近幾年全國新課標卷導數壓軸題規律透視

周啟杰

近幾年全國新課標卷對于導數應用的考查，其難點一直圍繞函數的單調性、極值（最值）展開，以導數為工具探究函數的性質，借此研究不等式、方程等問題，著重考查分類討論、數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，意在考查學生的運算求解能力，推理論證能力，充分體現數學理性思維的特點，從思維的層次性、深刻性、創新性等方面進行全面考查，凸顯了高考試題的選拔功能，一直在履行壓軸的使命.本文通過解析近幾年新課標卷導數壓軸題，透視歸納導數壓軸題的命題規律.

類型1不等式恒成立求參數范圍

不等式恒成立求參數范圍是導數應用的熱點問題，常規方法有分參法、函數最值法，但新課標卷對這類問題的考查卻別有洞天，往往利用函數的性質求解參數的范圍.2010、2011、2013、2014年份的全國新課標卷均考查了這種類型.下面以2010、2014年份的試題為例說明.

例1（2010年新課標理科）設函數f（x）=ex-1-x-ax2.

（1）若a=0，求f（x）的單調區間；

（2）若當x≥0時f（x）≥0，求a的取值范圍.

解析一（1）a=0時，f（x）=ex-1-x，f′（x）=ex-1.

當x∈（-∞，0）時，f′（x）<0；當x∈（0，+∞）時，f′（x）>0.故f（x）在（-∞，0）單調減少，在（0，+∞）單調增加.

（2）f′（x）=ex-1-2ax，

由（1）知ex≥1+x，當且僅當x=0時等號成立.故f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，

從而當1-2a≥0，即a≤12時，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，

于是當x≥0時，f（x）≥0.

由ex>1+x（x≠0）可得e-x>1-x（x≠0）.從而當a>12時，

f′（x）

故當x∈（0，ln2a）時，f′（x）<0，而f（0）=0，于是當x∈（0，ln2a）時，f（x）<0.

綜合得a的取值范圍為（-∞，12].

解析二f′（x）=ex-1-2ax.

令g（x）=f′（x），則g′（x）=ex-2a.

①當a≤1[]2[SX）]時，g′（x）≥0恒成立，g（x）在[0，+∞）上遞增，故g（x）≥g（0）=0，

所以，f′（x）≥0，即f（x）在[0，+∞）上遞增，

故f（x）≥f（0）=e0-1-0-a·02=0，即f（x）≥0成立.

②當2a>1，即a>12時，ln2a>0，易知g（x）在（0，ln2a）上遞減，在（ln2a，+∞）上遞增，顯然，在（0，ln2a）上，g（x）≤g（0）=0，所以f′（x）≤0，即f（x）在（0，ln2a）上遞減，f（x）

綜上得a的取值范圍是（-∞，12].

說明解法一運用了放縮法，技巧性強，解題過程簡練；解法二體現了通法.

例2（2014年新課標2理科）

已知函數f（x）=ex-e-x-2x.

（Ⅰ）討論f（x）的單調性；

（Ⅱ）設g（x）=f（2x）-4bf（x），當x>0時，g（x）>0，求b的最大值；

解析一（Ⅰ）f′（x）=ex+e-x-2≥0，等號僅當x=0時成立，

所以f（x）在（-∞，+∞）單調遞增.

（Ⅱ）g（x）=f（2x）-4bf（x）=e2x-e-2x-4b（ex-e-x）+（8b-4）x，

g′（x）=2[e2x+e-2x-2b（ex+e-x）+（4b-2）]

=2（ex+e-x-2）（ex+e-x-2b+2）.

①當b≤2時，g′（x）≥0，等號僅當x=0時成立，

所以g（x）在（-∞，+∞）單調遞增.

而g（0）=0，所以對任意x>0，g（x）>0.

②當b>2時，若x滿足2

即0

而g（0）=0，

因此當0

綜上，b的最大值為2.

解析二（2）由g′（x）=0，即2（ex+e-x-2）（ex+e-x-2b+2）=0，

得ex+e-x-2=0或ex+e-x-2b+2=0，

由ex+e-x-2=0得x=0，

①當b≤2時，g′（x）≥0，等號僅當x=0時成立，

所以g（x）在（-∞，+∞）單調遞增.

而g（0）=0，所以對任意x>0，g（x）>0.

②當b>2時，由ex+e-x-2b+2=0，解得ex=b-1±b2-2b>0，

解得x=ln（b-1±b2-2b），

其中x1=ln（b-1+b2-2b）>0，x2=ln（b-1-b2-2b）<0.

令m（x）=ex+e-x，m′（x）=ex-e-x=0，得x=0，

易知x>0時，m′（x）>0，x<0時，m′（x）<0，

即m（x）在（-∞，0）上是減函數，在（0，∞）上是增函數，

所以x∈（0，x1）時，ex+e-x-2b+2<0，

則x∈（0，x1）時，g′（x）<0，即g（x）在（0，x1）上單調遞減，

而g（0）=0，故x∈（0，x1）時，g（x）<0，