聚焦圓錐曲線的熱點(diǎn)問題

佘媛媛++張世林

1.怎么考

本部分主要以解答題形式考查，往往是試卷的壓軸題之一，一般以直線與圓錐曲線、圓與圓錐曲線為載體，考查弦長、定點(diǎn)、定值、最值、范圍問題或探索性問題，試題難度較大，能力要求高，綜合性強(qiáng).

2.怎么辦

（1）圓錐曲線的最值與范圍問題的常見解法：①幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；②代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值.

（2）定值、定點(diǎn)問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，處理時(shí)直接推理求出定值，也可先通過特定位置猜測結(jié)論后進(jìn)行一般性證明，對于客觀題，通過特殊值法探求定點(diǎn)、定值能達(dá)到事半功倍的效果.

（3）探索性問題主要是存在性問題，求解時(shí)一般先假設(shè)存在，然后進(jìn)行合理的推理論證，若得到的結(jié)論符合情理則假設(shè)成立，若得到矛盾的結(jié)論則假設(shè)不成立.

熱點(diǎn)一圓錐曲線中的范圍、最值問題圖1

例1如圖1，點(diǎn)P（0，-1）是橢圓C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一個(gè)頂點(diǎn)，C1的長軸是圓C2：x2+y2=4的直徑.l1，l2是過點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交圓C2于A，B兩點(diǎn)，l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D.

（1）求橢圓C1的方程；

（2）求△ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程.

解（1）由題意得a=2，b=1，所以橢圓C1的方程為x24+y2=1.

（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），由題意知直線l1的斜率存在，不妨設(shè)其為k，則直線l1的方程為y=kx-1.又圓C2：x2+y2=4，故點(diǎn)O到直線l1的距離d=1k2+1，所以AB=24-d2=24k2+3k2+1，又l1⊥l2，故直線l2的方程為x+ky+k=0.

由x+kx+k=0，

x2+4y2=4消去y，整理得（4+k2）x2+8kx=0，故x0=-8k4+k2，所以PD=8k2+14+k2.設(shè)△ABD的面積為S，則S=12AB·PD=84k2+34+k2，

所以S=324k2+3+134k2+3≤161313，當(dāng)且僅當(dāng)k=±102時(shí)取等號.故所求直線l1的方程為y=±102x-1.

思維升華求最值及參數(shù)范圍的方法有兩種：①根據(jù)題目給出的已知條件或圖形特征列出一個(gè)關(guān)于參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，將其代入由題目列出的不等式（即為消元），然后求解不等式；②由題目條件和結(jié)論建立目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域.在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí)常從以下五個(gè)方面考慮：

①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；

②利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系；

③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

④利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；

⑤利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍.

熱點(diǎn)二圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問題

例2已知橢圓C的中點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于12，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x2=83y的焦點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；圖2

（2）已知點(diǎn)P（2，3），Q（2，-3）在橢圓上，如圖2，點(diǎn)A、B是橢圓上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APQ=∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由.

解（1）設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），則b=23.由ca=12，a2=c2+b2，得a=4，所以橢圓C的方程為x216+y212=1.

（2）當(dāng)∠APQ=∠BPQ時(shí)，PA，PB的斜率之和為0，設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，PA：y-3=k（x-2），由y-3=k（x-2），

x216+y212=1整理得

（3+4k2）x2+8（3-2k）kx+4（3-2k）2-48=0，x1+2=8（2k-3）k3+4k2，同理PB的直線方程為y-3=-k（x-2），可得x2+2=8k（2k+3）3+4k2.

所以x1+x2=16k2-123+4k2，x1-x2=-48k3+4k2，kAB=y1-y2x1-x2=k（x1+x2）-4kx1-x2=12，所以直線AB的斜率為定值12.

思維升華定值問題就是在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變量的問題，基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問題，證明要解決的問題與參數(shù)無關(guān).在這類試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的.

熱點(diǎn)三圓錐曲線中的探索性問題圖3

例3如圖3，拋物線C：y2=2px的焦點(diǎn)為F，拋物線上一定點(diǎn)Q（1，2）.

（1）求拋物線C的方程及準(zhǔn)線l的方程.

（2）過焦點(diǎn)F的直線（不經(jīng)過Q點(diǎn)）與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)M，記QA，QB，QM的斜率分別為k1，k2，k3，問是否存在常數(shù)λ，使得k1+k2=λk3成立，若存在λ，求出λ的值；若不存在，說明理由.

解（1）把Q（1，2）代入y2=2px，得2p=4，所以拋物線方程為y2=4x，準(zhǔn)線l的方程：x=-1.（2）由條件可設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），k≠0.由拋物線準(zhǔn)線l：x=-1，可知M（-1，-2k）.又Q（1，2），所以k3=2+2k1+1=k+1，把直線AB的方程y=k（x-1），代入拋物線方程y2=4x，并整理，可得k2x2-2（k2+2）x+k2=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由根與系數(shù)的關(guān)系知x1+x2=2k2+4k2，x1x2=1，又Q（1，2），則k1=2-y11-x1，k2=2-y21-x2，因?yàn)锳，F(xiàn)，B共線，所以kAF=kBF=k，即y1x1-1=y2x2-1=k，所以k1+k2=2-y11-x1+2-y21-x2=2kx1x2-（2k+2）（x1+x2）+2k+4x1x2-（x1+x2）+1=2（k+1），即存在常數(shù)λ=2，使得k1+k2=2k3成立.

思維升華解析幾何中的探索性問題，從類型上看，主要是存在類型的相關(guān)題型.解決問題的一般策略是先假設(shè)結(jié)論成立，然后進(jìn)行演繹推理或?qū)С雒埽纯煞穸僭O(shè)或推出合理結(jié)論，驗(yàn)證后肯定結(jié)論，對于“存在”或“不存在”的問題，直接用條件證明或采用反證法證明.解答時(shí)，不但需要熟練掌握圓錐曲線的概念、性質(zhì)、方程及不等式、判別式等知識(shí)，還要具備較強(qiáng)的審題能力、邏輯思維能力以及運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題和解決問題的能力.

模擬精練

1.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為22，其左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，過點(diǎn)F1的直線l交橢圓C于E、G兩點(diǎn)，且△EGF2的周長為42.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若過點(diǎn)M（2，0）的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)A、B，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足OA+OB=tOP（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)PA-PB<253時(shí)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

答案（1）x22+y2=1；（2）（-2，-263）∪（263，2）.圖4

2.如圖4所示，橢圓C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為22，x軸被曲線C2：y=x2-b截得的線段長等于C1的短軸長.C2與y軸的交點(diǎn)為M，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C2相交于點(diǎn)A，B，直線MA，MB分別與C1相交于點(diǎn)D，E.

（1）求C1，C2的方程；

（2）求證：MA⊥MB；

（3）記△MAB，△MDE的面積分別為S1，S2，若S1S2=λ，求λ的取值范圍.

答案（1）x22+y2=1；（2）略；（3）[916，+∞）.

3.已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的焦距為27，其一條漸近線的傾斜角為θ，且tanθ=32.以雙曲線C的實(shí)軸為長軸，虛軸為短軸的橢圓記為E.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)A是橢圓E的左頂點(diǎn)，P、Q為橢圓E上異于點(diǎn)A的兩動(dòng)點(diǎn)，若直線AP、AQ的斜率之積為-14，問直線PQ是否恒過定點(diǎn)？若恒過定點(diǎn)，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不恒過定點(diǎn)，說明理由.

答案（1）x24+y23=1；（2）直線PQ恒過定點(diǎn)（1，0）.

4.已知橢圓C的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，橢圓的離心率為12，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)P（1，32）.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）線段PQ是橢圓過點(diǎn)F2的弦，且PF2=λF2Q，求△PF1Q內(nèi)切圓面積最大時(shí)實(shí)數(shù)λ的值.

答案（1）x24+y23=1；（2）λ=1.