含混合常時滯的中立型系統穩定性

張玉鳳， 周榮康

(1. 江蘇建筑職業技術學院 機電工程學院， 江蘇 徐州 221116；2. 華東理工大學 機械與動力工程學院， 上海 200237)

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含混合常時滯的中立型系統穩定性

張玉鳳1， 周榮康2

(1. 江蘇建筑職業技術學院 機電工程學院， 江蘇 徐州 221116；2. 華東理工大學 機械與動力工程學院， 上海 200237)

摘要：研究含混合常時滯的不確定中立系統的魯棒穩定性問題，基于時滯分割方法，分別通過構造恰當的Lyapunov-Krasovskii泛函，并結合積分不等式處理技巧、自由權矩陣以及凸組合技術得到新的穩定性判據.通過數值仿真,將文中所得結論與已有的文獻結果進行比較，驗證結論的有效性.數值仿真表明：文中方法改善了已有文獻的結果，降低了結論的保守性.

關鍵詞：時滯系統； Lyapunov-Krasovskii泛函； 穩定性； 魯棒性； 中立系統

對時滯系統的研究始于20世紀50至60年代，當時一些基本理論(系統方程解的唯一性、零解的穩定性理論)就已形成[1]，這些系統分析理論為后續的研究奠定了一定的基礎，但是直到近二十年來，對時滯系統的研究才真正成為一個熱點課題，尤其是在控制理論和控制工程領域[2-4].如何針對動態時滯模型進行穩定性分析，分析時滯對控制系統的影響或合理地利用系統的時滯信息，以提高控制系統的性能，具有重要的理論意義及現實意義[5-8].目前,關于時滯系統穩定性分析的多數結論是基于時滯相關條件而展開的.關于時滯相關條件的討論，在時域內采用的研究方法主要涉及以下兩個部分[9]：一是如何構造合適的Lyapunov-Krasovskii(L-K)函數；二是如何有效地處理L-K泛函的導數.對這兩個方面研究的最終目標是使所得的時滯相關條件具有更低的保守性和有效性.本文針對含混合常時滯的中立型系統，基于時滯分割方法討論系統的穩定性問題.針對具有結構不確定性的混合常時滯中立系統，基于時滯分割方法構造了新的L-K函數，結合積分不等式、自由權矩陣和凸組合技術推導出新的穩定性判定條件，并利用數值算例仿真驗證了文中結論比現有文獻具有更小的保守性.

1問題描述

考慮如下混合中立型系統，其離散時滯和中立時滯均為常數，即

(1)

式(1)中：x(t)∈Rn是系統狀態的向量；時滯h>0，為已知標量，且γ=max{τ,h}；φ(t)為初始向量函數；A，B，C為適當維數的已知常數矩陣;ΔA(t),ΔB(t),ΔC(t)為系統參數的不確定性,且滿足條件

(2)

式(2)中：D,Ea,Eb,Ec為適當維數的常數矩陣;F(t)為未知時變矩陣,且滿足

(3)

式(3)中：如果F(t)=0，則系統變為標稱線性中立系統.

為保證系統穩定而估計離散時滯的最大上界范圍，基于時滯分割法，將離散時滯進行平均分割，構造合適的L-K泛涵，結合積分不等式，從而得到保守性更低的結論.

2結論及其證明

首先,考慮系統(1)的標稱系統的穩定性，即

(4)

(5)

成立,則系統(4)漸近穩定.其中，

證明構造如下L-K泛函

(6)

其中，

計算L-K泛函V(t)沿系統(4)的導數，則有

(7)

(8)

(9)

(10)

由Jensen′s不等式,可得

(11)

(12)

(13)

進而可得

(14)

綜合式(7)～(14)，可得

(15)

其中，

如果Φ<0，則由L-K穩定性定理可知，系統(1)的標稱系統漸近穩定.由Schur補可知，Φ<0等價于定理1中的條件(5)，證畢.

依據定理1的證明思路,有如下推論.

(16)

成立,則系統漸近穩定.其中,

3數值仿真與比較

通過數值仿真比較,說明文中方法改善了已有文獻的結論.考慮如下中立系統[10],有

其中,

當c值不同時，推論1給出不同分割數下，保證系統穩定的最大時滯上界hM的值，同時，與文獻[9-11]的結論進行比較，仿真結果如表1所示.由表1可知:相比已有文獻[9-11]，文中推論1所得結果保守性明顯降低，且隨著分割數目的增加，保守性進一步降低，但是也會產生計算量隨之增加的問題，為了折中結論的保守性和計算的復雜性，一般取N為較小的數值(2或3).

4結束語

研究了不確定中立型系統的魯棒穩定性問題.針對含混合常時滯類型的不確定中立型系統，基于時滯分割法，把離散時滯區間[-h,0]均分成N份，針對不同的分割子區間構造了包含簡單形式的泛函和三重積分形式的L-K函數.該方法有效利用了系統的時滯信息，降低了結論的保守性.數值仿真表明:文中方法改善了已有文獻結果，降低了結論的保守性.

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(責任編輯： 黃曉楠英文審校： 黃心中)

Study on Stability of Neutral System With Interval Time-Varying Delay

ZHANG Yufeng1， ZHOU Rongkang2

(1. College of Mechanical Engineering， Jiangsu Vocational Institute of Architectural Technology, Jiangsu Xuzhou 221116, China;2. Machinery and Power Engineering College, East China University of Science and Technology, Shanghai 200237, China)

Abstract：The robust stability of uncertain neutral system with interval time-varying delay is studied. The new stability criteria are obtained by constructing appropriate Lyapunov-Krasovskii functional and combining integral inequality handling techniques, free weight matrix and convex combination. Numerical simulations are given to show the effectiveness of the proposed approach and the results of this paper are compared with the existing cited results. It shows that the method proposed in this paper improves the known results and shows less conservatism.

Keywords：time delay system; Lyapunov-Krasovskii functional; stability； robust； neutral system

中圖分類號：TP 391.9

文獻標志碼：A

基金項目：國家自然科學基金資助項目(60874059)

通信作者：張玉鳳(1972-)，女，副教授，主要從事電氣工程技術的研究.E-mail:1337783864@qq.com.

收稿日期：2015-10-21

doi:10.11830/ISSN.1000-5013.2016.03.0386

文章編號：1000-5013(2016)03-0386-05