旋轉(zhuǎn)中心在直線上運(yùn)動(dòng)的問題

周東

旋轉(zhuǎn)變換是三大變換中的難點(diǎn)，也是近年來(lái)中考命題的熱點(diǎn).通過(guò)整理發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)相關(guān)的中考題中，有一部分是旋轉(zhuǎn)中心在直線上運(yùn)動(dòng)的.本文以此為切入口，通過(guò)讓學(xué)生動(dòng)手畫圖，探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，旋轉(zhuǎn)的方向和角度保持不變，旋轉(zhuǎn)后的圖形呈直線平移這一規(guī)律.并將這一規(guī)律加以運(yùn)用，提高旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用能力.

一、在操作中梳理知識(shí)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

問題1：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的。

分析：（1）旋轉(zhuǎn)的三要素是什么？（旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度）（2）畫圖時(shí)，運(yùn)用了旋轉(zhuǎn)的哪些性質(zhì)？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問題1的操作，梳理旋轉(zhuǎn)的相關(guān)性質(zhì)，找到旋轉(zhuǎn)后不變的量，即圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，旋轉(zhuǎn)角度相等.

變式：在上題坐標(biāo)平面中分別以（0，2），（0，4）為旋轉(zhuǎn)中心按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°.畫出，旋轉(zhuǎn)后的這些三角形有什么關(guān)系？

分析：（1）這題和前面問題1什么是相同的，什么是不同的？（2）旋轉(zhuǎn)后的圖形有什么關(guān)系，你可以提出什么猜想？

小結(jié)：當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心在直線上移動(dòng)時(shí)，旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度保持不變，所得的圖形之間可以通過(guò)平移得到.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)畫圖，比較分析，提出猜想：當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心在直線上移動(dòng)時(shí)，旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度保持不變，旋轉(zhuǎn)后的圖形呈直線平移.通過(guò)幾何畫板的操作可以驗(yàn)證這一規(guī)律.

二、在解題中鞏固知識(shí)，提高能力

問題2：已知二次函數(shù)y=x-4交x軸于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，D點(diǎn)坐標(biāo)（0，2），動(dòng)點(diǎn)P在線段DO上從D到O運(yùn)動(dòng)，若線段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，求點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′移動(dòng)的路徑長(zhǎng).

分析：（1）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)A′在哪里？（在點(diǎn)B處）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)A′又在哪里？（0，-2）（2）點(diǎn)A′移動(dòng)的路徑是什么圖形？（線段）

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)確定旋轉(zhuǎn)中心的起點(diǎn)和終點(diǎn)確定A的路徑，即線段的兩個(gè)端點(diǎn).從而概括出利用起點(diǎn)和終點(diǎn)確定路徑的方法.

變式：若點(diǎn)P在y軸上，線段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好也落在此拋物線上，求點(diǎn)A和點(diǎn)P的坐標(biāo).

分析：（1）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A′是怎樣運(yùn)動(dòng)的？（呈直線平移）（2）求A所經(jīng)過(guò)的直線可以用兩個(gè)特殊點(diǎn)（2，0）（0，-2）求得，求出直線與拋物線的另一交點(diǎn)（1，-3）后，求點(diǎn)P的坐標(biāo)可以先求AA的解析式，再求AA中垂線的解析式，最后求中垂線與y軸的交點(diǎn)即可.

設(shè)計(jì)意圖：（1）旋轉(zhuǎn)中心由在線段上變成在直線上，從而確定點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路線也由線段變成直線，這樣就可以非常準(zhǔn)確地畫出圖形確定點(diǎn)，然后用解析法求點(diǎn)的坐標(biāo).（2）問題一發(fā)現(xiàn)的規(guī)律加以運(yùn)用，讓學(xué)生感受發(fā)現(xiàn)規(guī)律的價(jià)值.

問題3：已知二次函數(shù)y=x-3交x軸于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.若點(diǎn)P在線段AC上，從點(diǎn)C到點(diǎn)A移動(dòng)，移動(dòng)速度為1，時(shí)間為t.將△OBC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△OBC.

（1）若點(diǎn)P在點(diǎn)C上，求點(diǎn)O的坐標(biāo).

（2）當(dāng)t為何值時(shí)點(diǎn)O落在線段BC上？

（3）若OBC與△ABC重疊部分面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式.

分析：（1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)P在C點(diǎn)時(shí)，借助圓規(guī)和三角板畫出圖像.當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)時(shí)，O又在什么位置？（AC的中點(diǎn)）△OBC隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)是怎樣運(yùn)動(dòng)的？（從右向左平移至點(diǎn)B與點(diǎn)C重合為止.）

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，O落在BC上？方法一：如圖（2），O的縱坐標(biāo)為-，代入BC的解析式可求得O的坐標(biāo)，再求OO中垂線與AC的交點(diǎn)，即可求出t的值.方法二：如圖（3）易得△OCB為等邊三角形，可得O為BC的中點(diǎn).方法三：如圖（3），也可證△OPO為等邊三角形.方法四：如圖（1），從勻速平移的路徑來(lái)看，點(diǎn)O落在BC上時(shí)，剛好為平移總路徑的一半，因此點(diǎn)P平移的時(shí)間也是總時(shí)間的一半.

（3）在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，OBC與△ABC重疊部分是怎樣變化的？（從三角形到梯形）重疊部分的面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式要分段討論.

當(dāng)0≤t≤時(shí)，如圖（4），易知△DCE為直角三角形，S=×t·t=t；

當(dāng)≤t≤2時(shí)，如圖（5），重疊部分為梯形，S=-t+3t-.

設(shè)計(jì)意圖：（1）讓學(xué)生認(rèn)清圖形旋轉(zhuǎn)是由點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)組成的，即圖形旋轉(zhuǎn)之根本是點(diǎn)的旋轉(zhuǎn).（2）通過(guò)旋轉(zhuǎn)中心在線段上運(yùn)動(dòng)，找到O的平移路徑.從而可以判斷OBC的平移方向和路徑.（3）發(fā)現(xiàn)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于60°時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接旋轉(zhuǎn)中心后可以得到等邊三角形.（4）在旋轉(zhuǎn)特殊角度時(shí)，要充分運(yùn)用三角板、圓規(guī)作出圖形.（5）運(yùn)用整體思想，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)清旋轉(zhuǎn)后圖形的運(yùn)動(dòng)路徑，然后根據(jù)路徑求解一些特殊情況的值.

本文由旋轉(zhuǎn)的操作入手，在規(guī)定旋轉(zhuǎn)中心在直線上運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)方向和角度不變的情況下，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)后的圖形呈直線平移的規(guī)律.然后從點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)出發(fā)，到三角形的旋轉(zhuǎn)，并且把三角形的旋轉(zhuǎn)歸結(jié)為點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想.旨在激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的熱情，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.