高等數學解題中的逆向思維研究

鐵勇

摘 要：逆向思維是大學生在學習若干專業課程中常見的一種思維方式。主要通過分析大學生求解高等數學問題的思維意識現狀，詳細探討如何在求解高等數學的問題中培養逆向思維，為大學生學習高等數學提供一點學習方法的參考，以及為研究高等數學解題中的逆向思維研究提供一點理論依據。

關鍵詞：高等數學；解題：逆向思維

1 引言

逆向思維亦稱為求異思維，這種思維往往要求在正面分析遇到困難或是較為復雜的時候，從反面進行思考的一種思維方式。逆向思維打破了固有思維的思維定勢，促使問題的解決朝著有利的方向發展。逆向思維反映了在解決問題過程中的間斷性、突變性和反聯結性。在數學解題中，如果能適時地熟練運用逆向思維探索解題思路，就能找到解題的捷徑。本文通過分析大學生求解高等數學問題的思維意識現狀，詳細探討如何運用逆向思維求解高等數學的問題，為大學生學習高等數學提供一點學習方法的參考，以及為研究高等數學解題中的逆向思維研究提供一點理論依據。

2 高等數學問題求解的思維意識現狀

2.1 盲目模仿和照搬的模式

大學生學習高等數學往往更多的是為了通過獲取必要的學分，在課堂教學中呈現出來的往往是照抄筆記和照搬運算或證明模式，至于問題的求解，主要的學習方式主要是基于模仿，不懂得變通。改變題型就不懂得解題方法。這樣的模式對于高等數學的教學產生了阻礙的作用，以至于教與學脫鉤，不利于教學質量的提高和學生對解題方法的理解。例如：可數集中有關無限集至少存在一個可數集的定理的證明是通過可數集的充要條件和不完全歸納法的運用解決的。但是對于其它的證明某集合是否可數的問題，學生往往就是簡單的模仿，而不能很好地分析問題，抓住可數集的定義的本質去逆向思考類似的問題。

2.2 慣性思維對解題的影響

慣性思維是目前高校學生在學習高等數學時表現出來的一種常見的思維。慣性思維最大的弊端在于固定的思維模式和阻礙思維的發散。比如：一個定理的逆否定理等價于原有的定理。但是當證明定理的逆否定理時就無法想象原定理與之關系，這是慣性思維的癥結。比如：當你知道在一元函數中必有連續不一定可導，而可導一定連續時，未必會探討不連續是否一定不可導的問題，甚至把你否定理的論斷與原定理放在一起討論時都不知道二者之間的關系，更多的感覺是在教材中沒有見過這樣的定理或性質，這是一種典型的學教材知識帶來的慣性思維，束縛了學生的思考問題的意識。

2.3教學模式對學生思維意識的影響

面對若干復雜難學的課程和晦澀難懂的知識，學生在解題中呈現出來的思維惰性，在一定程度上會受課堂教學模式的影響。比如： 在數列極限的課堂教學中，如果教師不借助于數列極限的幾何意義反過來推導其數學定義，學生就不容易理解數列極限定義中的各個條件之間的關系。因此，教師的教學方式會影響學生在求解問題中的思維意識。

3 如何運用逆向思維求解高等數學的問題

3.1改變學習方式以培養逆向思維

針對不同的問題求解，學生在解題時需要全面合理地分析問題的條件與結論之間的關系。逆向思維最大的特點就是針對正向分析條件不得其解的問題，進行反向思考問題，即從結論入手，倒推題設條件；或者在正向推導問題的過程中遇到困惑，逆向思維倒推解決此過程的難點。這樣的思維方式需要學生改變學習方式，即：在課堂教學中認真聆聽教師的解題講解，聽的過程結合思考和理解，從而潛移默化地培養逆向思維。

3.2 改變教學模式以啟發逆向思維

傳統的教學模式和教材中的例題求解過程更多地偏重于正向分析問題而疏于逆向思維能力的培養.因此，我們在課堂教學中就必須改變教學模式，旨在加強學生逆向思維能力的培養與鍛煉，提高學生分析問題的能力.比如：在講解數列極限的問題時，可以引導學生從定義的結論入手，學會“要使什么成立，即證什么問題”的思考方式，結論中的不等式的推導，往往會得出N的取值，這時可以引導學生觀察N的取值特點，加以分析和總結，這樣能很好地啟發學生的逆向思維，促進學生對數列極限定義與幾何意義的理解。

3.3改變思維習慣以適應逆向思維

大學的教育以學生為本，學生的學習能力的提高體現出教學質量的不斷優化。但是學生的學習能力表現在諸多方面的因素，其中改變思維習慣就是一種重要的學習能力。比如：做一道選擇題，很多學生在草稿紙上的演算往往就像證明題和解答題一樣，演算過程冗長且耗費了大量的時間，演算的結果還不能確定是否正確。這樣的解題方式就呈現出一種不好的思維習慣的弊端。如果能利用特殊值代替一般值直接進行驗證，或許會得到意想不到的效果，反而爭取更多的時間去求解其它問題。這樣就要求學生要重視改變思維習慣，在聽課中或教師引導解題中適應逆向思維的求解方式。

3.4加強解題訓練鍛煉逆向思維

在課堂教學中，教師應該合理選擇一些有啟發性和適宜于逆向思考的問題，讓學生獨立思考，通過給學生一定時間的解答，引導學生正面分析問題，找出問題的癥結。當正向解答不得其解時，概括這樣解題的思路存在什么樣的問題，為什么正向解答不能求解，從而促使學生從逆向分析問題，逐步利用結論和條件的關系解答出問題。經過幾道題的訓練，然后進行對比分析，加以總結和歸納。這樣不僅獲得了解題的技巧，而且有效鍛煉了逆向思維。

參考文獻：

[1]張乃達.數學思維教育學[M].南京：江蘇教育出版社，1990：71-72.

[2]陳鼎興.數學思維與方法——研究式教學[M].南京：東南大學出版社，2011：93-94.

（作者單位：曲靖師范學院 數學與統計學學院）