淺談金融領域中的數學應用

王藝潤

摘要：隨著現代經濟社會不斷發展和成熟，現代金融理論的逐步發展并逐漸成熟起來，金融的理論的復雜程度日益加深。數學方法作為其中的理論基礎在其應用中尤為重要，并且在日益深化的金融交流活動中誕生出了金融數學這一數學學科的分支。本文通過描述，簡要介紹了數學在金融領域中的某些應用，及其具有的現實意義。

關鍵詞：金融；金融數學；數學模型

一、引言

隨著時代的發展，人類社會的經濟交流逐步復雜起來，銀行業、金融業日趨成熟，金融體系逐漸成熟并建立起一套獨有的知識體系。雖然數學在金融領域應用十分廣泛而深入，但是其與物理、化學、生物等自然科學相比，金融學的社會科學性質又讓其對數學的應用有了獨特的發展。在金融交易中的大量變化的不確定性因素、和對其有著復雜影響力的人為因素等，都使得這些金融學問題變得更加的錯綜復雜，這也使得數學在其中的應用變得獨具特色。

在很長的一段時間內，在金融投資領域的理論研究都不被認可，只被認為是一種貶義的“賺錢的方式”，不被認為是科學的領域。直到美國經濟學家哈里·M·馬科維茨的研究成果被普遍認可，金融投資理論才被納入到經濟學的范疇。但是盡管如此，數學方法的在金融學中的應用仍是碎片化的，以數學思想和方法為主要應用手段，而沒有形成系統的知識體系。

二、金融數學及其意義

當金融體系不斷完善，世界經濟的不斷發展，以及現代數學的持續進步，數學思維與方法在金融中大量的應用同樣使得其聯系和地位愈加明顯，金融數學這一交叉學科逐步形成。通過高等數學的思維方法和數學知識的靈活運用來對金融資產和其中的資產定價、投資決策、風險控制等諸多問題進行了深入的研究。

可以說金融是研究貨幣融通和資金活動的，而在這里面則存在著大量的數量關系，是確定的和可計算的。但是，金融活動同時也參雜著人類的主觀活動在里面，同時具有不確定性，這就決定了數學方法在金融中的應用是極有必要的但同時又必須是靈活地。而數學的估算來幫助人們進行一定的估算與風險預計也是非常有必要的，證券、期貨交易的過程更是運用到了大量的數據交換和定量分析與驗證。這些都使得金融數學的存在有其現實意義。

三、數學模型在金融領域的應用典型

1.資產估價模型

眾所周知資金是具有時間價值的。在不同的時間點和不同時期上的資金，其價值并不是一直不變的，在計算時不能簡單的進行直接相加減或相比較。為解決這一問題，美國經濟學家歐文·費雪在1986年時提出了這一觀點，即資產的當前價值等于未來現金流量貼現值之和，成為資產估價模型建立的基礎。

其中最簡單的估價模型是復制公式。其數學表達式如下：

首先設一項投資在未來某時刻t的現金流量為C（t），它的貼現率為R（t），n是期數，總的現值為PV，那么則有

PV=∑ni=1C（t）[1+R（t）]-1

通過這一數學表達的計算，奠定了證券投資價值的資本化方法的基礎，而且其表達形式可以根據不同的情況有不同的變化。并且在此基礎上產生了貼現現金流模型（DCF），揭示了股票的內在價值，即它所有未來股息的貼現值之和：

P（t）=∑∞k=1D（t+k）（1+i）-（1+k）

其中，P（t）為時刻t時的股票價格，D（t+k） 為時刻t+k獲得的股息，i為常數表示合適的貼現利率。

2.證券投資組合模型

2.1資產組合中的收益

可以設投資組合中證券價格為一個隨即便令，那么其均值可以表示收益，可得投資組合中的預期收益E（rp ）是在這一投資組合中所有資產預期收益的簡單加權的平均值，ri為第i種收益的預期，設x為資產投資占總投資的比例。則有

E（rp ）=E（xr1+xr2+…+xr3）= x1 E（r1）+x2 E（r2）+…+xn E（rn）

E（rp ）=∑ni=1x1 E（r1）

其中x1+x2+…+xn=1

2.2資產組合方差

由于我們可以把投資的風險可以被定義為實際的收益偏離預期收益的潛在可能性，此時可以用方差來表示，因為方差在數學上即表示隨機變量對數學期望的離散程度。這一表達方式，可以被用作通過預期收益來評估投資風險的一種計算方法，用公式表達為

σ2p=E[rpv-E（rp ）]2

通過這一算是的求解，不僅可以預估最優的投資組合方法，而且還直觀的指出了多方面投資可以更好的降低投資風險的事實，這也成為了風險投資的重要原則。

四、應用舉例

例.如將一筆資金投入到三個不同的盈利基金中，即基金A、基金B、基金C。

不同的基金收入不同同時又與經濟形勢有關系。假設經濟形勢分為好、中、差三個級別，分別發生的概率為P1=0.2，P2=0.7，P3=0.1 。根據各基金的數據參考可得到不同級別狀態下各基金的收益概率分布如下表，

好P1=0.2中P2=0.7差P3=0.1基金A113-3基金B64-1基金C102-2此時，我們該如何投資才能獲得比較好的收入呢？

解：首先看三個基金的數學期望

E（A）=11×0.2+3×0.7+（-3）×0.1=4

E（B）=6×0.2+4×0.7+（-1） ×0.1=3.9

E（C）=10×0.2+2×0.7+（-2） ×0.1=3.9

方差：

D（A）=（11-4）2×0.2+（3-4）2×0.7+（-3-4）2×0.1=15.4

D（B）=（6-3.9）2×0.2+（4-3.9）2×0.7+（-1-3.9）2×0.1=3.29

D（C）=（10-3.2）2×0.2+（2-3.2）2×0.7+（-2-3.2）2×0.1=12.96

通過分析離散型隨機變量的期望可知，投資基金A的平均收益最大。但投資的同時也要注意風險，這時通過對它們各自方差的分析，方差越大，風險的波動越大。這樣比較看，基金B的風險最小，同時收益上又比基金A相差較小，所以選擇基金B來投資更加合理。

五、總結

近年來，金融數學可謂是越來越受到經濟、金融學界甚至很多其他社科領域的高度關注。并且國際上很多著名的金融數學家還發起組織了“金融學會”以利用國際交流繼而推動數學理論在金融學上的應用。我國現在在大學課程中“金融數學、金融工程”等專業也受到追捧。但是可以看到現代金融學的理論研究與金融領域的現實實踐中，數學起著必不可少的作用。金融學的研究也吸納了很多數學領域的專家學者，與此同時金融學的發展也同樣推動者數學的發展。由此可見，數學和金融的融會貫通，以及靈活的應用才是其發展之道。