高中數(shù)學(xué)函數(shù)的設(shè)計思路

董艷平

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2016）03-0084-01

一、高中數(shù)學(xué)新課程中的函數(shù)設(shè)計思路

（一）一般有兩種方法，一種是先學(xué)習(xí)映射，再學(xué)習(xí)函數(shù)，即從一般到特殊的方法；另一種是通過具體函數(shù)實例的分析，歸納總結(jié)出數(shù)集之間的一種特殊對應(yīng)關(guān)系——函數(shù)，即從特殊到一般的方法。例如，對于函數(shù)概念，先引導(dǎo)學(xué)生梳理已經(jīng)掌握的具體函數(shù)（如，初中學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、簡單分段函數(shù)等），通過分析這些具體函數(shù)的特征，構(gòu)建函數(shù)的一般概念，再由函數(shù)概念抽象出映射概念。

（二）提倡運用信息技術(shù)研究函數(shù)運用信息技術(shù)可以呈現(xiàn)函數(shù)的直觀圖像，迅速精確地實施函數(shù)運算，通過函數(shù)圖像和函數(shù)運算，可以幫助學(xué)生加深對函數(shù)所表示的變化規(guī)律的理解。信息技術(shù)還為運用函數(shù)模型解決問題提供了便利，高中數(shù)學(xué)新課程提倡運用信息技術(shù)研究函數(shù)。

二、高中數(shù)學(xué)新課程中函數(shù)教學(xué)建議

（一）整體把握函數(shù)的內(nèi)容與要求，在與函數(shù)有關(guān)的內(nèi)容的教學(xué)進程中不斷加深學(xué)生對函數(shù)思想的理解。函數(shù)是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中第一次遇到的具有一般意義的抽象概念，在這個概念下可以派生出許多不同層次的具體函數(shù)。學(xué)生對于這種多層次的抽象概念的理解是需要時間和經(jīng)驗積累的，需要多次接觸、反復(fù)體會、螺旋上升，逐步理解，才能真正掌握，靈活運用。因此，函數(shù)教學(xué)應(yīng)整體設(shè)計，分步實施。教師應(yīng)整體規(guī)劃整個高中階段函數(shù)的教學(xué)，對函數(shù)教學(xué)有一個整體的全面的設(shè)計，明確不同時段、不同內(nèi)容中學(xué)生對函數(shù)理解應(yīng)達到的程度，在與函數(shù)有關(guān)的內(nèi)容的教學(xué)進程中，通過運用函數(shù)不斷加深學(xué)生對函數(shù)思想的理解。

（二）關(guān)注認識函數(shù)的三個維度，引導(dǎo)學(xué)生全面理解函數(shù)的本質(zhì)。第一，函數(shù)是刻畫變量與變量之間依賴關(guān)系的模型，即變量說。在現(xiàn)實生活和其他學(xué)科中，存在著大量的變量和變量之間的依賴關(guān)系。例如：郵局收取郵資時，郵資（變量）隨著郵件的重量（變量）的變化而變化。這種變量之間的依賴關(guān)系具有一個突出的特征，即當一個變量取定一個值時，依賴于這個變量的另一個變量有唯一確定的值。基于這種認識，就可以用函數(shù)來表示和刻畫自然規(guī)律，這是我們認識現(xiàn)實世界的重要視角，也是數(shù)學(xué)聯(lián)系實際的基礎(chǔ)。第二，函數(shù)是連接兩類對象的橋梁，即映射說。對函數(shù)的這種認識反映了數(shù)學(xué)中的一種基本思想，在數(shù)學(xué)的后續(xù)學(xué)習(xí)中具有基礎(chǔ)作用。數(shù)學(xué)中的許多重要概念都是這種認識的推廣和拓展。例如，代數(shù)學(xué)中的同構(gòu)、同態(tài)是構(gòu)架兩個代數(shù)結(jié)構(gòu)的橋梁，拓撲學(xué)中的同胚也是構(gòu)架兩個拓撲結(jié)構(gòu)的橋梁等。第三，函數(shù)是“圖形”，即關(guān)系說。函數(shù)關(guān)系是平面上點的集合，因而可以看作平面上的一個“圖形”。在很多情況下，函數(shù)是滿足一定條件的曲線。因此，從某種意義上說，研究函數(shù)就是研究曲線的變化、曲線的性質(zhì)。基于這種認識，函數(shù)可以看作數(shù)形結(jié)合的載體之一。實際上，解析幾何、向量幾何、函數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程中數(shù)形結(jié)合的三個主要載體。

（三）重視函數(shù)模型的作用，幫助學(xué)生在頭腦中“留住”一批函數(shù)模型理解函數(shù)的一個重要方法，就是在頭腦中“留住”一批具體函數(shù)的模型。那些優(yōu)秀的數(shù)學(xué)工作者，對于每一個抽象的數(shù)學(xué)概念，在他們的頭腦中都會有一批具體的“模型”。這是很好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。高中數(shù)學(xué)課程中有許多基本函數(shù)模型，高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一就是把這些基本函數(shù)模型留在學(xué)生頭腦中，這些模型是理解函數(shù)和思考其他函數(shù)問題的基礎(chǔ)。在教學(xué)中，對于上述基本函數(shù)模型應(yīng)有一個全面的設(shè)計，要幫助學(xué)生在頭腦中留下三方面的東西：第一，背景，即要熟悉這些函數(shù)模型的實際背景，從實際背景的角度把握函數(shù)；第二，圖像，即從幾何直觀的角度把握函數(shù)；第三，基本變化，即從代數(shù)的角度把握函數(shù)的變化情況。只有在學(xué)生頭腦中“留住”這樣一批具體的函數(shù)模型，才能逐步實現(xiàn)對函數(shù)本質(zhì)的理解，并靈活運用函數(shù)思考和解決問題。

（四）揭示函數(shù)與其他內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，強化學(xué)生對函數(shù)思想的認識。函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的一條主線，貫穿于整個高中數(shù)學(xué)課程中，在方程、不等式、線性規(guī)劃、算法、隨機變量等內(nèi)容中都突出地體現(xiàn)了函數(shù)思想。用函數(shù)的觀點看待方程，可以把方程的根看成函數(shù)圖像與軸交點的橫坐標，解方程就是求函數(shù)的零點的橫坐標，從而解方程問題可以歸結(jié)為研究函數(shù)局部性質(zhì)的問題，即研究函數(shù)圖像與x軸的交點問題。這樣，如果一個函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且端點函數(shù)值異號，則就可以運用二分法求方程的近似解。還可以用切線法（函數(shù)在閉區(qū)間有一階導(dǎo)數(shù)）、割線法（函數(shù)在閉區(qū)間有二階導(dǎo)數(shù)）等求方程的近似解。在坐標系中，函數(shù)的圖像把橫坐標軸分成若干區(qū)域。一部分是函數(shù)值等于0的區(qū)域，另一部分是函數(shù)值大于0的區(qū)域，再一部分是函數(shù)值小于0的區(qū)域，用函數(shù)的觀點看，解不等式就是確定使函數(shù)的圖像在x軸上方或下方的的x區(qū)域。這樣，就可以先確定函數(shù)圖像與x軸的交點（方程的解），再根據(jù)函數(shù)的圖像來求解不等式。

（責任編輯 曾 卉）