關注數學現實性　開發學習可能性
——例析二、三年級學生學習“平方差”的可能性

浙江農林大學附屬小學（311300）許向榮

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關注數學現實性開發學習可能性
——例析二、三年級學生學習“平方差”的可能性

浙江農林大學附屬小學（311300）許向榮

［摘要］可能性是學生的最偉大之處，把人引向更高的可能性是教育的本質所在。在傳統教學觀念里，二、三年級學生學習平方差公式簡直是不可能的事。實際教學證明，只要學習材料組織恰當，探索過程引導得當，低年級學生學習這一內容完全是可能的。數學教學不僅要關注學生的現實性，更要走向開發學生學習的可能性。

［關鍵詞］可能性現實性平方差

古希臘教育家普羅塔弋說：“教育的最終目的是要把作為人的獨特本質的創新精神釋放出來，使其成為能夠自覺、自由創造的人。”要把第三學段（七年級）的平方差公式“a2-b2=（a+b）（a-b）”的教學內容下放到小學二、三年級中來學習，在傳統教學觀念上來看是“天方夜譚”。當下數學教學“四依四重”（即依照大綱重在要求，依賴課本重要例題，依靠傳統重視講解，依托習題重復訓練）的現實性遮蔽了學習可能性的光輝。因此，在教學這部分內容時，我也曾猶豫彷徨，不敢接受任務。在特級教師張天孝老師的指導下，我學習了成尚榮的《從關注學生現實性走向開發可能性》的理論文獻后，明確了“不可能的事往往是可能的”。因此懷著忐忑不安的心情設計并執教了平方差公式這個內容。實踐告訴我：平方差公式在二、三年級學習是完全可能的，且效果令人滿意。

【教學過程】

一、認識一個數的平方

師（課件出示）：說說下面各圖分別由多少個小正方形組成。用什么方法可以比較快地知道小正方形的個數？

（教師利用學生介紹的方法逐圖計算小正方形的個數：①3×3=9；②2×3=6；③4×3=12；④4×4=16；⑤6×6=36；⑥2×2=4；⑦5×5=25；⑧1×1=1。）

師：觀察這些圖形與算式，你有什么發現？

師（揭示）：3×3可以表示為32，讀作3的平方，表示兩個3相乘。你能用這個方法表示另外的算式嗎？（請學生回答后再讀一讀，并說說32的意思）

（教師給出題目“想一想：72=□92=□102=□”）

【評析：通過對比，使學生認識到只有乘數相同，才能用平方數來表示，從而理解平方的含義。】

二、探究平方差計算規律

1.情境引入，初步感知

師（課件演示：從5×5的正方形左上角移走一個3×3的正方形）：請說一說，你看到了什么？誰能提個問題？

生1：還剩下多少個小正方形？

師：你會解答嗎？請在本子上算一算。你是怎么算的？有不同的方法嗎？

師（課件演示：將剩下圖形分割成上下兩個長方形。將上面部分旋轉90度，再向右平移，向下平移，變成一個長方形）：你們有什么想法嗎？

生2：變成長方形后，用8×2來計算小正方形的個數比較方便。

師：如果從5×5的大正方形中移走一個2×2的小正方形，剩下的圖形還能變成長方形嗎？（學生猜測后，教師用課件演示驗證過程）

師：如果從6×6的正方形中移走一個4×4的小正方形呢？（學生猜測后，教師再次用課件演示驗證過程）

師：現在你有什么想法？

生3：從一個大正方形中移走一個小正方形后，剩下的圖形能變成長方形。

【評析：利用直觀演示，讓學生感知從一個大正方形中移走一個小正方形后，剩下的圖形通過分割、平移和旋轉，都能得到一個長方形。由于是不完全歸納法，所以進行了三次不同圖形的變換，使結論更為可靠。】

2.再次感知，探究規律

師：如果從7×7的大正方形中移走一個3×3的小正方形后，會怎樣？

生1：會變成一個長方形。

師：現在的問題不是能不能變成長方形，而是會變成一個什么樣的長方形？

（學生沉默）

生2：做一個看看。

師：如果不需要做就能知道它會變成什么樣的，那才叫厲害呢!要不先回到前面幾個例子中去找找規律，好嗎？

（課件再次集中呈現前幾個圖形的變化）

師：為什么第一次變出的是8×2的長方形，第二次變出的是7×3的長方形，而第三次變出的卻是10×2的長方形呢？請結合圖形看看“8”是怎么來的，“2”又是怎么得到的？

生3：第一個剩下圖形的下面部分每層有5個，上面部分旋轉后每層有3個，拼在一起是5+3=8（個）。大正方形原來有5層，移走3層后，剩下就是5-3=2（層）。

師：第二個圖形中的7和3以及第三個圖形中的10 和2又是怎么得到的？

（根據學生回答進行板書）

師：從7×7的正方形中移走一個3×3的正方形，會得到一個怎樣的長方形呢？（學生想象、猜測并說明理由。課件演示驗證過程）

師：如果從6×6的正方形中移走一個2×2的正方形呢？8×8中移走5×5呢？9×9中移走7×7呢？

【評析：這一環節主要讓學生探尋圖形變化的規律，即從一個大正方形中移走一個小正方形后，剩下的圖形會變成一個什么樣長方形。引導學生通過對圖形變化前后的觀察、比較，尋找長方形的長和寬與原來正方形邊長的關系。】

3.溝通聯系，揭示規律

師：觀察上面這些圖形，它們的形狀發生了變化，但是什么沒有變？

生：小正方形的個數沒有變。

師：逐圖計算變化前后小正方形的個數。第一幅圖變化前小正方形的個數是5×5-3×3=25-9=16（個），變化后8×2=16（個），所以5×5-3×3=8×2。計算第2～4幅圖，分別得到5×5-2×2=7×3、6×6-4×4=10×2、7×7-3×3=10×4。整理算式后得到：

（1）第一個式子左邊5×5可以寫作52，3×3可以寫作32，右邊8是由（5+3）得來，2是由（5-3）得到的，整理這個算式得到52-32=（5+3）×（5-3）；

（2）5×5-2×2=7×3、6×6-4×4=10×2、7×7-3×3=10×4。這幾個算式你會整理嗎？

（教師出示題目“想一想：82-52=□×□”）

三、練習

（1）42-22=□×□82-72=□×□102-92=□×□

（2）計算20152-20142

四、課堂小結

【感悟與反思】

本節課教學的全過程均借助了“數”與“形”的結合，把抽象的計算轉化為形象的思考。在七年級的教材中，公式的推導主要是利用乘法分配律進行演繹推理。對低年級學生來說，這個過程無疑是艱辛而困難的。以形象直觀思維為主的二、三年級學生學習這一內容時，必須借助圖形的直觀，通過觀察、比較、想象、猜測、驗證等活動，在充分感知的基礎上，發現這一規律。在探究活動中，當學生發現所變出的長方形的長和寬與原來正方形邊長的關系后，一切都變得簡單且自然了。

錢學森把創造性思維理解為人類智力的核心，是形象與抽象思維的綜合應用，其中形象思維是關鍵。這一觀點我非常贊同。這樣具有探索性的教材說明了一個問題，即只要學習材料組織恰當，探索過程得當，啟發引導適當，二、三年級學生學習平方差公式是完全可能的。

從另一個角度看平方差公式，由兩個正方形的差“a2-b2”可以得到一個指定的長方形，這個長方形的長是（a+b），寬是（a-b）。要讓低年級的學生感悟這一規律是有一定難度的，因此，我分三個層次進行教學。第一步，通過直觀展示，讓學生發現從一個大正方形中移走一個小正方形，剩下的圖形一定能變成一個長方形；第二步，通過讓學生猜測從大正方形中移走一個小正方形，剩下的圖形會變成一個怎樣的長方形，激發學生的探究興趣，繼而引導學生觀察、比較、想象和驗證，直觀發現長方形的長是兩個正方形邊長的和，長方形的寬是兩個正方形邊長的差。第三步，溝通聯系，形成規律。

在練習部分，我設計了一道計算“20152-20142”的題目，把年份編進題目里，是為了增加練習的趣味性，更重要的是讓學生體會平方差公式的作用，感悟數學知識的意義和價值，使學生認識到這個知識是非常有用的。

（責編金鈴）

［中圖分類號］G623.5

［文獻標識碼］A

［文章編號］1007-9068（2016）11-068