培養直覺思維的教學設計研究

張昆++張乃達

【摘要】利用數學教育資源，培養學生創新能力，邏輯思維只能起檢驗與確證作用，創新能力培養目標的生命所系與關鍵所在是培養學生的直覺思維能力.稍微困難一點的數學問題的解決，邏輯思維對探究活動過程沒有多大幫助，直覺思維卻起著支點性的作用.因為，支持邏輯思維的關鍵環節的取得總是在探究問題所提供的外在信息的過程中，獲得關鍵性暗示，進而檢驗暗示，如果獲得成功，說明暗示是正確的，否則，重新生成暗示，由此構成暗示-檢驗-再暗示-再檢驗的過程，而這種暗示的取得，正是直覺思維的用武之地，也是學生創造力的源泉所在.

【關鍵詞】數學直覺思維；數學教學設計；數學課程資源

《現代漢語詞典》第五版，在第1748頁，將“直覺”界定為“未經充分邏輯推理的感性認識”.接著，對此界定加以解釋，“直覺是以已經獲得的知識和累積的經驗為依據的，而不是像唯心主義者所說的那樣，是不依靠實踐、不依靠意識的邏輯活動的一種天賦認識能力”.同時，在第1294頁，將“思維”界定為“在表象、概念的基礎上進行分析、綜合、判斷、推理等認識活動的過程”.并對此進一步解釋，“思維是人類特有的一種精神活動，是從社會實踐中產生的”.由此，我們可以將“直覺思維”界定為，不受固定的邏輯規則的約束，直接領悟事物本質認識活動過程的一種思維形式.

1直覺思維的特點與教學價值

為了研究通過數學教學的手段，培養學生的直覺思維能力，直覺思維具有模糊性、整體性、突發性、創造性與超前性等特點[1].直覺思維的這些特點決定了它的教學價值，威廉·卡爾文說，“智力就是你不知怎么辦時動用的東西，但是，富有智慧則有更多的涵義，這是一種創造性能力，憑借這種能力，會迅捷地想出新主意，各種答案在你的大腦中接踵而至”[2].這種新主意（表現為暗示的出現）不可能是經過嚴格的邏輯論證的，它主要是由直覺思維所提供的，有待于經由實踐的或邏輯的檢驗，因此，依據這種觀點，智力或者智慧主要是從直覺思維中生成的，正如愛因斯坦所言，“科學發現并沒有邏輯的道路，只有通過那種以對經驗的共鳴的理解為依據的直覺”[3].其實，科學與數學活動中的創新、發現也都是符合這條原則的.

直覺思維恰恰可以通過對問題信息的整體把握，猜測出所需要的合理環節及其聯接中介的暗示來，這正是聯想能力與想象力發揮作用的地方，因此，通過它可以培養學生的聯想能力與想象力，也是人的整體精神活動的創造性源泉所在.實際上，創造過程是有意識地與無意識地交織進行著活動，它更多地是從材料中獲得暗示，形成對其組成的結構的猜想，于是，形式邏輯一點也不能參與進來，真理不是通過有目的的推理，而是憑著直覺思維的形式感覺到的，直覺使用自己現成的判斷，不帶有任何論證的形式進入了具有創造性的意識范圍，當然，最后的檢驗是邏輯思維活動的用武之地.那么，如何利用數學解題教學的資源培養學生的直覺思維能力呢？

2基于數學解題教學設計培養學生直覺思維能力的典型課例

數學教學設計是一項結構系統性的整體工程，構成它的要素所組成的技術結構環節集中地體現于互相關聯的三個側面：理解要傳授的具體數學知識所呈現的環節及其聯結中介的組成序列（簡稱“教材分析”）；把握學生發生數學認識（針對“教材分析”獲得的知識環節及其聯接中介的結果）的心理活動環節及其過渡性中介的組成序列（簡稱“學情分析”）；通過創造性工作找到貫通這兩方面環節序列之間的切合點（可以溝通的元素）、實現兩者之間的關聯（簡稱“關聯分析”）.數學教學設計相對穩定的技術結構組成環節，可以簡化地表達成如框架圖1所示[4].我們通過一個數學解題教學設計的例子，說明培養學生直覺思維能力的技術結構環節的手段.

2.1教材分析

教材分析就是將知識打開.王策三先生說，“知識好比一個百寶箱，里面藏了大量的珍寶；不僅內含有關于客觀事物的特性與規律，而且內含有人類主觀能力、思想、情感、價值觀等精神力量、品質與態度.因為知識是人類歷史實踐、認識活動的結果凝結在里面的，因而知識更內含有知識原始獲得的實踐認識活動方式和過程”[5].對于解題教學而言，打開知識就是要求教師盡可能地窮盡問題的解法，據此，才有可能充分認識數學知識當中隱藏的教學價值.

分析一將②代入①，可知Sn=∑nk=1loga1+13k-2，于是，要比較③、④兩個數的大小，一般情況我們想到可否把③式轉化為已知運算的結果，得到一個具體的數，然后，將這個數與④進行大小比較.在學生探究問題解決的方法庫中，應對這種情況，已經具有了觀念形態的“裂項相消”方法及其應用經驗，我們可以據此啟發學生運用“裂項相消”法加以試探.由于loga1+1bn=loga3n-13n-2=loga3n-1-loga3n-2⑤，于是，當a>1時，an=∑nk=1loga1+13k-2單調遞減，從而可得loga3n-1-loga3n-2>loga3n-loga3n-1>loga3n+1-loga3n⑥，由⑥，知3[loga3n-1-loga3n-2]>[loga3n-1-loga3n-2]+[loga3n-loga3n-1]+[loga3n+1-loga3n]⑦=loga3n+1-loga3n-2=logabn+1-logabn，于是3∑nk=1loga1+1bn>[logab2-logab1]+[logab3-logab2]+…+[logabn-logabn-1]+[logabn+1-logabn]=logabn+1；同理，當0

分析二要比較③、④兩個數的大小，③式是一個數列的前n項和，④式只是一個具體的數，前者復雜，后者簡單，但是，如果考慮到，“<”、“=”、“>”等所連接的兩邊就內含了形式上的“對稱美”的要素，從這種“對稱美”的審美意向出發，兩邊應該具有對等的形式，不失一般性，我們以“小于”為例，若ak1時，3Sn>logabn+1；同理，當0

分析三由于an=loga1+1bn=loga1+13n-2⑧，設an′=loga1+13n-1⑨，an″=loga1+13n⑩，且{an′}與{an″}的前n項和分別為Sn′與Sn″.⑴當a>1時，有an>an′>an″，于是Sn>Sn′>Sn″，知3Sn>Sn+Sn′+Sn″=∑nk=1ak+ak′+ak″=∑nk=1loga3k-13k-2+loga3k3k-1+loga3k+13k=∑nk=1loga3k+13k-2=loga41·74·107·…·3n+13n-2=loga3n+1=logabn+1，知3Sn>logabn+1；⑵當0

分析四數學歸納法，高考閱卷參考答案提供的方法.數學歸納法除了固定的程序與冗長的計算之外，創造性是非常地的，這里略而不記.

2.2學情分析

學情分析除了理解學生掌握數學知識的一般心理活動過程以外，最重要的是針對掌握具體數學知識所需要的心理環節及其過渡性中介，設計具體的教學目標，從而選擇學生掌握知識心理活動的教學路向.在本例的四種典型性解法中，分析一解決問題的“裂項相消法”在學生的方法庫中已經具備了，并且經由多次運用，因此，只是再次強化其應用而已，它內含的教學價值相對于學生的數學現實而言，已經不太高了.

分析二與分析三其實都是所謂的“分項放縮法”[6]的應用，在筆者解題教學的整體性安排中，曾經使用了更具針對性的知識促進學生萌生了這種方法，因此，對于學生而言，在他們的思維結構中，分析二與分析三的處境不同.與分析一一樣，分析二在學生的數學現實中已經具有了發現與應用的經驗了，從而，它的教學價值也比不上也就不是十分重要了.

因此，對于筆者的教學設計而言，就不應該選擇分析二與分析三的方法，而應該選擇分析三的這種解法在課堂上實施教學（其他教師可以依據自己的高考解題教學的整體安排作出具體選擇，這并不是僵死不變的，而是依據具體學生、具體教學內容配置而定），分析三從形式上看是一種全新的解題方法，學生到目前為止，還沒有現成的駕馭它的數學觀念，因此，這是啟發學生創新體驗的優質教育資源.

從分析三的整個解答過程來看，這種從⑧萌生成⑨、⑩中的暗示或觀念的產生，其效果是解題者直抵問題信息的一種結構本質，但是，得到它其實是沒有什么道理的，不是分析思維所能控制的，故而，這正是直覺思維的典型體現，因此，就數學解題教學設計而言，這正是培養學生直覺思維的課程資源，而且這種資源是極其匱乏的，因此，它蘊藏著巨大的培養直覺思維的教學價值.因為，只有內含直覺思維教育價值的資源才能培養學生的直覺思維能力，這是不言自明的.那么，如何借助于這道習題的如此思路通過教學設計的關聯分析實現培養學生的直覺思維的教學目的呢？

2.3關聯分析

由上述的學情分析，知如何啟發學生從表達式⑧設出表達式⑨、⑩，構成了這道例題關聯分析的重中之重，否則教師就極有可能將解題活動的現成的發現結果奉送于學生，造成教學資源的巨大損失.然而，由于直覺思維的模糊性與突發性的特點，這種暗示與觀念的得來，本身就說不清楚.因此，設計出相對理想的教學情境，需要滿足兩個方面的主要條件：其一，這種解題方法確實是出自于教師自己的心靈活動，即這種想法是教師自己親自構想出來的，它最為重要，教師如果沒有那種直覺思維的體驗，那么就很難在課堂上建立促進學生進行直覺思維活動的場域，使學生產生如此相似的體驗[7]，這不言自明；其二，精心地把握學生掌握知識的心理環節及其過渡性中介的構建過程，在學生心理環節的啟、承、轉、合的過程中，最為關鍵的又是“啟”，思維動力的起點與生成直覺的內驅力的實現，是決定可否達成培養學生直覺思維的關鍵因素.

關于這個例題，下面的教學設計“關聯分析”活動過程是2006年，筆者在常州國際學校的一節江蘇省省級高三復習數學教學展示課的片段實錄.下面括號里的注解，是現場聽課的著名特級教師（1990年）張乃達先生提供的，本文寫作時，筆者在部分地方稍作技術性處理（其中的省略號是表示學生思維活動的中斷之處）：

師：由問題的結論，我們發現，③式與④式肯定是存在一種不等的關系.那么，與其對立的命題是，③式與④式可以變得相等嗎（這種生成問題情境的方式，乃是模擬學生的原始想法，其實是一種直覺信念，這種信念對啟動解題的思維活動往往特別重要，這是啟動“問題的一般性解決”活動）？

生1：不可能.不等的數量，怎么可能變成相等呢（對教師所提出的問題，大多數學生可能都出現了如此想法，從而否定了上面教師提供的直覺信念.但是與生1一樣，這種直覺的否定也過于輕易了，這種暗示與觀念沒有得到檢驗，是學生思維活動的一種較大損失，教學中鼓勵學生聽從自己的心靈呼喚，對一些暗示或觀念進行估計與檢驗，往往具有很重要的價值，這應該是真正的培養直覺思維的萌芽）？

生2：可以.我們將③式的數量值放大或縮小就應該能夠得到④式，從理論上說是能夠達到這種目的的（學生對教師的直覺的暗示或觀念的出現與生成的一種評估，生2選擇了這種暗示，它是轉入檢驗行動的動力與前提.獲得從“問題的一般性解決”轉化為“問題的功能性解決”的一種途徑）.

師：我同意生2的想法，“不等”與“相等”這兩者之間是相對的，為了獲得不等關系的結論，我們可以通過相等的途徑來達到（這是一種辯證思維，發展它對培養學生的直覺思維的成果，從而轉化為檢驗的行動，具有很好的價值，生2的想法想法是對教師的直覺信念的堅持與支持）.

師：那么，如何放縮才能將③式轉化為④式呢（轉入對暗示的檢驗途徑程序的構想，啟動構造檢驗的現實方法，從而促進學生萌生從“問題的功能性解決”轉化為“問題的具體解決”的指令）？

生3：我們許多同學都想方設法對③式中的Sn進行放縮，但不能轉化成④式，……因為，③式太復雜而④式太簡單（在“問題的功能性解決”中，邏輯活動出現了中斷，此時，正是需要直覺思維的幫助，也正是產生直覺思維的地方，否則，“問題的功能性解決”就很難轉化為“問題的具體解決”方式，最終問題不可能解決.生3通過比較表達式③與表達式④，生成了新的暗示，這種暗示顯得有點不妙，有可能放棄地將③式轉化為④式的具體方法，退回到“問題的功能性解決”環節.這對教師的教學設計的技藝或技術手段提出了極高的要求，教師的教學能夠取得轉機嗎？），……

師：如果將③式寫成∑nk=1loga1+13k-2+∑nk=1loga1+13k-2+∑nk=1loga1+13k-2⑧的形式（板書）后，將⑧式放縮，產生④式是否會更容易些（教師重新表征條件信息，突出相同的三項的更為原始的表達，主要目的是促進學生形成直覺思維，即提醒學生萌生“分項放縮”的暗示，這種暗示的取得邏輯思維活動是幫不上忙的.看似教師的靈機一動的重新表征，正是教師的匠心獨運，它構成了促進學生生成新的暗示的比較有效的教學手段）？

生4：從⑧式中獲得啟示：如果對⑧式中的∑nk=1loga1+13k-2直接放縮，那么，這三個同樣的∑nk=1loga1+13k-2就不能產生互補作用，發揮不了將問題條件搭配從而形成結構性的整體功能的發揮，因此，我們考慮將三個∑nk=1loga1+13k-2進行各自不同的放縮，以期能利用問題結構的整體性，形成一種相互協調與相互補充的結果，可能有利于問題的解決，但是，……（學生如此想法的出現，正是典型的直覺思維活動過程.事實上，如果需要進一步加以分析的話，可以發現，學生是從審美意向的角度來考察問題的，從和諧美的視角產生出如此暗示的，數學中審美意向是直覺思維憑借的重要方法之一，即“以美啟真”，通過這種暗示，可以立即過渡到“問題的具體解決”的環節，為檢驗這種暗示的具體行動提供了動力，也奠定了基礎）

生5：我想，將⑧式中第一個∑nk=1loga1+13k-2不放縮，第二個∑nk=1loga1+13k-2放縮成∑nk=1loga1+13k-1，第三個∑nk=1loga1+13k-2放縮成∑nk=1loga1+13k，如此進行試探（果然，生5找到了一種非常具體的方法，就是“分項放縮”這一暗示的心理來源）.下面，對a分兩種情形加以分類討論：

當a>1時，由函數y=logax在所在定義域內單調遞增，知3∑nk=1loga1+13k-2>∑nk=1loga1+13k-2+∑nk=1loga1+13k-1+∑nk=1loga1+13k，這個式子的右端化簡的結果就是④式，此時，3Sn>logabn+1；當0

這個例子中的關鍵環節是從表達式⑧設出表達式⑨、⑩，邏輯思維活動在這里已經中斷，而且不容易獲得暗示.在這種情況下，如何啟動學生直覺思維，對教師的教學能力提出了極高的要求，將教師逼入了兩難的境地：教學過程絕對不能將這種教師自己已經發現了的思路，即直接設出表達式⑨、⑩奉送于學生，為達到啟發學生發生這種暗示的目的，教師需要極高的教學技藝與能力.如此教學設計是提供了學生的一種獲得暗示的方法，其實這也是培養學生直覺思維的一種方法，筆者直覺提醒自己這種教學活動還可能不是最佳的方法，但是，到目前為止，沒有找到一種更為有效的方法進行這道例題的教學設計.

3簡要結語

在高中教學階段，利用數學課程資源，培養學生創新能力，邏輯思維只能起檢驗與確證作用，創新能力培養目標的生命所系與關鍵所在是培養學生的直覺思維能力.稍微困難一點的數學問題的解決，它邏輯思維表達，對探究活動過程沒有多大幫助，而直覺思維卻起著支點性的作用.因為，支持邏輯思維的關鍵環節的取得總是在探究問題所提供的外在信息的過程中，獲得關鍵性暗示，進而檢驗暗示，如果獲得成功，說明暗示是正確的，否則，重新生成暗示，由此構成暗示—檢驗—再暗示—再檢驗的過程，而這種暗示的取得，正是直覺思維的用武之地，也是學生創造力的源泉所在，也是創新的教學目標的具體化化與現實化的體現.對此，我們數學教育工作者要思之再思，慎之又慎！

參考文獻

[1]張乃達.數學思維教育學[M].南京：江蘇教育出版社，1990：75-76

[2][美]威廉·卡爾文.大腦如何思維：智力演化的今昔[M].楊雄里，梁培基譯.上海：上海科學技術出版社，1996：1

[3][美]愛因斯坦.愛因斯坦文集（第一卷）[M].許良英，譯.北京：商務印書館，1976：156

[4]張昆，曹一鳴.完善數學教師教學行為的實現途徑[J].數學教育學報，2015，24（1）：35

[5]王策三.認真對待“輕視知識”的教育思潮——再評由“應試教育”想素質教育轉軌提法的討論[J].北京大學教育評論，2004（7）；2（3）：16

[6]張昆.數學解題教學設計的創新實踐研究——基于“美學”的視點[J].數學教育學報，2015，24（5）：43

[7]張昆.函數概念教學的哲學思考——基于一種可操作的設計程序的研究[J].中學數學雜志（高中版），2016（3）：10