例談超級畫板支持下如何優化解析幾何教學

鄧城

【摘要】超級畫板在數形結合和動態展示方面有著強大的功能，能很好地彌補傳統數學教學的不足.在解析幾何的教學中，應用超級畫板可以幫助學生加強對解析幾何概念的理解，幫助學生探索定點和最值問題，優化解析幾何的教學方式.

【關鍵詞】超級畫板；解析幾何；數學探究

在教育教學中，利用信息技術促進教學，已成為現代教育的一個標志.超級畫板在數形結合和動態展示等方面上有著強大功能，能有力地彌補傳統數學教學的不足，但具體到教學中何時用、何處用、怎么用來優化教學卻是亟待研究的問題.筆者對自身的教學實踐進行了初步反思，得到幾點粗淺的看法，望能起到拋磚引玉的作用.1應用超級畫板幫助學生加強對解析幾何概念的理解

高中數學中解析幾何部分內容相對抽象和復雜，特別是圓錐曲線的概念涉及到的限制條件較多，定義方式不單一，對應圖象的生成方式多樣化，同時各種圓錐曲線間的性質容易混淆，這些都造成了學習上的困難.筆者曾經在講授完橢圓的定義后給學生布置了課本中的一道習題作為作業（人教版選修2-1的習題22），題目如下：圖1

如圖1，圓O的半徑為定長r，A是圓O內的一個定點，P是圓上任意一點.線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？

作業的效果不是很好，什么原因？學生知道橢圓的定義中有“動點到兩個定點的距離之和為定值……”這樣的條件，但此題并沒有直接給出這個條件來，需要學生自己去構建，這時觀察能力和聯想能力就很重要了.事實上觀察能力和聯想能力恰恰是解析幾何教學中需要重點培養的方面，基于軌跡的動態特征，借助超級畫板等信息技術來輔助教學就很有必要.

筆者在后來上橢圓的新課時干脆把上面這個題目當成新課的引入部分，利用超級畫板中的“跟蹤”功能，慢慢拖動P點在圓上運動時，讓學生觀察軌跡的特點和其中隱含的條件，進而引出橢圓的概念.這樣的橢圓概念新課處理方式激發了學生對Q點軌跡的好奇心，極大地方便學生觀察變化規律，同時也給學生留下了一種印象深刻的橢圓生成方式.

上面用到的超級畫板課件還可以在講授離心率時派上用場，拖動A點使得OA的距離變大，利用超級畫板的“軌跡”功能容易發現對應的橢圓越來越扁.在此過程中可引導學生觀察發現OA的距離變大（即焦距2c變大）時，又由于圓O不變即有2a不變，從而離心率e=ca變大，與此同時橢圓越來越扁.如此一展示，學生容易理解離心率對橢圓扁平程度的影響關系.另外，在新授雙曲線的概念時上述超級畫板的課件仍然可以繼續使用，拖動A點到圓O外時就得到Q點軌跡為雙曲線，這個結果容易引發學生的疑問，為什么軌跡會由橢圓變成了雙曲線？正所謂“學起于思，思源于疑”，教師應及時抓住這個學習的良機，讓學生類比橢圓研究雙曲線的特征.

借助以上幾次超級畫板課件的應用，學生對圓錐曲線的概念及生成方式能留下深刻的印象，并在知識網絡結構中形成了合理的圖式.值得一提的是這樣的超級畫板課件制作起來非常容易，當前學校的多媒體設備都較為普及，完全可以讓學生親自操作，教師只在關鍵時刻加以指導幫助，這樣學生的探索積極性較高，且在動手做數學實驗的過程中能夠獲得更加深刻的數學感悟.2應用超級畫板幫助學生發現解析幾何中的定點問題

解析幾何中含參數的直線或曲線變化多端，但通常都隱藏著過定點的規律，如果學生不能發現這個規律則往往簡單問題復雜化，事倍功半.在傳統教學中限于信息技術的局限往往只能對這類問題通過常規推理證明，難以直觀展示動態變化中的過定點特征，使得學生對該類問題印象不深，容易忘記相關結論，更不用說記得怎么推理出來的了.新課標提出：“高中數學課程應提倡利用信息技術來呈現以往教學中難以呈現的課程內容”.通過超級畫板的軌跡跟蹤功能將動直線或曲線的變化情況展示出來，將有助于學生發現新現象，并將極大地激發學生探索現象背后的規律證明，從而主動建構起新的知識，這樣的教學方式要比原來直接告訴學生有新規律然后證明的接受式教學更加有效.

例如筆者在必修2中講直線系過定點問題時先引入一個問題：判斷直線l：ax+（2a-1）y+a=0（a∈R）與圓O：x2+y2=1的位置關系.學生一般都會先嘗試下判斷圓心到直線的距離與半徑的大小關系，于是寫出d=a5a2-4a+1，但接著大部分學生就發現很難將d與半徑1作比較.正在學生一籌莫展之時，筆者笑著說：“何苦單戀一枝花呢，不如使用超級畫板畫出直線l和圓O，看看它們的位置關系到底怎樣.”相對比幾何畫板，超級畫板在參數變量的設置和操作方面特別方便，且直觀明了，方便教師和學生使用.圖2操作如下：在超級畫板中使用“變量尺”新定義一個參數a（可以自定義取值范圍），接著利用繪制“直線”的功能直接輸入直線l的方程ax+（2a-1）y+a=0即可得到含參數a的直線，然后將圓O也繪制出來.拖動變量尺中參數a的取值，利用“跟蹤”功能可以發現直線l一直過定點（-1，0），直線l與圓O相交或相切（如圖2所示）！

面對這樣魔術般的直觀效果，學生們大開眼界，同時也對為什么會過定點（-1，0）感到好奇，筆者乘熱打鐵，提示學生可以先驗證直線是否真的過點（-1，0），學生將點（-1，0）代入直線方程發現方程等式成立，且與a無關.筆者繼續引導道：“從驗證過程可以發現怎樣才能跟a無關？”學生很快發現a與0相乘時就與a無關，于是筆者順勢提出可以將方程中的a提取出來，變成a（x+2y+1）-y=0.此時學生容易發現當x+2y+1=0且y=0時，方程恒成立，聯立上面兩個方程便發現直線真的過定點（-1，0）.筆者進一步指出：“這類問題屬于含參數的直線系過定點問題，知道動直線過定點對于解決直線與曲線的相關問題非常有益.”筆者舉例人教版必修2的“復習參考題”（P144）中的一題作為應用，題目如下：

已知圓C：（x-1）2+（y-2）2=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0.

（1）求證：直線l恒過定點.（2）判斷直線l被圓C截得的弦何時最長、何時最短？并求截得的弦長最短時m的值以及最短長度.

通過超級畫板作圖演示發現l恒過定點（3，1），筆者引導學生類比直線ax+（2a-1）y+a=0的研究方法，證得直線l恒過定點（3，1）.另外，學生發現直線l恒過定點解決后通過數形結合很容易解決第2問.

從上面筆者對直線系過定點的教學案例可以發現，超級畫板不僅給課堂呈現了實驗的結果，定點數據還給我們提供了研究的突破口，教師在應用超級畫板時一定要將課堂的重心放在如何利用超級畫板的演示效果引導學生對背后的規律本質進行深入研究.

在圓錐曲線中還有其它重要的動直線過定點問題，一樣可以應用超級畫板輔助教學，例如：點A和點B均為拋物線y2=2x上的動點，且OA⊥OB，試問直線AB恒過何定點？

使用超級畫板演示發現直線AB恒過點（2，0）（如圖3所示），教師此時應注意引導學生多加觀察，可提問：點（2，0）和y2=2x都有共同的2，是否巧合？通過這個提問進一步激發了學生的好奇心，在超級畫板中調整拋物線為y2=2px，發現直線AB恒過點（2p，0），于是新的猜想就出來了，而怎么證明這個猜想也成了學生迫不及待想知道的事情，此時教師應順勢引導學生思考過定點問題該如何解決.圖33應用超級畫板幫助學生探索解析幾何中的最值問題

解析幾何中常涉及長度、斜率和面積等變量的最值問題的探討.這原本是解析幾何的重點研究內容，也是高考難題命制的青睞對象，更是展示解析幾何的魅力之所在.然而，在傳統教學中由于畫圖和測量的不便，師生對最值問題的處理只能靠手工演算，但由于圖形復雜和數據繁多容易導致推導出錯，還難以檢查哪個步驟出錯.另外整個推導過程還枯燥無味，大部分學生難以保持高強度的注意力，容易游離在課堂之外，變成教師自己的獨角戲.而對于需要自主探索結論的開放性問題，學生對推導下去能否成功更是缺乏信心，容易半途而廢.

超級畫板具備強大的動態跟蹤、動態測量和復雜計算功能，能夠彌補傳統教學中畫圖和測量困難，使用者可以選取解析幾何動態變化中的任意一個位置來進行靜態觀察和研究，也能在動態變化中通過觀察測量值的變化情況發現規律.在最值問題的教學中適時借助超級畫板能幫助學生掌握動態變化情況，輕松發現取到最值時的特征，合理形成初步的數學猜想，也為學生對規律的證明提供了方向和信心.

例如筆者在教學中曾讓學生探索如下一道解析幾何的最值問題：已知點A（0，-2）和橢圓E：x24+y2=1，設過點A的動直線l與橢圓E相交于P、Q兩點，求△OPQ的面積的最大值及此時直線l的方程.學生畫圖后很快發現直線l在繞著點A轉動過程中確實存在最大值，通過解析幾何的方法表達出△OPQ的面積并用基本不等式得到最大值為1，直線l的方程為y=±72x-2.接著筆者引導學生觀察△OPQ面積的最大值1與橢圓方程E：x24+y2=1的關系，有學生發現1=12×2×1即有△OPQ面積的最大值1等于橢圓E中長半軸a與短半軸b圍成的三角形面積12ab.是巧合還是真有這個結論？這個問題引起了學生強烈的好奇心和探索的熱情，筆者建議學生在課后利用超級畫板自主探索，看能否得出猜想并加以證明.

第二天的數學課堂上筆者讓學生展示成果.

學生甲：我通過改變點A（與y軸的交點）的位置發現△OPQ面積的最大值仍然是1，改變橢圓的方程仍然有△OPQ面積的最大值為12ab.于是得到猜想：已知橢圓E：x2a2+y2b2=1，過點A（0，m）的動直線l與橢圓E相交于P、Q兩點，則有△OPQ面積的最大值為12ab.

學生甲對猜想證明如下：

依題意，直線l的斜率存在，故可設直線l的方程為y=kx+m，聯立x2a2+y2b2=1，

y=kx+m，得到（b2+a2k2）x2+2kma2x+a2（m2-b2）=0，

x1+x2=-2kma2b2+a2k2，x1x2=a2（m2-b2）b2+a2k2.

原點到直線l的距離d=mk2+1，弦長L=1+k2（x1+x2）2-4x1x2，

所以S△OAB=12m（x1+x2）2-4x1x2=12m4k2m2a4（b2+a2k2）2-4a2（m2-b2）b2+a2k2

=maba2k2+b2-m2（b2+a2k）2，令a2k2+b2-m2=t（t≥b2-m2）則有

S△OAB=mabt（t+m2）2=mab1t+m4t+2m2≤mab12m4+2m2=12ab.證畢.

師：“這個猜想和證明有沒問題？”

學生乙：“我用超級畫板發現有相同的結論，證明過程也跟猜想相符合，應該沒問題.”其他學生也點頭附和.

筆者當場演示超級畫板，當點A的坐標為（0，-2），橢圓E的方程為x24+y2=1時，情況如圖4所示：

圖4

師：“就點A此時位置，猜想是對的.把點A的位置稍微上下移動，一樣有相同的結論，所以你們就這樣得到猜想？”

眾學生點頭，但似乎感覺到有點問題了.

師：“剛才的實驗考慮到了全部情形嗎？”

這時學生們才注意到點A的位置如果在更大范圍移動可能有其它結果.隨后筆者和學生一起動手實驗探索，發現當點A的位置很靠近原點時△OPQ面積的最大值取不到1，且容易發現取到最大值時直線l的斜率為0，這與前面的實驗情形大不相同（如圖5所示）！

圖5

師：“那么前面的證明哪里出了問題？”

學生丙：“從超級畫板看出最大值跟點A的位置有關，也就是與m的大小有關，前面證明的最后一步用了含m的不等式，但沒有說明不等式取等號時應成立的條件.”

師：“沒錯，前面證明中使用基本不等式時一定要考慮‘正定等的！”

經過師生合作，前面的證明修正如下：

（前面一樣）令a2k2+b2-m2=t（t≥b2-m2）則有

所以S△OAB=mabt（t+m2）2=mab1t+m4t+2m2，

①當b2-m2≤m2即m≥22b時，由基本不等式有

S△OAB=mab1t+m4t+2m2≤mab12m4+2m2=12ab，

當且僅當t=m4t，即t=m2時等號成立，此時有a2k2+b2=2m2.

②當b2-m2>m2即m<22b時，u（t）=t+m4t在t≥b2-m2時單調遞增，所以當t=b2-m2，即k=0時，S△OAB有最大值mab2-m2b.

從上面的案例可以發現，在解析幾何的支持下，學生容易發現部分情況下的規律，但也容易早下定論，以偏概全.教師應當適時地引導學生借助超級畫板全面觀察對象的變化情況，完整歸納實驗的結論并得出數學猜想，還應引導學生對證明中的討論分析與實驗結果進行對比，加深對證明思路的理解.