淺談湊微分法的教學

陳文亞

摘 要： 湊微分法（第一換元法）既是高等數學積分學的重點，又是難點.一般學生在剛開始學習湊微分法時，總會被方法的名字迷惑，認為湊微分法就是求導數或求微分，使得整個學習走向錯誤的方向，覺得湊微分法非常難學.因此作者根據多年的教學經驗，總結了一些方法，讓學生理解湊微分，從而掌握湊微分的實質，摒棄原來死套公式的方法，從本質上掌握湊微分法.

關鍵詞： 不定積分 湊微分法 第一換元法

湊微分法是高等數學中常用的積分方法，也是一種很重要的積分方法，它既是學習第二換元法和分部積分法的基礎，又是學習定積分、微分方程、多元函數重積分的基礎.雖然湊微分法很重要，但學生在學習這部分內容時就是掌握不好，究其原因主要有以下幾個.

一、概念混淆，分不清湊微分和微分的本質區別.初學者經常會把湊微分和微分這兩個概念混淆，這兩個概念雖然字面相近，但兩者是互逆運算，微分與導數相關.湊微分實際上是已經知道函數的微分，問的是哪個函數的微分，如微分cosxdx是哪個函數的微分呢？由導數公式（sinx）′=cosx，得到dsinx=cosxdx，我們把這個過程稱為湊微分.

湊微分概念與原函數非常相似，而原函數全體就是不定積分，從而得到湊微分遵循的是積分原則，但形式是微分，正是這種形式上的差別讓學生很難接受湊微分的實質是積分，所以在剛接觸湊微分法的時候，學生經常會把公式xdx湊微分成d2x或dx.故老師在講授新課時，首要任務是講清楚湊微分與微分的區別，同時要反復強調湊微分的實質是積分，湊微分遵循的原則是積分規律，但形式還是微分.一旦理清了湊微分的內涵，學生在學習湊微分法的時候，就不需要死記那些湊微分的公式，只需記住積分公式，在湊微分的時候寫成微分形式即可，從而減輕了學生的記憶負擔.在掌握湊微分的概念后，學生在選擇函數進行湊微分時，就會有更大的主動性，知道凡是可以積分的函數都可以湊微分，那么函數的選擇范圍就更大.

二、記不住湊微分公式.要想把湊微分法學好，在理解湊微分實質的基礎上，還要熟練掌握常用的積分公式，特別是冪函數的積分公式.初學不定積分的同學一般都會背冪函數的積分公式，但不會真正使用，教師可以把冪函數的積分公式的常用形式羅列一下，這有助于學生學習湊微分法.

三、面臨多個函數可以湊微分，不會選擇判斷.高等數學教材在講授湊微分法時，都會通過一些簡單、常見的例題給學生總結一些湊微分的公式，學生即使把這些公式背熟，碰到熟悉的會做，一旦形式發生改變，就不會運用這些公式了，究其原因就是不理解為何要湊微分.事實上，湊微分法是復合函數求導法則的逆運算，復合函數求導法則中要對內層函數和外層函數求兩次導數，因此湊微分法也要做兩次積分，湊微分是對復合函數的內層函數積分，積完分需要換元，故內層函數湊好微分后的形式都會在原不定積分中出現.

根據上面的討論，湊微分法在計算不定積分的時候，選擇函數湊微分的依據有兩個：（一）可以積分的函數才可以湊微分；（二）選擇的函數在湊微分后，微分符號d左面表達式與右面的表達式應該有公共部分.一般來說，只要湊微分后，微分號前后有公共部分，湊微分的選擇和變形就是對的.

上面的兩個依據只是教學生如何選對函數，函數選對了不一定能把積分算出來，因為在湊微分的時候通常要注意兩個技巧.第一個技巧是湊微分的時候通常會有系數或負號產生，系數和符號一般都要放在微分號的前面，這樣進行第二步換元時，換元對象非常清晰.第二個技巧是在湊完微分后有時還需要做系數的恒等變形或常數的變化.

事實上，湊微分法就是反復使用基本積分公式表，學生在學習過程中要緊扣這個關鍵點，第一步選擇哪個函數湊微分，湊成什么形式，都必須依據積分表，不可憑空捏造；第二步微分湊好后，一定要根據湊出來的函數換元，當換元后的形式在積分公式表中找不到時，可能是湊微分對象選擇不對，檢查微分符號d左右的形式是否有公共部分，如果有，就要根據題目的具體情況對湊出來的函數做系數和常數的恒等變形；如果微分符號左右的形式沒有公共部分，這時就要從第一步重新開始選擇函數.

此外，學生在學習過程中還會把湊微分法和分部積分法混淆，因為分部積分法的第一步也是湊微分，但雖然兩種方法的第一步都是湊微分，目的卻完全不一樣，湊微分法是為了讓左右有公共部分，以便換元；而分部積分法則是為了把函數變成？蘩udv形式，而且？蘩udv中左右函數是絕對不會有公共部分的，弄清楚這一點，兩者就不會混淆了.

參考文獻：

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