緊扣比值定義 選擇斜率解法

武長青

界定“線性元件和非線性元件”的標準是“元件的伏安特性曲線是否是通過坐標原點的直線”.無論是否為線性元件，電阻都按R=U/I計算，只有在線性電阻中才能用R=ΔU/ΔI.在伏安特性曲線上，電阻的倒數一定等于線上各點與原點連線的斜率，只有在線性元件中曲線的切線的斜率才等于電阻的倒數，非線性元件中曲線的切線的斜率沒有意義.

1問題的提出

伏安特性曲線中如何求電阻？怎樣判斷電阻的變化？

例題1某導體中的電流隨其兩端的電壓變化，如圖1實線所示，則下列說法中正確的是

A.加5 V電壓時，導體的電阻是5 Ω

B.加12 V電壓時，導體的電阻是8 Ω

C.由圖可知，隨著電壓增大，導體的電阻不斷減小

D.由圖可知，隨著電壓減小，導體的電阻不斷減小

實際教學過程中，學生解答中存在以下的問題：不選A和B，選擇D.但部分學生選擇D的解法是看伏安特性曲線的切線，切線越來越平緩，電阻越來越大.

出現以上的解法其實是源于同一思維點：“求伏安特性曲線的切線”出發.因無法求5 V、12 V時的切線所以不選A、B，對應著D答案，學生認為R=1/K，切線斜率減小，電阻值增大.這樣的解法對嗎？伏安特性曲線切線的斜率是電阻的倒數嗎？

2緊扣定義確定正解

歐姆定律告訴我們，對于金屬和電介質導電時I=U/R.變形可得R=U/I，即電阻阻值應是統一狀態下電壓和電流的比值.根據這樣的比值定義，求出5 V時的電阻是R=5 Ω，12 V時的電阻是R=8 Ω.隨著電壓的增大線上各點對應的電壓與電流的比值不斷增大，因此電阻值增大.

3虛構模型剖析錯解

學生為何會按“求伏安特性曲線的切線”的思路求解呢？這要從線性元件的伏安特性的理解上尋找根源.由于線性元件的伏安特性曲線的斜率的倒數等于線性元件的電阻.學生將“斜率”的定義進行“自然”遷移，理解成曲線斜率的倒數就是阻值的大小.同時也將線性元件的“線性”這一概念擴大成數學中的線性函數的“線性”.

數學中，線性（linear），指量與量之間按比例、成直線的關系，在數學上可以理解為一階導數為常數的函數.由趙凱華、陳熙謀編寫的高等教育出版社出版的高等學校教材《電磁學》第二版對“線性元件和非線性元件”是這樣描述的：以電壓U為橫坐標、電流強度I為縱坐標畫出的曲線，叫做該導體的伏安特性.歐姆定律成立時，伏安特性是一條通過坐標原點的直線，其斜率等于電阻R的倒數，它是一個與電壓、電流無關的常量.具有這種性質的電學元件叫做線性元件，可得到界定“線性元件和非線性元件”的標準是“元件的伏安特性曲線是否是通過坐標原點的直線”.

我們可以虛構以下的模型引導學生區別數學“線性”與物理“線性元件”中線性的不同.若某一元件的伏安特性如圖2所示，那么該元件是線性元件嗎？其阻值隨著電壓的增大是否改變？

從數學的認識角度出發，此圖線為線性圖線.認真對照線性元件的定義可知，該元件不是線性元件.

4對比分析深化理解

學生為何會將“斜率”的定義進行“自然”遷移？從授課的過程看：線性元件的伏安特性曲線是過原點的傾斜的直線，1R=k=IU，也能表達成1R=I1U1=I2U2=ΔIΔU=k.在此學生就開始知識遷移.實際上在非線性元件中，1R=I1U1≠I2U2≠ΔIΔU，即對應著（I1，U1）和（I2，U2）的電阻值并不相等.1R不能寫成ΔIΔU，不能看成伏安特性曲線上該點切線的斜率，應是某點與坐標原點連線的斜率.

如圖3所示，在第一個問題中當電壓增大時，k2

說得再直接一點：無論是否為線性元件，電阻都按R=U/I計算，只有在線性電阻中才能用R=ΔU/ΔI.在伏安特性曲線上，電阻的倒數一定等于線上各點與原點連線的斜率，只有在線性元件中曲線的切線的斜率才等于電阻的倒數，非線性元件中曲線的切線的斜率沒有意義.

從學生已掌握的知識看，顯然與a=ΔvΔt進行了類比遷移.這其實是個錯誤遷移.加速度定義為△v與△t的比值.無論加速度是否恒定都是兩者的比值.而電阻則是電壓與電流的比值.在阻值不變的前提下，可以根據等比定理寫成ΔUΔI，但這并不是電阻的定義式.

我們可以用這樣的方法類比分析.在如圖4所示的彈簧彈力和形變量的關系圖線中，勁度系數是F與x的比值，因此實線表示隨著彈簧伸長量的增大，彈簧的勁度系數先不變后減小（勁度系數應等于線上各點與原點的連線的斜率）.同樣，在如

圖5所示的P-T圖像中，雖然實線是一條傾斜的直線，但一定質量的同種氣體并非做等容變化，而是體積不斷減小（體積應等于線上各點與原點的連線的斜率的倒數）.在如圖6所示的動量-時間圖像中圖線上任一點切線的斜率等于該時刻物體所受的合外力（F=ΔPΔt），隨時間增加合外力減小.在如圖7所示的速度-時間圖像中物體的加速度保持不變（a=ΔvΔt）.

同為“線性”，我們應能在數學、物理范疇內區別理解.必須明確同為求斜率，是“某點與坐標原點的連線的斜率”還是“圖線上某點切線的斜率”，我們應根據具體的比值定義內容選擇正確、合理的解決方法.