高中立體幾何解題研究

魏胤呈 劉丹

摘 要：高中立體幾何主要是對我們高中生的空間想象能力、邏輯思維能力等進行培養，在高考中，立體幾何也是考察的重點內容之一，因此高中立體幾何的解題有著重要的意義。本文主要從高中生的角度對高中立體幾何進行研究和分析，對其中的解題方法和思路進行了探討，對提高高中生立體幾何解題能力有著一定的影響。

關鍵詞：立體幾何；解題；研究

在新課標的要求下，高中立體幾何的教學有了新的教學目標，在進行高中立體幾何的解題過程中，就是對解題方法的不斷重復和鞏固。個人認為在高中立體幾何解題過程中，應該培養的是我們學生的解題能力，我們應該如何去發現問題和解決問題。通過立體幾何來分析問題、解決問題，培養自己的空間想象能力和數學思維能力。

一、高中立體幾何解題理論基礎

對高中立體幾何問題進行解決是一個學習的過程，不僅僅是對以往所學的知識的運用，同時也是一個全新的學習過程，在這個過程中，我們不斷的進行假設、驗證，最終得到正確的答案。數學思想方法基礎在立體幾何的教學中也是至關重要的，在解決一個立體幾何問題的過程中，數學思想被反復的應用。可以說數學思想是一個問題的靈魂，運用的數學方法是數學思想的具體體現。具體而言，數學思想有函數思想、轉化思想、方程思想、數形結合思想、分類思想和歸納類比思想等。種種不同的數學思想為高中立體幾何問題的解決奠定了良好的理論基礎。我們只有不斷的對各種數學思想進行熟練的運用才能不斷的提高自身的立體幾何解決問題的能力。

二、從學生的角度看高中立體幾何學習

1.學習手段單一，影響學習效果

現在，高中立體幾何的學習方式過于單一，教師不能根據立體幾何的特點選擇有效的教學手段，黑板和口授是最為主要的學習方式，這樣的學習方式是不能滿足我們高中生對于立體幾何空間想象的要求，也不能對于教師所描述的物體進行想象和理解，學習效果不明顯。久而久之，我們對于高中立體幾何的問題感到極為頭疼，學習興趣也是逐漸的喪失。學習手段單一是直接影響學習效果的原因之一，我們無法克服對于空間想象的困難，相關的知識點和概念理解不透徹，導致上課聽課效果差。

2.空間想象能力不足

與真實的圖形結構相比較，立體幾何對于我們的空間想象力的要求比較高，而整體來看，我們的空間想象能力較差，還是不能真正的理解立體幾何與真實圖形之間的差異，想要將立體幾何圖形轉化為語言更是比較困難。比如，在立體幾何中，一些看似不平行的線段，在實際的圖形中是平行的，我們對此理解困難，導致很難解決好立體幾何問題。還有在立體幾何題目中，經常需要去證明一些線段之間是相互垂直的，但是在所給圖形中看起來是不垂直的，這樣讓我們去證明就會產生困惑，這些問題都是因為我們對于立體幾何的空間想象能力不足，不能充分的理解問題，從而導致學習困難。

3.立體幾何概念的理解能力較差

在立體幾何中，一些概念是十分重要的，是為以后深入學習立體幾何的保障，然而因為我們高中生的空間想象能力不足，理解概念的能力較差，很多時候都是采用死記硬背的方式，無法對于立體幾何的概念徹底理解，導致在解題的過程中碰到種種問題，只能生搬硬套相關的公式，最后往往是無法得到正確的結果。因此，提高我們的立體幾何概念理解能力和空間想象能力是解決問題，提高立體幾何能力的根本。

三、立體幾何解題常用方法分析

1.數形結合法

數形結合法是我們在解決問題中常用的方法之一，將數學問題和幾何圖像相互轉化，將一些抽象的數學語音通過直觀的圖像來表達，這樣能更加容易理解，化抽象為具體，將一些復雜的立體幾何問題簡單化。數形結合法的基本思路是根據題目中數的結構特征，構造相應的立體幾何，在利用圖形之間的特點和規律來解決問題，或者是將一些復雜的圖像利用代數的形式表達出來，更加容易的解決問題。

具體案例，如圖1所示：在一個3m×4m×5m的房間中，一只螞蟻想要從長方體的頂點A爬行到頂點C?，計算螞蟻爬行的最短距離。

面對此類問題，我們首先應該想到的是這個問題是一個最短距離的問題，因此，將空間立體幾何轉化為平面時是解決問題的最簡單有效的方式，數形結合法在此過程中就能得到充分的利用。

2.向量法

在新課標立體幾何解題教學中，向量法也是我們解決立體幾何問題的重要方法之一。利用三視圖和斜二測圖，經過數學語言的表達，最后使用向量法進行處理，可以大大降低立體幾何的難度。在運用向量法解決問題的過程中，主要是對向量的位置關系和數量關系的應用。

在具體的向量問題中，向量之間的夾角和相關向量之間的垂直、平行關系都可以轉化為向量之間坐標的運算，尤其是在求解異面直線間距離問題時，利用法向量，通過向量之間的計算來求解答案。向量法在立體幾何的解題中有著重要的地位，很多無法直接求解的問題都可以利用向量法來解決，在一些選擇填空中利用向量法不僅可以節省時間，同時還能大大提高答案的正確率。

3.割補法

通過對幾何圖形的分割或補充來簡化問題的方式就是割補法，這種解題方法蘊含著一種構造的數學思想，也是對立統一辯證思想的具體表現。割補法中的補形法是將原來的幾何圖像補充為一個新的幾何體，便于觀察和解題。而分割法則是將原來的幾何體分割為多個我們所熟悉的幾何體，這樣能夠更加便于問題的解決。在高中立體幾何中，利用割補法來進行解決實際問題，對于我們的立體思維的培養和拓展有著一定的意義。

具體案例：如圖2所示，一個被平面所截的圓柱體，在被截之后，側面最長母線為5，最短母線為2，底面半徑為3，求該幾何體的體積。

對于這樣的問題，我們可以運用割補法將兩個相同的幾何體想拼接，作為一個完整的圓柱體，這樣就能利用圓柱體的體積公式來簡單的解決問題。將問題簡單化就是利用割補法的意義所在。

四、立體幾何解題的建議

1.利用多媒體教學，提高學習效率

我們高中生的空間想象能力和邏輯分析能力還是有一定的缺陷，因此在觀察事物或解題的過程中會喜歡比較直觀的方法。往往立體幾何中復雜的邏輯分析和抽象的圖像會讓我們望而祛步，枯燥而無趣的學習過程也會使我們學習興趣不高。因此，利用多媒體教學能夠充分的解決抽象和邏輯分析復雜的問題，在多媒體教學中，通過動畫演示能夠將立體幾何的演變生動、直觀的展示在我們的面前。在多媒體設備上，立體幾何與實物相結合，對幾何體的特征進行分析，總結其特點，這樣視聽結合的方式能夠大大提高我們的學習效率。在立體幾何概念、定理和公式方面，應該利用多媒體資源和信息，將難以理解的概念和定理、公式等進行演示，幫助我們來充分理解，從而提高立體幾何解題效率。

2.立體作圖，培養學生的空間思維

我們在初中所學的平面知識對學習立體幾何有著一定的阻礙，思維還停留在平面思維中，沒有空間想象的思維，在遇到空間幾何圖形時首先想到的就是平面圖形，因此，在平時的做題和訓練中，就應該培養我們進行立體作圖，對其空間思維進行培養，讓我們逐漸的適應空間中的異面直線和圖形旋轉等問題。首先，教師應該帶領我們進行一些簡單立體圖像的學習，在紙上將自己所看到的立體圖形畫出來，這樣由簡單到復雜，逐漸的培養空間立體思維。其次，教師應該逐漸的培養我們的識圖能力，在實際題目中，根據所提示的信息，將需要的圖形畫出來，以便于解題。

3.加強我們的理解與應用能力

對于立體幾何的概念、定理和公式的充分理解是進行熟練應用的基礎，教師需要帶領我們弄清楚各個概念、定理和公式之間的關系，將所學的知識形成一個系統的知識網絡，在實際做題的過程中，我們可以利用形成的知識網絡進行熟練運用。在解題過程中，有意識的培養我們的分析問題和解決問題的能力，靈活的運用公式，同時在做題的過程中對概念、定理和公式作進一步的加深理解。

五、結束語

對于高中立體幾何的解題個人認為是高中數學學習中的重點和難點，在現代化信息技術如此發達的今天，教師應該充分的利用多媒體設備來幫助提高立體幾何的學習效率，培養我們高中生對于立體幾何的學習興趣，讓我們進行主動的學習，幫助我們靈活運用知識點，培養空間想象能力和邏輯思維能力。

參考文獻：

[1]底軍艷.新課標下立體幾何教學的分析與探討[J].中國科教創新導刊，2014（06）.

[2]王曉峰.高中立體幾何解題教學研究[D].內蒙古師范大學，2013.

（作者單位：成都外國語學校）