猜想—轉(zhuǎn)化—驗(yàn)證培養(yǎng)模型思想

“平行四邊形的面積”是西師版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)的內(nèi)容，是學(xué)生學(xué)習(xí)了面積和面積單位概念，掌握長(zhǎng)方形和正方形面積的計(jì)算，認(rèn)識(shí)了平行四邊形基本特征基礎(chǔ)上進(jìn)行的學(xué)習(xí)。在本單元，學(xué)生先依據(jù)“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法探究平行四邊形的面積計(jì)算公式模型，并利用該模型解決生活中的現(xiàn)實(shí)問題，再根據(jù)這種建模思想及方法學(xué)習(xí)后面的三角形、梯形的面積。

在教學(xué)過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、操作、討論、分析、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，體會(huì)“等積變形”、“轉(zhuǎn)化”等數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力，培養(yǎng)模型思想。于是我在讓學(xué)生探索新知時(shí)做了如下嘗試。

生：老師，平行四邊形有沒有面積計(jì)算公式呢？

師：這個(gè)問題問得很好！那么平行四邊形的面積公式是什么呢？下面請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)觀察這兩個(gè)圖形（方格圖中的等底等高的長(zhǎng)方形和平行四邊形），除了面積相等外，它們之間還有什么關(guān)系呢？

生1：平行四邊形的底和長(zhǎng)方形的長(zhǎng)都是4厘米，平行四邊形的高和長(zhǎng)方形的寬都是2厘米，長(zhǎng)方形的面積和平行四邊形的面積都是8平方厘米。

生2：平行四邊形的底與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相等，高與長(zhǎng)方形的寬相等，它們的面積也是相等的。

師：大家同意嗎？

生（齊）：同意！

師：那么誰能根據(jù)這些信息大膽地猜想一下，平行四邊形面積的計(jì)算方法？

生1（猜想1）：長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬，也就是相鄰兩邊的乘積，所以我認(rèn)為平行四邊形的面積公式也應(yīng)該是相鄰兩邊的乘積。

（板書：平行四邊形的面積=相鄰兩邊的乘積）

師：這個(gè)猜想對(duì)不對(duì)呢？我們一起來驗(yàn)證。

（教師用一個(gè)活動(dòng)的平行四邊形演示驗(yàn)證。）

師：看來，這個(gè)猜想不正確（在公式的等號(hào)上畫上斜杠）。那誰還有不同的猜想呢？

生2（猜想2）：我認(rèn)為平行四邊形的面積等于底乘高。

師：能說說你的理由？

生2：因?yàn)殚L(zhǎng)方形也屬于平行四邊形，它的長(zhǎng)就是平行四邊形的底，寬就是平行四邊形的高，因此我認(rèn)為平行四邊形的面積等于底乘高。

師：我理解你的意思了，長(zhǎng)方形是一種特殊的平行四邊形，由此你根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式得出平行四邊形的面積公式，這是由特殊情況推出一般情況，想法很不錯(cuò)。

生3：我也認(rèn)為平行四邊形的面積等于底乘高。

師：談?wù)勀愕目捶ā?/p>

生3：剛才對(duì)比時(shí)我發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬和平行四邊形的底、高相等時(shí)，它們的面積也相等。而長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬，所以我想平行四邊形的面積等于底乘高。

（板書：平行四邊形的面積=底×高）

師：看來同學(xué)們比較同意這個(gè)猜想，但這個(gè)猜想到底對(duì)不對(duì)呢（等號(hào)上方畫上問號(hào)）？猜想終歸是猜想，這需要我們用科學(xué)的方法加以證明。下面請(qǐng)同學(xué)們借助手中的長(zhǎng)方形卡片、平行四邊形卡片（兩張卡片底、高相同）、剪刀等學(xué)具分小組想辦法驗(yàn)證這個(gè)猜想。（小組合作，教師提出相關(guān)要求。）

師：誰愿意把你們小組的驗(yàn)證方法說給大家聽聽？

生1：我們是把平行四邊形變成長(zhǎng)方形來驗(yàn)證的。

師：為什么這樣想？

生1：因?yàn)槲覀儎偛虐l(fā)現(xiàn)當(dāng)平行四邊形的底和長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相等，高和寬相等時(shí)，這兩個(gè)圖形的面積相等。

師：接著說。

生1：我們先從平行四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)畫一條高，再沿高剪出一個(gè)直角三角形和一個(gè)直角梯形，通過移動(dòng)拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。

師：哦，我明白你們的想法了，你們利用了轉(zhuǎn)化的方法，也就是（師課件演示學(xué)生的方法）沿著平行四邊形的一條高剪開，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方形。那誰能說說，平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形后，什么變了？什么沒變？

生（齊）：形狀變了，面積沒變。

師：非常正確！轉(zhuǎn)化后，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬分別與平行四邊形的底、高有什么關(guān)系？

生1：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與平行四邊形的底相等，寬與原來平行四邊形的高相等，因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，所以平行四邊形的面積=底×高。

師：有不同意見嗎？

生2：我們的方法和第二組同學(xué)的差不多。我們是這樣驗(yàn)證的：我們也是畫出平行四邊形的一條高，沿這條高把它剪成兩個(gè)直角梯形，把一個(gè)直角梯形移到另一邊，正好拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。

師：老師聽明白了，你們是這樣做的……（多媒體演示學(xué)生的操作方法）。

生3：我們小組是把長(zhǎng)方形與平行四邊形重疊起來比，發(fā)現(xiàn)平行四邊形一邊多了一個(gè)小三角形，另一邊又少了一個(gè)三角形。

師：把你們的做法給大家看一看。（生一邊演示一邊說明方法。）

師：你們的方法和第二組有很多相似之處，這兩個(gè)小三角形你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生3：我們發(fā)現(xiàn)2個(gè)三角形一樣大，并且是直角三角形。

師：這兩個(gè)三角形一樣大，你們就把其中的一個(gè)三角形補(bǔ)在另一個(gè)三角形旁邊。

（用多媒體演示重疊、剪拼過程。）

師：你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生（齊）：拼成了一個(gè)長(zhǎng)方形。

師：大家聽明白了嗎？

生（齊）：聽明白了。

師：剛才幾個(gè)小組的思路盡管有所不同，但割補(bǔ)轉(zhuǎn)化的方法都對(duì)。實(shí)際上都是把平行四邊形沿一條高剪開，將平行四邊形轉(zhuǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方形來進(jìn)行驗(yàn)證，這樣我們就驗(yàn)證了猜想，平行四邊形的面積=底×高（擦去等號(hào)上的“？”）

【教學(xué)反思】

“模型思想”是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出的十大核心概念之一，也是小學(xué)數(shù)學(xué)三大基本思想之一，這充分說明了模型思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位，同時(shí)也給數(shù)學(xué)教學(xué)提出了新的要求與挑戰(zhàn)。本節(jié)課我充分利用教材上的素材來探索平行四邊形面積計(jì)算公式，在學(xué)習(xí)過程中，以長(zhǎng)方形面積計(jì)算為基礎(chǔ)，以圖形內(nèi)在聯(lián)系為線索，利用“重疊”、“轉(zhuǎn)化”等方法，通過看一看、想一想、做一做、說一說，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)、推理、驗(yàn)證等感知活動(dòng)，在實(shí)踐中推導(dǎo)出平行四邊形面積計(jì)算的公式，培養(yǎng)學(xué)生的模型思想及建模、用模能力。

在以舊引新的過程中，學(xué)生的好奇心和積極性得到了充分的調(diào)動(dòng)。我及時(shí)引導(dǎo)，一是讓學(xué)生明白長(zhǎng)方形與平行四邊形之間的異同；二是通過讓學(xué)生用數(shù)方格的方法感知平行四邊形的底、高、面積與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬、面積之間的關(guān)系。由此把學(xué)生引上轉(zhuǎn)化的思路上去，從而提出解決問題的猜想。

小組合作，驗(yàn)證猜想。首先小組討論，提出解決方法，再通過動(dòng)手比一比，畫一畫，剪一剪，拼一拼等操作，直觀地驗(yàn)證猜想。與此同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新潛能，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生的主體意識(shí)和合作精神得到加強(qiáng)。

學(xué)生通過實(shí)際操作，利用多種方法直觀形象地證明，平行四邊形剪拼成長(zhǎng)方形后，只是形狀發(fā)生了變化而面積沒有變化，剪拼后平行四邊形的底等于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，高等于長(zhǎng)方形的寬。這樣學(xué)生自己就明白了平行四邊形的面積等于“底乘高”的道理，從而推導(dǎo)出“平行四邊形的面積=底×高”。通過教學(xué)，向?qū)W生滲透了猜想—轉(zhuǎn)化—驗(yàn)證的數(shù)學(xué)思想方法，極大地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生的建模思想和建模能力。

作者簡(jiǎn)介：

肖秀芳，女，1974年出生，重慶璧山人，小學(xué)高級(jí)教師，擅長(zhǎng)“建模教學(xué)”研究，現(xiàn)工作單位：重慶市璧山區(qū)北街小學(xué)校。

注：本文系重慶市教育科學(xué)“十二五”2012年度規(guī)化課題“小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的行動(dòng)研究”研究成果。