數學空間

王湛文

【摘要】 我們從兒時的幼兒園到青少年的中學時代，無論是語數外還是數理化，隨著學科的不斷增加和交叉學習，越發感覺每門學科都不是相互孤立的，而是彼此關聯相輔相成的. 數學作為一門基礎性學科，所起作用自然是不言而喻. 本人在日常學習中總結發現了數學的重要基礎性作用，各位學友看過本文的論述也許會有同感，而當你發現了這個小秘密，再多加發揮運用好數學的作用，也許你在學習物理和化學等學科中會起到事半功倍的效果.

【關鍵詞】 數學；實用性；直觀性；基礎性

從牙牙學語的“天上星星數不清”，到“天空飛機穿梭飛行”；從一次函數、二次函數的X、Y到數列、概率、最大值、最小值變幻莫測；從長方體、圓柱、圓錐到形態各異的建筑、汽車、服裝；從一天三餐到物理力學、電磁學、核裂變，化學反應式配平、物質的量的配比；從裝修師傅的橢圓、六邊形圖案到商場推出的打折銷售，銀行進行的存貸款利率……數學就像自己的影子，無處無時不在. 數學是一門基礎學科，不僅包括（自然）科學，也包括政治學、歷史學、經濟學、語言學、軍事學等人文、社會科學，以及音樂、繪畫、雕塑等藝術科學，還涉及技術、經濟建設乃至社會的許多領域. 任一自然科學學科的發展中都離不開數學，數學的基礎作用，無不在學科的深入研究中顯示出來. 特別是當今時代，科學技術迅猛發展，科學數學化的趨勢越來越明顯，現代科學正朝著廣泛應用數學的方向發展.

數學是自然科學之母，是我們生活、勞動和學習中必不可少的工具. 就如開門要用的鑰匙，寫字要用的筆，吃飯要用的碗筷一樣重要. 也是將來學習和一切發展的基礎.

一、數學的實用性

木工師傅畫橢圓的方法：一個動點到兩個定點的距離之和保持不變，動點畫出來的圖形，就是橢圓. 要是我們改變釘A、B之間的距離，可以畫出各種各樣的橢圓來，如下圖1.

橢圓各部分都有名字，兩個定點F1、F2叫作焦點；過焦點F1、F2的直線與橢圓交于A、B兩點，AB叫作橢圓的長軸；AB的中垂線與橢圓交于C、D，CD叫作橢圓的短軸. 橢圓的焦點總是在長軸上.

木工師傅可能沒有想到他能畫出人造地球衛星的軌道形狀，因為人造地球衛星的軌道除個別是圓外，絕大多數是橢圓，地球的中心，也就是地心，位于橢圓的一個焦點上.

二、數學的直觀性

從圖2可以看到一度用車的價格基本與時長路程呈現線性關系，單次出行時長在45分鐘以內，與出租車對比優勢并不突出. 但考慮到出租車會出現拒載或者難等情況，分時租賃的靈活方便、隨叫隨有的優勢便體現出來. 當單次出行時間達到50分鐘以上時，這種模式的價格優勢便體現出來，時間越長這種優勢越明顯，而出租車的其他費用考慮進來后差異更大. 同樣在一份資料的研究里也表明，EVCARD能夠憑借顯著的價格差異優勢將能夠覆蓋50%的上海市新能源汽車實際消費者的出行需求.

三、數學的基礎性

（一）數學在化學中的運用

我們運用已掌握的數學工具， 可以通過分析化學變量之間相互關系， 建立一定的數學關系或構造數學模型， 最終達到解題的目的.

1. 利用等比數列解題

例1 在一定條件下，將等體積的NO和O2的混合氣體置于試管中，并將試管倒立于水槽中，充分反應后，剩余氣體的體積為原氣體總體積的 （ ）.

A. B. C. D.

解析 設NO和O2的物質的量均為n，則2NO + O2 = 2NO2；3NO2 + H2O=2HNO3+NO，由以上反應可知：n mol NO與 mol O2反應生成n mol NO2，溶于水后得 mol NO， mol NO與 mol O2反應生成 mol NO2，溶于水后得 mol NO……不斷循環反應下去，總耗氧量為下列等比數列各項之和： ， ， ，…據等比數列的求和公式，得總耗氧量為 = ，剩余O2為n - = ，故剩余O2的體積為原氣體總體積的 . 答案：C.

2. 利用二元一次方程組解題

有關混合物計算是高中化學中常見的類型，其解題過程大體可分為兩個階段，第一階段利用化學知識找出題目中各物質間量的關系，第二階段利用關系列出方程計算得出結果. 值得指出的是化學計算中十字交叉法、差量法均是二元一次方程組獨特的運算方法.

例2 將一小塊部分氧化成淡黃色的鈉投入水中，充分反應后收集到標準狀況下的氣體1.232 L，將反應后的溶液稀釋至1.2 L，測得溶液中OH-的濃度為0.1 mol/L，求被氧化的鈉中鈉的質量分數.

解析和答案 鈉表面的淡黃色物質為Na2O2，設混合物中鈉的物質的量為x，Na2O2的物質的量為y.

答：被氧化的鈉中鈉的質量分數為74.7%.

3.2 數學在物理中的應用

眾所周知，當代物理學的基本規律——牛頓力學的運動規律，牛頓萬有引力定律，電磁場原理，熱力學第一、第二定律，統計力學原理，狹義相對論原理，廣義相對論原理，量子力學定律，電子的相對論波動原理，規范場論等的表述，如果沒有數學語言，是不可想象的. 物理學的發展離不開數學，數學是物理學發展的根基，數學是研究物理學的有力工具，運用數學知識解決物理問題的有效途徑，就是把數學知識、數學思維方法遷移到學習物理上來. 不論是物理實驗的測量和計算，物理概念和規律的表達，還是習題求解等，都離不開數學的應用. 并且很多物理問題的解決是數學方法和物理思想巧妙結合的產物. 打好數學基礎要從高中做起 ，培養我們的數學思想，創新能力.

下面以例說明一下數學思想在物理中的應用：

如右圖3所示，一根一端封閉的玻璃管，長為l = 96厘米，內有一段長為h = 20厘米的水銀柱，當溫度為27 ℃時，開口端豎直向上，被封閉氣體長度為H = 60厘米，問溫度至少升至多高時，水銀才能從管中全部溢出（大氣壓p0 = 76厘米汞柱）？

解：首先使溫度升高為T.已知水銀柱上升16厘米，水銀與管口平齊，此過程是線性變化. 溫度繼續升高，水銀溢出，此過程不再是線性關系. 設溫度為T時，剩余水銀柱長h2，對任意位置的平衡態列方程：

h的變化范圍0～20，可以看出溫度T是h2的二次函數，此問題轉化為在定義域內求T的取值范圍，若Tmin < T < Tmax，只有當溫度T大于等于Tmax 才能使水銀柱全部溢出，經計算所求值Tmax = 385.2.

只有通過二次函數極值法，才能從根上把本題解決. 加強數學思想的滲透是解決該物理題體現，另外：“探索彈簧振子周期與那些因素有關”，“探索彈簧彈力與伸長的關系”，都離不開數學思想.

3.3 數學在天文學中的應用

中國古代的天文學研究成就十分輝煌，著名科學史學者李約瑟指出：“中國人在阿拉伯以前，是全世界最堅毅、最準確的天文觀測者. 有很長一段時間（約在公元前5世紀到公元10世紀），幾乎所有中國的記事可供利用. 現代天文學在許多場合（例如對彗星，特別是對哈雷彗星重復出現的記載）都曾求助于中國的天象記事，并得到了良好的結果”. 西方天文學理論構造的地心說，帶有與中國古代天文學理論構造相同的主觀性、猜測性，但是由于數學思維及其方法在其中的運用，西方的天文學理論從地心說、日心說到開普勒行星運行規律，最后到牛頓的萬有引力理論模式，形成一個清晰的數學思維、數學方法的發展軌跡.

作為世界上發展最早、歷史最長的天文學之一的中國古代天文學，它所研究的歷法編算和天象觀測與數學就有著密切的聯系. 實際上，當時的數學家也就是天文學家，許多數學成果都是在編算歷法的過程中得到的，如分數運算、勾股測量術、剩余定理、內插法、高次方程等. 不僅如此，科學的理論問題也是數學研究的問題來源，一個著名的例子就是愛因斯坦相對論的理論問題促成了黎曼幾何的產生.

四、結束語

數學是一種工具，它邏輯性強，能訓練我們的思維能力；它注重方式方法，能讓你的思維更敏銳；還能幫助你解決一些實際問題. 數學是一門基礎學科，除了語言學科以外，其他學科基本上都會運用到數學. 可以解決生活中的許多實際問題. 比如計算機的二進制，比如圓錐曲線的應用，實際上反光鏡、冷卻塔的原理都少不了它！掌握數字規律，訓練邏輯思維，能訓練人們的思維能力，開發腦力，更理性的去認識這個世界. 數學是一種工具，它邏輯性強，能訓練人們的思維能力；它注重方式方法，能讓你的思維更敏銳；再者就是能幫助你解決一些實際問題. 掌握數字規律，訓練邏輯思維， 數學的作用就是完全有可能推動人類進步的問題，讓我們站在前人的肩膀上，好好學習已有的數學知識，并不斷地發展，開辟未知的世界.

【參考文獻】

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