妙用數(shù)字 “1”，巧解數(shù)學(xué)試題

葉明東

摘 要： 在歷年的高考數(shù)學(xué)中，比較指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的大小問題，三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值問題和基本不等式求值問題都占有一席之地.對(duì)考生來說，都是必得之分.然而，大部分考生由于沒有掌握解決這三類問題的關(guān)鍵——“1”的代換，往往會(huì)在考試中丟分.對(duì)此，本文通過實(shí)例，歸納總結(jié)了這三類問題的解法關(guān)鍵.

關(guān)鍵詞： 數(shù)字“1” “1”的代換 巧解

在數(shù)學(xué)中，“1”是正數(shù)，整數(shù)，最小的正奇數(shù)，代數(shù)數(shù).在幾何學(xué)中，單位圓的半徑是1.在概率論中，任一樣本空間中必然發(fā)生的隨機(jī)事件之概率定義為1.“1”也是第一個(gè)高合成數(shù).可以說“1”在數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位.

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和歷年高考試題中，“1”的代換通常是解決某類問題的關(guān)鍵.并且每年高考題均有所涉及，多數(shù)是以選擇題或填空題形式出現(xiàn).試題的難度多為中、低檔，在高考中對(duì)考生來說，是必得之分.本文分類擬例，其旨在通過熟悉題型特征，掌握解題方法——如何將“1”經(jīng)過代換變形后，代換成與之相關(guān)的形式，進(jìn)而達(dá)到解決問題的目的.

一、妙用“1”，巧解比較指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的大小問題

本類問題主要考查指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的大小關(guān)系，難度中等.一般根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行解題.由于所要判斷式子的形式不同，因此不能直接用單調(diào)性比較它們的大小，很容易造成思維受阻.此時(shí)可考慮插入一個(gè)值間接建立二者的大小關(guān)系.比如“1”.這是高中數(shù)學(xué)中比較大小的題型中常用的方法.