談一類數學題型的證題策略

林毅

【摘 要】數學題中，經常出現所謂“不論”類型的題目，即不論字母為何值或不論圖形的位置如何變化，證明某結論成立。

【關鍵詞】函數；方程；特殊值；圖形

在數學教學中，經常出現所謂“不論”類型的題目，這類題目，歷來都是很多學生學習的難點，成為知識的薄弱點。為了解決這一問題，本文將談談證明這類題的解題策略。

一、利用已掌握的知識，直接通過推理證得

這是常用的方法，在牽涉到二次方程、二次函數的一些題型中，經常利用判別式直接證明。

例1：證明：不論m為何實數，二次方程x2-（m2+6）x+2m2+8=0一定有兩個不相等的正數根。

證明：△=[-（m2+6）]2-4（2m2+8） =（m2+2）>0

∴方程有兩個不相等的實數根。

設方程的兩根為α、β ∵α、β=2m2+8>0

∴二根同號，又α+β=m2+6>0

∴二根均為正。

∴方程有兩個不相等的正數根。

二、通過取特殊值開路，由特殊過渡到一般性證明

既然字母不論為何值總有某結論成立，因此當字母取一些特殊值時，結論肯定成立，通過取特殊值時得出結論，再去驗證字母取任何值時的結論也成立。

例2：已知關于x、y的二元一次方程：（a-1）x+（a+2）y+5-2a=0，當a每取一個值時，就得到一個方程。求證：不論a為何實數值，這些方程都是有一個公共解，并求出這個公共解。

證明：當a=0和a=1時，方程分別是：-x+2y+5=0和3y+3=0

解方程組；解得

把此解代入原方程：左邊緣科學﹦3（a-1）-（a+2）+5-2a=0=右邊

∴不論a為何實數值，是原方程的一個公共解。

三、通過特殊位置的圖形所提供的線索，找到證題的途徑和明確證題的方向

對于一些幾何題，由于圖形不論如何變化，總有某結論成立，我們可以選取圖形的特殊位置，在這種情況下，往往結論清楚地顯現出來，證題就有了明確的方向，就便于我們找到證題途徑。

例3：如圖1（1），ABCD、A/B/C/D/是兩個邊長相同的正方形，ABCD的位置固定，A/點固定在正方形ABCD的對角線的交點上。證明：不論正方形A/B/C/D/繞著A/點如何旋轉，兩個正方形重合部分的面積總是定值。

分析：如果正方形A/B/C/D/的位置恰好如圖1（2）所示，即正方形A/B/C/D/的兩條邊和正方形ABCD的兩條對角線重合，顯然，這時兩正方形重合部分的面積等于正方形面積的，這就是我們要確定的定值。對于一般情況，如圖1（1）所示，由于△A/BC的面積等于正方形面積的，所以只要證明△A/EB與△A/FC等積就行了（E、F分別是AB與A/B/，BC與A/D/的交點），這由△A/EB≌△A/FC立即得證。