反證法在高中數學解題中的妙用

戴威倫

【摘要】 反證法是數學中應用較為常見的方法之一. 在高中數學解題中，有一些題目用正面直接方法求解往往難度極大，且費時費力，運用反證法求解此類問題不僅能提高解題效率，還可以開發思維能力，從而提高綜合數學的能力. 本文從反證法的基本概述出發，闡明了反證法的理論基礎和反證法解題的一般步驟，分析了反證法的應用范圍，并針對具體的求解實例進行了反證法巧解的具體案例分析.

【關鍵詞】 反證法；高中數學解題；適用范圍；求解實例

我們都知道，反證法是數學中應用較為常見的方法之一，尤其是在高中數學中應用更是廣泛. 數學的求解問題中，有些題目，用正面方法進行直接求解通常難度較大且費時，讓我們證明或者是求解時感到比較困難，在有限的考試時間內很不劃算. 而采用反證法則很容易解決. 然而，高中教材中缺乏針對反證法原理的相關介紹和總結，現將做題中經常遇到的反證法進行歸納和闡述.

一、反證法基本概述

反證法又稱背理法，是求解數學問題的一種常用論證方法.其基本原理為：首先假設原命題的反命題是正確的，并將假設條件作為求解和推理的基礎，再根據已知的公式、定理和定義以及原題中的已知條件進行邏輯推理和運算，以推出假設與邏輯的矛盾，從而肯定原命題的正確性.

通常，在棋類比賽中，有一種“棄子取勢”的下棋策略，意思為：以犧牲某些棋子為代價，從而以獲取優勢. 科學家哈代曾說，背理法是遠遠優勝和高超于任何一種棋術的策略. 即使棋手犧牲幾個棋子可能不會影響比賽結果，而數學家可以犧牲的是整個一盤棋. 反證法和其相似，都是一種為了巧妙取勝的最了不起的策略.

反證法即是要在假設命題的基礎上進行推理認證，推出矛盾，推翻假設，從而證明原命題的正確. 通常有以下幾種較為明顯的矛盾：

（1）自相矛盾；（2）與假設相矛盾；（3）與題中所給條件相矛盾；（4）與定理、公式相矛盾；（5）與事實相矛盾.

二、反證法的理論基礎

反證法是以人的邏輯思維為依據的求解數學問題的方法. 反證法的理論基礎是邏輯思維規律中的兩大規律，即“矛盾律”和“排中律”. 這也間接說明了反證法是科學可信的.

排中律：排中律表示A要么是B，要么不是B，而沒有其他可能性，也不具備其他屬性. 排中律在一定程度上揭示了思維的規律，即通常來講，一個命題要么為真，要么為假，而無其他可能性. 其用符號表示為：P∨ .

矛盾律：矛盾律又稱不矛盾律，是表示同一個目標不能同時得出兩個矛盾的判斷，換句話來講就是，同一個命題不能既得出否定答案又得出肯定答案. 矛盾律在某種程度上揭示了事物活動的規律性定律. 矛盾律用符號表示為：P∧ .

三、反證法解題一般步驟

反證法的一般步驟是如下：

首先，仔細審題，從題目中找出命題的條件和結論；

其次，將原命題進行否定轉換，將題目中原有的條件和結論作為進一步推理的基礎；

再次，從假設出發，運用課本中的定義、定理、公式以及題目中的條件，再加以邏輯推理，證明出與假設相矛盾的結論；

最后，肯定題目原有結論的正確性.

反證法的根本目標題設原有命題的不正確，通過命題的否定轉換，并在否定轉換的基礎上運用公式、定理等條件進行矛盾揭露，使矛盾顯化，從而證明原有結論的正確.

四、反證法的應用范圍

高中數學中反證法應用范圍十分廣泛，但是課本上并未說明哪些題型適用用反證法，哪些題型該用反證法實際上并無特別規律可循，原則上來講，因題而異，反證法的目標是簡便解題步驟，縮短解題時間，實現巧解、便解的目的. 當所給題目下面求解困難，或者正面求解步驟較多時，就當考慮使用反證法來求解. 本文列舉應用反證法求解的幾個常見安全來具體說明反證法的應用.

（一）否定性命題的證明

如題目結論出現“沒有...”、“不是...”、“不能”等字樣的時候，通常正面直接證明不易入手，可以使用反證法來證明.

例：證明：同一個三角形中不能同時出現兩個鈍角.

已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三個內角

求證：三個內角中不能同時存在兩個鈍角.

證明：假設∠A，∠B，∠C三個內角中有兩個內角為鈍角，不妨假設∠B > 90°，∠C > 90°，則∠B + ∠C > 180°，顯然與三角形的內角等于180°相矛盾，因而，假設不成立，也即∠A，∠B，∠C中不可能同時存在有兩個鈍角存在.

（二）唯一性命題的證明

通常在幾何圖形中要證明符合條件的圖形有且只有一個時，即要求證明幾何圖形的“唯一性”，此類命題使用反證法證明更簡單.

例：證明：一個圓只有一個圓心.

分析：此命題為唯一性命題，可用反證法證明.

證明：假設此圓有兩個圓心A和B，在圓內任意作一條弦CD，并取CD的中點M，連接OM、AM，則OM、CD、AM、CD，過直線CD上的一點M有OM和AM兩條直線與其垂直，這與經過一點有且只有一條直線與已知直線相垂直的結論相悖，故假設不成立，也即證明了一個圓只有一個圓心的命題是成立的.

（三）必然性命題的證明

必然性的命題通常是結論中帶有“必然”字樣，求解過程中應通過肯定結論，將原命題的肯定轉化為否定的假設，運用一定的定理和定義找出矛盾，推翻假設，從而證明命題的必然性.

例：已知：a、b、c同為正整數，a為質數，且滿足a2 + b2 = c2.

求證：b、c兩數必然一奇一偶.

分析：可假設兩數同為奇數或者同為偶數，看是否滿足等式，如若不滿足等式即可推翻假設，證明原命題的正確性.

證明：假設b、c兩數同為奇或者同為偶數，由a2 + b2 = c2可知，（c + b）（c - b） = a2，由于b、c兩數同為奇或者同為偶數，兩者的加減運算也同為奇或同為偶，那么a2一定為偶數，且a也為偶數. 但是題目中已知a2為質數，與題設相矛盾，故假設不成立，原命題正確.

此外，還可給已知變量設定值. 假設a = 2，則（c + b）（c - d） = 4，因此有c + b = 4，c - b = 1，即b = ，c = ，或者c + b = 2，c - b = 2，即b = 0，c = 2，這與原命題中a、b同為正整數相矛盾，故b、c兩數為一奇數、一偶數.

（四）無限性命題的證明

例：證明 為無理數.

分析：由于題目所提供的信息較少，如若從正面直接求解較為困難，解題思路可以從假設 是有理數開始，這也使得題目的信息量加大了，可以考慮將 表示成分數.

證明：假設 是有理數，且存在實數a、b，且a、b互為質數，使得 = ，即a2 = 8b2，故a為偶數，記為 a = 2L，故a2=4L2，b2 = 2L2，則b也為偶數，這與假設a、b互為質數相矛盾，故假設不成立，即 非有理數，而是有理數.

（五）不等式命題的證明

證明不等式是高中數學中常見的題型，特別是不等式的求解和計算，在歷屆高考中都會有大題出現. 反證法也是解不等式中常用的方法之一，通常情況下，解不等式的問題可以用到“對比法”、“分析法”和“綜合法”，也有些正面直接求解較為困難的題目，這時就要用到反證法求解，可以簡化求解過程，提高求解效率，使問題得到快速解答.

例：已知：m、n > 0，求證：m3 + n3 > m2n + mn2

證明：假設m3 + n3 < m2n + mn2

證明：由于m、n > 0，由此可以推出m3 + n3 < mn（m + n），由此可知（m + n）（m2 - mn + n2） < mn（m + n），即（m2 - mn + n2） < mn，故m2 + n2 < 2mn. 又因為與m、n > 0，m2 + n2 > 2mn相矛盾，故假設不成立，即證明了 m3 + n3 > m2n + mn2.

不等式問題的求解方法有很多種，形式也不盡相同，反證法與其他諸如分析法和綜合法等其他方法一道，豐富了不等式的求解方法，求解優化了不等式的求解過程，多運用反證法、分析法和綜合法求解不等式問題，可以擴展思路，提升求解能力.

五、反證法巧解的具體案例分析

（一）案例1——公式有改動

若下列方程：①x2 + ax - a + 3 = 0；② x2 + a - 1 + a2 = 0；③ x2 + ax + a = 0，三個方程中至少一個方程有實根，求a的取值范圍.

解析：由題可知，三個方程中至少有一個方程有實根有三種情況：其一，①有實根，②③無實根；其二，②有實根，①③無實根；其三，③有實根，①②無實根；正面直接解答不僅煩瑣復雜效率低，還易出錯，尤其在考試中，正面解答很浪費時間. 而通過反證法則容易得多，我們只需要求得“三個方程都無實根”中a值的取值范圍，并將所得的取值范圍取補集，就是題目中要求的取值范圍.

設三個方程全無實根，則Δ1 = a2 - 4（3 - a） < 0Δ2= a - 12 - a2 < 0Δ3 = a2 - 4a < 0，求得-6 < a < 2，a > 1，0 < a < 4解得1 < a < 2，再求補集，該范圍的補集為a ≥ 2或a ≤ 1.

因此，當a ≥ 2或a ≤ 1時，題目所給的三個方程滿足至少有一個方程有實根.

（二）案例2

如圖所示，已知O是圓錐的底面圓心，SA、SB是圓錐的兩條母線，C點是直線SB上的任意一點，求證：直線AC與平面SOB不垂直.

解析：為證明直線AC與平面SOB不垂直，可由反證法來求解. 先假設AC與平面SOB垂直，再證明假設的不成立，即矛盾性，間接證明AC直線與SOB平面不垂直.

解：假設AC⊥SOB面，由于SO⊥底面ABO，且SO在平面SOB內，故SOB面⊥底面ABO，因而AC∥底面ABO，顯然，AC與底面ABO相交不垂直，因而假設不成立，直線AC與平面SOB不垂直.

（三）案例3

已知x，y∈[0，1]，證明：對于m，n∈R，存在滿足條件的x，y，使得|xy - m - yn| ≥ 成立.

分析 此類問題主要是探討存在性問題，可使用反證法求解.

證明：假設x，y∈[0，1]對于任意的x，y都成立時滿足|xy - m - yn| ≤ . 令x = 1，y = 0，則由此可以得到，|m| < ；再令x = m，y = 1，可得出|y| < 成立；然后令x = 1，y = 1，則能夠得出|1 - m - n| < 成立. 但是由于|1 - m - n| ≥ 1 - |m| - |n| > 1 - - = ，產生了矛盾，因此，假設不成立，原命題是正確的.

（四）案例4

求證：兩條相交直線有且只有一個交點.

證明：假設兩條相交直線交點多于一個，則至少有兩個交點，這樣過兩點就可以做兩條直線，這與公理：過兩點有且只有一條直線相矛盾，因而假設錯誤，從而證明了原命題兩條直線相交有且只有一個交點的正確性.

六、結 論

反證法在高中數學的求解過程中扮演著重要的角色，在否定性命題、唯一性命題、必然性命題、無限性命題以及不等式命題的證明等方面的作用不可替代，也是作為高中生應當熟練掌握的數學求解方法. 反證法以其獨特的求解思維和求解方法對提升我們中學生的創造性思維以及邏輯思維有著十分重要的意義. 反證法不僅可以單獨求解問題，可結合其他的方法求解，甚至可以求解同一問題過程中多次使用. 我們應在平時的解題中有意識、正確運用反證法求解數學問題，做到條理清晰、思維嚴謹、論證充分、掌握熟練，從而提高解決數學問題的能力.