形的圖形名稱；

（2）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，設(shè)CD、BE相交于點(diǎn)O，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=12∠A，請(qǐng)你寫出圖中一個(gè)與∠A相等的角，并猜想圖中哪個(gè)四邊形是等對(duì)邊四邊形。

（3）在△ABC中，如果∠A不等于60°的銳角，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且∠DCB=∠EBC=12∠A，探究滿足上述條件的圖形中是否存在等對(duì)邊四邊形，并證明你的結(jié)論。

此題在上年中考題的基礎(chǔ)上繼續(xù)考查了四邊形的相關(guān)知識(shí)，并且又是給出一個(gè)新的定義，要求我們?nèi)ヌ剿髯C明。這兩道題目可以說是一脈相承，其中都有60°這個(gè)特殊條件，這也啟發(fā)了我們可以從此著手聯(lián)系30°、120°等可能的角度，此題的關(guān)鍵是證明有兩邊相等，常規(guī)的方法是證明三角形全等，那么作輔助線就是一個(gè)突破口，多次嘗試總可以找到正確的輔助線，過B、C分別作直線CD、BE的垂線段，然后利用全等解決問題。

例3：（2006年安徽中考最后一題）：如圖1，凸四邊形ABCD，如果點(diǎn)D滿足∠APD=∠APB=α，且∠BPC=∠CPD=β，則稱點(diǎn)P為四邊形ABCD的一個(gè)半等角點(diǎn)。

（1）在圖2正方形ABCD內(nèi)畫一個(gè)半等角點(diǎn)P，且滿足α≠β；

（2）在圖3的四邊形ABCD中畫一個(gè)半等角點(diǎn)P，保留畫圖痕跡；

（3）若四邊形ABCD有兩個(gè)半等角點(diǎn)P1、P2（如圖4），證明線段P1P2上任一點(diǎn)也是它的半等角點(diǎn)。

此題難度更大，是一道極好的中考選拔題，把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力強(qiáng)弱的學(xué)生區(qū)分開來。中考的一個(gè)作用就是選拔有較強(qiáng)學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)天賦的學(xué)生進(jìn)入高一級(jí)學(xué)校學(xué)習(xí)。要想解決這一道題目需要學(xué)生能夠讀懂題目，并且還要能夠把新定義和已有知識(shí)糅合起來好好運(yùn)用，如正方形中來找半等角點(diǎn)很容易，但要求α≠β就要注意了。在圖3中利用尺規(guī)作圖來找一個(gè)半等角點(diǎn)，這需要仔細(xì)分析圖1中的特征和自己積累的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)意識(shí)來尋找解決辦法。連結(jié)AC，過B作關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B，連結(jié)DB并延長DB與AC的交點(diǎn)就是一個(gè)半等角點(diǎn)。這里需要用到尺規(guī)作圖知識(shí)和對(duì)稱點(diǎn)的思想加以指導(dǎo)。而第三問更加綜合了，需要大膽猜想，并加以驗(yàn)證。①A、P1、P2、C四點(diǎn)共線；②DP1=BP1，DP2=BP2；③P1P2上任取一點(diǎn)P，△P1PB≌△P1PD，從而∠APD=∠APB，∠DPC=∠BPC，從而P是半等角點(diǎn)。

例4：（寧波市2007年中考最后一題）：四邊形一條對(duì)角線所在直線上的點(diǎn)，如果到這條對(duì)角線兩端點(diǎn)的距離不相等，但到另一對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，則稱這點(diǎn)為這個(gè)四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)。如圖1，點(diǎn)P為四邊形ABCD對(duì)角線AC所在直線上的一點(diǎn)，PD=PB，PA≠PC，則點(diǎn)P為四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)。

（1）如圖2，畫出菱形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)距點(diǎn)；

（2）如圖3，做出四邊形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)距點(diǎn)（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）。

（3）如圖4，在四邊形ABCD中，P是AC上的點(diǎn)，PA≠PC，延長BP交CD于點(diǎn)E，延長DP交BC于點(diǎn)F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF，求證：點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)。

（4）試研究四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況（說出相應(yīng)的四邊形的特征及準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)，不必證明）。

相信此題已經(jīng)引起了很多教師的興趣，其解法也是人人皆知了。這四個(gè)問題的設(shè)置是一問難過一問，有的學(xué)生沒有耐心讀題的習(xí)慣，連第一問也做不出來，更不要說后面幾問了。這也反映了我們學(xué)生平時(shí)的學(xué)習(xí)習(xí)慣，做事很急躁，總是想一下做出答案。如果不能靜下心來思考、分析，那么很難全部做對(duì)。我們要加強(qiáng)平時(shí)的訓(xùn)練，做題目前要多看幾遍題目，讀懂了題目再動(dòng)手。并且要求解題時(shí)仔細(xì)一些，考慮問題全面一些。這需要時(shí)間，更需要有耐心和恒心。素質(zhì)教育就要求學(xué)生有獨(dú)立思考的能力，更需要學(xué)生有頑強(qiáng)的毅力和不斷攻克難關(guān)的決心。社會(huì)需要具備這些素質(zhì)的人才。

面對(duì)新題目、新題型，學(xué)生一定要學(xué)會(huì)適應(yīng)。我們教師在平常的教學(xué)活動(dòng)中一定要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力特別是自學(xué)能力。我們要多多總結(jié)一些好的學(xué)習(xí)方法，當(dāng)然更應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生自己去試探、總結(jié)、歸納，形成自己的解題習(xí)慣。解題方法千千萬，探索的道路要靠自己去走。

參考文獻(xiàn)：

1.天利38套.

2.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn).

（作者單位：浙江省余姚市三七市鎮(zhèn)中學(xué)）