不圓滿才是數學

劉東升

蘇東坡的詞：“人有悲歡離合，月有陰晴圓缺，此事古難全.”南宋方岳詩句：“不如意事常八九，可與人言無二三.”季羨林先生在散文名篇《不完滿才是人生》中寫道.“每個人都想爭取一個完滿的人生.然而，自古及今，海內海外，一個百分之百完滿的人生是沒有的.所以我說：不完滿才是人生.”然而就初中所學習的數學來說，我們也可以提出：不圓滿才是數學.

大家在復習了三角形的定義、內角和、重要線段、全等三角形、特殊的三角形（等腰三角形、直角三角形）等知識后，那么對三角形的學習就畫了一個圓滿的句號嗎？肯定不是.比如，三角形的角平分線的研究還可以繼續拓展，可以鏈接到三角形的內心、內切圓；三角形的三邊垂直平分線交于一點，又會與三角形的外接圓關聯起來；類似的思考，還有具有挑戰性的三角形三條高交于一點，該如何證明呢？再比如，從全等三角形出發，可以探究出很多有意思的結論，簡化很多圖形的性質與判定，全等也是探究四邊形（特別是平行四邊形）的工具，到矩形的對角線性質時，又可以反觀直角三角形的斜邊上的中線性質了！

直角三角形真是一種奇妙的圖形，且不說被譽為“千古第一定理”的勾股定理，直角三角形在各個年級的幾何章節中都會有它的身影，本期要復習的圓，有沒有直角三角形的身影呢？回答當然是肯定的！比如，垂徑定理的基本圖形與直角三角形不可分離；圓周角定理的推論更是單列一條：直徑所對的圓周角是直角；外接圓、切線、切線長都離不開直角三角形；到了初中幾何最后階段的銳角三角函數，更是把目光聚焦在直角三角形邊角關系上.

這樣來看，很難說我們真正弄懂了某個圖形，窮盡了這個圖形的所有性質，然而作為一種追求，對數學知識達到深刻理解總是“心向往之”的目標.

在1900年巴黎國際數學家大會上，“數學界的無冕之王”、德國著名數學家希爾伯特發表了題為《數學問題》的著名講演，提出了23個最重要的數學問題.這23個問題成為許多數學家力圖攻克的難關，對現代數學的研究和發展產生了深刻的影響，并起了積極的推動作用.這些問題中有些現已得到圓滿解決，有些至今仍未解決，然而希爾伯特的名言“我們必須知道，我們終將知道”卻一直鼓勵著人們前行.

誠然，中考復習階段的“數學習題”不同于數學家眼中的“數學問題”，但是同學們在解題過程中表現出來的解答策略、嚴謹而優美的推理表達、攻克難題的柳暗花明、鍥而不舍的堅持不懈，都使我們的數學能力得到訓練與提升.

（作者單位：江蘇省海安縣城南實驗中學）