巧用疊加原理求解由若干個帶電體形成的電場分布問題

文中瓊+陳太紅+楊志鵬

摘 要： 電場力和能的性質是高考物理中的一個常考點，其中由若干個帶電體所形成的電場分布特點更是高考難點之一。在不清楚電場分布的情況下，學生極易導致失分。針對此類情況，本文旨在將兩個及以上的帶電體所形成的電場分布，全部轉換為學生熟悉的由多個點電荷所形成的電場分布的疊加，由此學生可應用“場強疊加原理”判斷各點的電場強度大小；應用“電勢疊加原理”判斷各點電勢高低；應用合外力所做的功等于各個分力所做功的代數和，定性地判斷電場力做功的正負，進而判斷各點電勢能的大小。

關鍵詞： 場強疊加原理 電勢疊加原理 點電荷 電勢能

1.補充知識

1.1場強疊加原理

當空間存在多個電荷時，它們在某一點形成的場強等于各個電荷單獨存在時在該點場強的矢量和。學生熟悉在真空中的點電荷所形成的電場中，某點的場強E由場源電荷Q和該點到場源電荷的距離r決定，即E=。在電場線或等勢面分布特點不明確的情況下，若需判斷各點的電場強度大小，此時根據場強疊加原理，便可快速有效地解決問題。

1.2電勢疊加原理

任意帶電體系都可看成是點電荷組，它們在空間產生的電勢分布亦可用疊加原理求得。與場強疊加不同，電勢疊加是標量疊加（如圖1所示）：

由于中學階段學生并未學習微積分，無法理解電勢疊加原理的真正含義。教師在授課時可以結合點電荷在真空中的電場強度E=，并根據在勻強電場中U=Ed，定性地給出點電荷所形成的電場中任意一點的電勢為φ=（即電勢由場源電荷Q和該點到場源電荷的距離r決定），并由此驗證為什么沿電場線方向電勢降低？解析如下：（1）若場源電荷為正電荷則沿電場線方向r逐漸變大，由數學知識可知φ逐漸減小，即沿電場線方向電勢降低。（2）若場源電荷為負電荷則沿電場線方向r逐漸減小，由于Q為負值，因此φ逐漸減小，即沿電場線方向電勢降低。由電勢疊加原理得，當空間存在多個電荷時，它們在某一點形成的電勢等于各個點電荷單獨存在時在該點電勢的代數和。

1.3合外力做功

當合外力為恒力時求總功的方法：（1）先求合外力F，再由W=Flcosα；（2）先求各個力做的功W、W、W…，再應用W=W+W+W+…。若合外力為變力，我們可應用這兩種方法定性地判斷力所做功的正負即可。針對電場力常采用先判斷各個電場力做功正負，再判斷總電場力做功正負，進而得出電勢能的變化情況。

2.典型應用

2.1（2013山東理綜，19）（多選）如圖2所示，在x軸上相距為L的兩點固定兩個等量異種點電荷+Q、-Q，虛線是以+Q所在點為圓心，L/2為半徑的圓，a、b、c、d是圓上的四個點，其中a、c兩點在x軸上，b、d兩點關于x軸對稱。下列判斷正確的是（ ）

A.b、d兩點處的電勢相同

B.四個點中c點處的電勢最低

C.b、d兩點處的電場強度相同

D.將一試探電荷+q沿圓周由a點移至c點，+q的電勢能減小

分析與解：（1）判斷場強大小：因為b、d到+Q的距離相等，所以E=E（方向不同），又有b、d到-Q的距離相等，所以方向不同），由場強疊加原理（但方向不同），所以C選項錯誤。（注：本文中代表正電荷在b點的場強大小，代表負電荷在d點的場強大小；φ代表正電荷在a點的電勢大小，φ代表在a點的總電勢r代表a點到負電荷的距離；E代表a點的電勢能大小依次類推，以下將不再介紹。）

（2）判斷電勢高低：針對+Q：因為a、b、c、d到+Q的距離相等，由電勢疊加（標量疊加）：，即c點電勢最低，b、d兩點電勢相同，即A、B正確。

（3）判斷電勢能大小：針對+Q，因為a、b、c、d為等勢點，所以a到c電場力不做功，電勢能不變化；針對-Q，因為+q從a到c電場力做正功，所以電勢能減小。所以合外力所做的總功為正功，電勢能減小，即D選項正確。

2.2（2015山東德州模擬）（多選）如圖3所示，分別在M、N兩點固定放置兩個點電荷+Q和-q（Q>q），以MN連線的中點O為圓心的圓周上有A、B、C、D四點。下列說法正確的是（ ）

A.A點電勢低于B點電勢

B.A點場強大于B點場強

C.將某正電荷從C點移到O點，電場力做負功

D.將某正電荷從O點移到D點，電勢能增加

分析與解：（1）判斷場強大小：因為A、B兩點關于O點對稱，Q>q，所以A點的場強大于B點的場強。即B正確。

（2）判斷電勢高低：針對+Q，∵rφ；針對-q，∵r>r∴φ>φ，由電勢疊加可得φ>φ，即A錯。

（3）判斷電勢能大小：針對+Q，若將某正電荷從C點移到O點，電場力做負功；針對-q，若將某正電荷從C點移到O點，電場力做正功。由于Q>q，所以+Q做的負功數值上大于-q做的正功，所以總的電場力從C點移到O點做負功，即C正確。針對+Q，若將某正電荷從O點移到D點，電場力做正功；針對-q，若將某正電荷從O點移到D點，電場力做負功。由于Q>q，因此+Q做的正功的數值上大于-q做的負功的數值，總的電場力從O點移到D點做正功，電勢能減少即D錯。

2.3（2013江蘇理綜，6）（多選）將一電荷量為+Q的小球放在不帶電的金屬球附近，所形成的電場線分布如圖4所示，金屬球表面的電勢處處相等。a、b為電場中的兩點，則（ ）

A.a點的電場強度比b點的大

B.a點的電勢比b點的高

C.檢驗電荷-q在a點的電勢能比在b點的大

D.將檢驗電荷-q從a點移到b點的過程中，電場力做負功

分析與解：（1）判斷場強大小：針對+Q，∵rE；針對金屬球，由于金屬球不帶電，則E=E=0，∴E>E，即A正確。

（2）判斷電勢高低：針對+Q，∵rφ；針對金屬球，由于金屬球不帶電，則φ=φ=0，∴φ>φ，即B正確。

（3）判斷電勢能大小：針對+Q，若將-q從a移到b，電場力做負功；針對金屬球，由于金屬球不帶電，因此電場力不做功。所以總的電場力做負功，電勢能增加即a點的電勢能小于b點的電勢能C錯誤D正確。

2.4（2014江蘇理綜，4）如圖5所示，一圓環上均勻分布著正電荷，x軸垂直于環面且過圓心O。下列關于x軸上的電場強度和電勢的說法正確的是（ ）

A.O點的電場強度為零，電勢最低

B.O點的電場強度為零，電勢最高

C.從O點沿x軸正方向，電場強度減小，電勢升高

D.從O點沿x軸正方向，電場強度增大，電勢降低

分析與解：（1）判斷場強大小：圓環均勻分布著正電荷，可以將圓環等效為很多正點電荷q的組成，由于所有的正電荷q到O點的距離相同，則任意點電荷到o點的場強大小相等，但方向不同，由場強疊加原理可得O點場強為零。由于沿x軸正方向，任意點電荷到x軸方向的距離逐漸變大，則場強減小，由場強疊加原理可知場強減小。

（2）判斷電勢高低：同上可知，任意點電荷到O點的電勢相等，由電勢疊加原理滿足標量疊加，則O點電勢最高，即B正確。由于沿x軸正方向，任意點電荷到x軸方向的距離逐漸變大，由電勢疊加原理得電勢升高，即D正確。

參考文獻：

[1]趙凱華.新概念物理教程電磁學[M].高等教育出版社，2006.

[2]朱玉龍.5年高考3年模擬高考物理新課標專用[M].教育科學出版社，2015.