一道數學問題的解答錯誤引起的教學思考

魏星

在高三的復習迎考教學中，我們遇到了一個解法正確，結果錯誤的不等式恒成立問題，即后面的題目，找出錯因后引出了一些思考.

題目已知函數f（x）=lnx，g（x）=ex，其中e=2.71828…是自然對數的底數.

（1）若函數（x）=f（x）-x+1x-1，求（x）的單調區(qū)間；

（2）若x≥0，g（x）≥kf（x+1）+1恒成立，求實數k的取值范圍.

原解（1）略；（2）由g（x）≥kf（x+1）+1（x≥0）恒成立得ex≥kln（x+1）+1在x≥0時恒成立，即kln（x+1）≤ex-1在x≥0時恒成立，因為ln（x+1）≥0，ex-1≥0，若k≤0，則kln（x+1）≤ex-1在x≥0時恒成立；若k>0，由ln（x+1）≤x得kln（x+1）≤kx，由kx≤ex-1知當x=0時，對于任意正實數k都成立，當x>0時，不等式k≤ex-1x，令h（x）=ex-1x（x>0），h′（x）=xex-（ex-1）x2=ex（x-1）+1x2，當x∈（0，1）時，h′（x）<0，當x∈（1，+∞）時，h′（x）>0，所以h（x）有極小值也是最小值為h（1）=e-1，所以當0

綜上，若x≥0，g（x）≥kf（x+1）+1恒成立的實數k的取值范圍是（-∞，e-1].

題目的上述原解法，既不完全同于高考參考解法（不分離出參數k，分類討論，即設h（x）=kln（x+1）-（ex-1）（x≥0），先由h′（x）=kx+1-ex觀察出符合條件的k的范圍，再否定不合條件的k的范圍），也不全同于異于高考參考解法的分離參數法，即由ex≥kln（x+1）+1解出k≤ex-1ln（x+1），求k（x）=ex-1ln（x+1）（x>0）的值域，而是兩種方法混合之，解法是沒有問題的，但結果是錯誤的.

問題出在時下一個比較流行的錯誤命題（k≤f（x）恒成立k≤f（x）min）上，根據這

錯誤命題，解決k≤f（x）恒成立就必須求得f（x）min，原解法的問題就出在求h（x）=ex-1x

的最小值上，即由h′（x）=xex-（ex-1）x2=ex（x-1）+1x2，當x∈（0，1）時，h′（x）<0，當x∈（1，+∞）時，h′（x）>0，h（x）min=h（1）=e-1，這是錯誤命題下觀察不細致誤，事實上，當x∈（0，+∞）時，h′（x）>0恒成立，h′（1）=1≠0，即h（x）=ex-1x（x>0）的最小值不是h（1）=e-1，h（x）=ex-1x（x>0）根本就沒有最小值，要正確解出，還得根據正確命題（k≤f（x）恒成立求f（x）的值域得最佳不等式）求函數h（x）=ex-1x（x>0）的值域，還必須用函數的極限，特別是洛比達法則求極限，這樣，題目（2）的解法可修正為下面的正確解法1.

解法1（2）由g（x）≥kf（x+1）+1（x≥0）恒成立得ex≥kln（x+1）+1在x≥0時恒成立，即kln（x+1）≤ex-1在x≥0時恒成立，因為ln（x+1）≥0，ex-1≥0，若k≤0，則kln（x+1）≤ex-1在x≥0時恒成立；若k>0，由ln（x+1）≤x得kln（x+1）≤kx，由kx≤ex-1知當x=0時，對于任意正實數k都成立，當x>0時，不等式k≤ex-1x，令h（x）=ex-1x（x>0），h′（x）=xex-（ex-1）x2=ex（x-1）+1x2，令r（x）=ex（x-1）+1（x≥0），

r′（x）=exx≥0，r（x）的增區(qū)間為（0，+∞），又r（0）=0，所以r（x）≥0，從而h′（x）>0，h（x）的增區(qū)間為（0，+∞），limx→0+h（x）=limx→0+ex-1x=limx→0+ex1=1，limx→+∞ex-1x→+∞，即h（x）的值域為（1，+∞），值域用不等式表示就是1

綜上，若x≥0，g（x）≥kf（x+1）+1恒成立的實數k的取值范圍是（-∞，1].

題目（2）正確解法1，既要分類討論，又要分離參數，還要放縮不等式，那就不如單用分類討論或單用分離參數，即下面的幾種解法.

解法2g（x）≥kf（x+1）+1為kln（x+1）+1≤ex，解出k≤ex-1ln（x+1），令k（x）=

ex-1ln（x+1）（x>0），經過多次求導（由于過程較繁，求導過程略，題目原解答就是考慮到多次求導麻煩，才通過放縮不等式kln（x+1）≤kx≤ex-1轉化為求導較簡單的h（x）=ex-1x）可知k（x）增區(qū)間為（0，+∞），limx→0+ex-1ln（x+1）=limx→0+ex1x+1=1，k（x）值域為（1，+∞），用不等式表示就是最佳不等式1

解法3g（x）≥kf（x+1）+1為ex≥kln（x+1）+1，由g′（0）=[kf（0+1）+1]′得k=1（從圖象上看，不等式兩端的兩個函數在x=0處的切線都是直線y=x，左端函數圖象全在直線y=x上方，右端函數圖象全在直線y=x下方），先證明ln（x+1）+1≤ex對x≥0恒成立，令h（x）=ln（x+1）+1-ex（x≥0），h′（x）=1x+1-ex≤0，h（x）減區(qū)間為（0，+∞），h（x）max=h（0）=0，h（x）=ln（x+1）+1-ex≤0，即ln（x+1）≤ex-1，兩端同除以ln（x+1）得最佳不等式1

解法4g（x）≥kf（x+1）+1為ex≥kln（x+1）+1，即kln（x+1）+1-ex≤0，令

h（x）=kln（x+1）+1-ex（x≥0），h′（x）=kx+1-ex，當k≤1時，h′（x）≤0，h（x）減區(qū)間為（0，+∞），h（x）max=h（0）=0，所以h（x）=kln（x+1）+1-ex≤0，即kln（x+1）≤ex-1恒成立；當k>1時，舉反例證明h（x）=kln（x+1）+1-ex≤0不成立（過程略，可參看高考解法），所以k≤1.

一般地，分類討論能解決的問題，分離變量（能分離的話）也必能解決，分離變量后就是求不含參的函數值域問題，但一般要用函數的單調性，導數與極限，現時教科書不講函數極限，在許多問題中致使通法不通，最終還是用極限，如limx→∞kx=0，limx→+∞qx=0（0

參考文獻

[1]熊福州，張正威.不是通法失效，而是通法沒教通[J].中學數學研究，2015（5）