線性代數教學過程中的幾點改進

龍瓊

摘 要： 本文指出在線性代數教學過程中，傳統的教學方法已不能很好地滿足學生對數學學習的需求.為此，作者在教學過程中做了以下改進：加入部分概念的幾何解釋，加強學科與學科間的聯系.輔以精練的總結性語言，采用結合學生專業進行實例教學，以及借助Matlab軟件進行教學.實踐證明，這提高了學生的學習興趣與積極性，從而更高效地達到教學目的.

關鍵詞： 線性代數 幾何意義 實例教學 MATLAB 習題課

1.補充相應的幾何解釋

在線性代數的學習過程中，學生普遍反映其太過抽象，對有些概念的提出甚至感覺莫名其妙.事實上，線性代數中的許多概念都是具有一定的幾何意義的.在授課過程中，教師對部分概念適當地做一些幾何解釋有助于學生更具體化理解它們.當然，對應某些理論，其幾何背景本身就挺復雜的，就沒必要介紹，可以選擇向學生推薦相關資料，供有興趣的學生課后了解.

我們注意到正交變換是對應于坐標原點不動的坐標軸的變換，因此方程中的常數項保持不變.再由解析幾何知識可得該二次曲面為雙葉雙曲面.

2.采用實例教學

實際上，在處理現代工程問題時，在很大程度上最終都可歸結為線性代數方程組的求解問題.比如，優化設計，大規模集成電路設計，雷達散射截面，信號處理，以及復合材料運用，等等.在課堂上，教師適當向學生介紹線性代數的一些簡單應用，使學生實實在在地體會到線性代數的實用性，可吸引學生的注意力，提高他們的學習主動性.

例如，在軍事或商業上，為了保障自身安全或利益，必須對傳輸的信息加密，使得只有知道密匙的接收者才能準確、快速破譯.線性代數中矩陣的運算能夠很好地解決這類問題.

例2.如下表所示，每個英文字母給定一個相應的碼字：

若要傳輸信息HELPME，可據對應的碼子將其寫成如下三階方陣（按列）

B= 8 16 5 5 0 012 13 0

為了進一步加密，可任意選取一可逆的3階矩陣A，使之滿足|A|=1.令C=AB，則矩陣C為最終加密后的信息.己方接收到矩陣C后，只需用A■進行解密，再對比字母-碼子對照表就可得到發送的原始信息：B=A■C.

比如現取A=1 2 12 0 31 1 1，則加密后收到的矩陣為C，且C=30 29 552 71 1025 29 5，最終只需用A■進行解密即可.

當然，在現代社會，實際應用中的加密手段要復雜得多，但引入這個例子后定能夠讓學生直觀體會到矩陣乘法及逆矩陣求解的實際應用價值.只要讓學生覺得一個知識有實用價值了，便會更積極主動地學以致用，而非被動接受.

3.引入Matlab軟件教學

所謂代數，粗略來說就是研究具有加、減、乘、除運算性質的數；線性代數則是指這種代數必須是線性的，而非非線性的.換言之，線性代數解題過程中出現大量的計算是在所難免的.

隨著計算機應用的普及，現實領域中涉及的線性代數中的計算問題已得到解決.比如Matlab軟件的應用，它以矩陣運算為基礎，把計算、可視化、程序設計有機融合到簡單易學的交互式工作環境中，有出色的數值計算功能和強大的圖形處理功能，而且簡單易學，代碼短小高效.線性代數中的求方陣的逆矩陣、方陣的行列式、矩陣的秩、矩陣的范數及線性方程組的解等均可通過Matlab編程得以實現.比如，在線性代數中求方陣的逆矩陣和行列式是比較麻煩且易出錯，但用Matlab編程來計算則非常快捷準確.其過程如下：

例3.求三階方陣A=1 2 12 -1 01 0 1的行列式和逆矩陣.其程序為：A=[1，2，1；2，-1，0；1，0，1]；det（A）；inv（A）；

注意，函數“det”是指方陣的行列式，函數“inv”則表示求方陣的逆矩陣.通過Matlab軟件，無論方陣A的階數有多高，A中元素有多復雜，只需輸入相應的函數語言，便可準確快速地得出結論.

4.精練語言，一題多解

中學時代，數學教師都很注重用一題多解訓練學生的解題技巧.在大學數學課堂上，這仍不失為一種高效的學習方法.一題多解的思維模式不僅能培養學生換角度思考問題，而且能幫助學生通過反復使用所學知識，達到輕松記憶的目的.

參考文獻：

[1]樊明書.線性代數[M].成都：四川大學出版社，2010.

[2]任廣千，謝聰，胡翠芳.線性代數的幾何意義[M].西安：西安電子科技大學出版社，2015.

[3]謝秋玲，洪銀萍.淺議線性代數的應用教學策略[J].上海工程技術大學教育研究，2010（01）：39-41.