數列通項公式求法探究

李佳怡

摘 要：數列問題一直是高中數學學習的一個重難點，而數列的概念與思想方法是函數的基礎。同時，數列在很多其他領域也有著廣泛的應用。本文通過作者自身的經驗與查詢資料對數列問題中通項公式的求法進行了初步的歸納總結，為數學學習提供更加簡單合理的參考與幫助。

關鍵詞：數學；數列；通項公式；求解

高中數學的學習過程中，數列題目常常有著比較新穎的變化，有時候海域函數相結合成為一道令人“頭疼”的復雜題目。但是，經過仔細的思考和細心的總結，數列問題的解法其實是有跡可循的。對于數列通項公式的求解，可以初步總結為下述的六個方法，并且應用這六種方法基本可以解決現階段遇到的數列通項公式的求解問題。

一、歸納猜想法

歸納猜想的方法貌似簡單，但卻是一個非常重要的方法，是我們遇到一個數列問題時首先要考慮的方法。這種方法依賴于題目數列方便計算以及我們個人敏銳觀察力和大膽的想象力。

如數列1，3，5，7，9···可以非常快速的看出其通項公式為an=2n-1。另一個數列如：1，3，7，15···可以通過觀察其規律進行猜想知an=2n-1。

二、整體換元法

整體換元的方法主要是用一個設定的字母帶換掉原式中一個整體，即形式相同的一部分。

如求（n+1）an+1=nan+3的通項公式。

本題初看之下似乎毫無頭緒，但是如果做一定的換元：設bn=nan ，則上式可變為bn+1=bn+3，上述問題就變得十分簡單，此時只需求出bn即可得到數列通項公式an。

三、三角代換法

類似于整體換元法，三角代換的方法是通過發現原式中某些形式與三角公式相吻合，進而將所求轉化為三角公式的求解。通常這類問題本身就是由三角公式演化而來的。

初看此題可能無從下手，但是如果我們注意到三角函數的一個常見的性質，即cosθ=1-2sin2，所以有sin=。這時我們就能夠發現a1=sinθ，a2=sin，a3=sin，…，其中θ=，則很容易就可得到原式中an=sin。

四、兩式相減法

兩式相減的方法是數列通項公式求解過程中非常好用但往往不容易想到的方法。兩式相減，就是將題目給出的關系式分別寫為關于n的式①和關于n+1的式②，然后將這兩個式子相減，得到的新式子可以很直觀的反映出一定的數量關系，從而使得原題的求解簡化。

例：求數列a1+a2+…+an=n2的通項公式an。

①-②得an+1=2n+1，所以an=2n-1即得。

當然這是一個非常簡單的例子，但我們仍能看到兩式相減方法的應用，可以將相同項特別是常數項減掉，然后進行因式分解，將原式簡化整理。特別的，若原式存在平方項，此時還可以活用平方差公式。

五、遞推關系法

可以通過一個上述的簡單例子看到，若an+1=2an+1，對其做一定的變形可得an+1+1=2（an+1），然后設bn=an+1，原式直接變為bn+1=2bn。只要通過一定形式的變化，可以很容易的將原式中的關系變為簡單的遞推關系，使得求解變得極為簡單直接。

六、特征方程法

特征方程法是數列求解中一個比較特殊的方法，這類問題針對的是某些擁有現成結論的特殊問題。通過特征方程和特征根，對有些特定的問題我們可以直接給出答案。

特征方程可以分為兩類，

（1）形如an+2=aan+1+ban形式的遞推數列；

（2）形如an+1=形式的遞推數列。

（1）對于an+2=aan+1+ban，它的特征方程為x2=ax+b；

特征方程的方法可總結為三步：

①根據特征方程求出特征根；

②若所求為不等根，則分別用an+1相減；若是等根，則用an+1相減再取倒數；

③化簡整理，此時可形成等比或等差數列在進行計算。

七、總結

通過上述的歸納，我們可以看到數列通項公式的幾種求法。通過總結歸納，可以更好的掌握解決問題的方法，獲得對知識更好的理解。這不僅是我們解題中的良好習慣，也應當成為未來學習和研究的重要手段。