基于隨機游走模型和GARCH—M模型的股票收益率的實證分析

謝俊瑤

摘 要：利用隨機游走模型建立滬深300指數對數收益率方程存在ARCH效應。通過對收益率序列特征分析，得到滬深300指數的尖峰厚尾特征和異方差性，并且通過對GARCH-M模型分析，發現GARCH-M模型在擬合滬深300指數收益率效果較好，有效消除了ARCH效應。利用GARCH-M模型，對滬深300指數的收益率和波動率進行統計預測，并且對滬深300指數的VAR進行計算。

關鍵詞：股票收益率；隨機游走模型；GARCH-M模型；VAR

1 研究背景

2015年，中國股市的兩次大跌成為近期全球市場上備受關注的事件。兩個周五的黑色暴跌，前次跌停近千股，不過一周的時間，后次又跌停了兩千股，在世界股市歷史上實在罕見。股票市場的波動性和高風險，一直以來都是股市研究的重要課題。本文選取滬深300指數，作為研究股市收益與風險的對象。它是由上海和深圳證券市場中選取300只A股作為樣本編制而成的成分股指數，具有良好的市場代表性，不僅能反映我國證券市場股票價格變動的概貌和運行狀況，而且能夠作為投資業績的評價標準，推動指數化投資和指數衍生產品的創新。

在對中國的股指波動性和風險性研究中，李存行（2008）等利用自回歸條件異方差（ARCH）模型對股指收益率進行預測；黃勇兵（2008）等利用歷史模擬法和蒙特卡羅模擬法對滬深300指數的VAR風險進行測量，比較分析得出蒙特卡羅模擬法比較符合滬深300指數的VAR測量；江濤（2010）通過應用GARCH模型和半參數模型對上證指數的日收益率進行計算，GARCH模型下的VAR方法更有效地揭示市場風險；楊夫立（2012）運用GARCH模型，分析了對數收益率時間序列在正態、學生t和廣義誤差 GED三種分布下的不同VAR計算方法，對樣本基金收益率進行風險評估。

2 理論基礎

2.1 隨機游走模型

在時間序列分析和建立金融模型時，經常用隨機過程來刻畫金融資產的變動。隨機過程的概念是：設E是隨機試驗，Ω={w}是它的樣本空間，T是一個參數集。若對于每一個t∈T，都有隨機變量X（t，ω），ω∈Ω與之對應，則稱依賴于t的隨機變量X（t，ω）為隨機過程。

將收益率看作隨時間變化的隨機變量，記為r（t），其中t為時間指標。在任何時點上（即t=1，2，…n），r（t）為單個隨機變量。隨機變量族{r（t）}定義了一個隨機過程（或隨機函數）。

2.2 GARCH-M模型

為了刻畫金融資產的收益率數據波動性特征，恩格爾提出了自回歸條件異方差模型進行建模，描述股票市場的波動聚集性和持續性。對于ARCH模型，一般有如下形式：均值方程為：rt=μt+ut條件方差為σ=α0+α1u+α2u+αqu但ARCH模型存在滯后長度q的選取以及違反系數非負數的約束等問題。針對金融時序的經驗分布的尖峰厚尾性，Bollerslev創立了廣義自回歸條件異方差模型（GARCH模型）。它有效地彌補了有限樣本下的模型計算效率及精度上的不足。對于GARCH（p，q）模型，均值方程為：rt=μt+ut條件方差：σ=α0+α1u+α2u+αqu+β1σ+β2σ+…+βpσ，p為自回歸GARCH項的階數，q為ARCH項的階數。在實證研究中，GARCH（1，1）模型能模擬許多時序數據，能夠較好地解釋股票收益波動性。

金融理論中的大多數模型都假設投資者應該為承擔額外的風險而獲得更高的收益，處理這一問題的方法之一是設定金融資產的收益可以部分風險由其風險決定。因此，可將金融資產收益率的條件方差引入到GARCH模型中，即GARCH-M模型。GARCH-M模型的其中一種形式為：rt=μt+δσt+ut

2.3 VAR

VAR即風險價值，具體指的是金融資產在面臨“正常”的市場波動時，相信自己的資產組合可能遭受的最大損失。VAR風險價值方法不僅包括了正常市場情況下的全部風險因子信息，而且包括了風險因子造成的最大可能損失。它取決于三個因素：一是概率水平p，二是所持有的期限，三是期望概率密度函數。VAR的計算：將GARCH-M中的條件方差代入VAR計算公式中，得到如下的公式：VARt=Pt-1Zα，其中Pt-1是前一期的資產價格，Zα是置信水平為1-α的相應分布的臨界值；ht是收益率序列的條件方差。

3 實證結果

3.1 滬深300指數日收益率序列的數理分析

滬深300指數，作為反映滬深兩個市場的“晴雨表”，是由滬深證券交易所聯合編制發布，旨在使其作為評價投資業績的標準，為指數化投資和指數衍生產品創新提供基礎條件。通過研究滬深300指數的VAR指標，衡量中國證券市場的投資價值。

樣本區間：2002年1月4號-2015年12月21日。

3.1.1 平穩性檢驗

根據對數收益率ADF單位根檢驗得到臨界值在1%、5%、10%水平下的值分別為-3.432246、-2.862263、-2.567199，而ADF統計值為-31.11309，因此，分別對應在99%、95%、90%水平下拒絕原假設，即滬深300指數收益率時間序列平穩。

3.1.2 收益率序列特征分析

由圖1可以看出，時間序列的偏度為-0.208194，峰度為6.446693，而在正態分布下，峰度與偏度分別為3和0，顯然該序列不滿足正態分布，存在著左偏和明顯的尖峰重尾特征。JB統計量數值（1578.441）非常大，其相應的p值非常小，從而認定該序列不服從正態分布。

3.1.3 隨機游走模型

3.1.3.1 隨機游走模型的建立

從所估計的方程來看，t的估計值為0.023085>0，滿足模型要求，說明金融資產收益率應該與風險成正比，對于風險較高的資產，投資者要求較高的收益就必須對風險進行補償，同時也表明市場預期風險每增加1%時，會導致預期收益率相應增加0.023085%。

3.1.4.2 GARCH-M模型分析

從模型殘差的ARCH LM檢驗結果可以看出，檢驗統計量Obs*R-squared=3.356355，其概率值P為0.9485，因此不能拒絕“殘差不存在ARCH效應”的原假設，即可認為殘差序列不存在條件異方差。

根據收益率序列R的預測值，其動態預測結果具有平直的結構，這是因為rt=0.023085t的t值非常小，各期的預測值都在零值周圍。紅色虛線表示在收益率R的置信水平95%下，隨著預測期的增加，置信區域平直，趨于穩定。下方圖形為條件方差的預測結果，不難發現條件方差的預測值陡峭增加，最后收斂于0.00312-0.00316之間的某個值，即收斂到無條件方差。

從表1可以看出，2008年滬深300指數的VAR值最大，而2005年末2006年年初的VAR值最小。這一結果表明，2008年的滬深300指數風險最大，投資者遭受的損失最大，而2005-2006年，滬深300指數風險最小，投資者遭受的損失最小。產生這一結果的原因是，2007年次貸危機已經產生，2008年金融市場已經開始不穩定，而2008年9月15日，金融危機爆發。2008年9月16日，滬深300指數的VAR為89.09340044，并不是很高，可能存在政策因素、經濟活動的滯后因素等。2005-2006年，中國股市穩定，保持著健康發展的態勢，風險較低。

3.2 小結

通過上面的模型分析，可以得出以下結論：

①滬深300指數的收益率時間序列可以用隨機游走模型刻畫，但存在著明顯的ARCH效應，收益波動幅度較大。滬深300指數的收益率時間序列具有明顯的波動聚集和尖峰厚尾特征，通過模型建立，采用GARCH-M模型能有效消除ARCH效應。

②利用GARCH-M模型對滬深300指數的收益率序列進行預測，預測結果與實際擬合較好。

③運用GARCH-M模型對滬深300指數的VAR進行計算，發現2008年的VAR值普遍較大，2005-2006年的VAR值普遍較小，與經濟形勢相符。

參考文獻：

[1]李存行，張敏，陳偉.自回歸條件異方差模型在我國滬市的應用研究[J].數學的實踐與認識，2008，38（8）：1-6.

[2]江濤.基于GARCH與半參數法VAR模型的證券市場風險的度量和分析：來自中國上海股票市場的經驗證據[J].金融研究，2010，6.

[3]楊夫立.基于GARCH模型的證券投資基金VAR計算與實證研究[J].經濟問題，2012，6.

[4]高可佑，王瀟怡，黃勇兵.滬深300指數的VaR風險測量——基于歷史模擬法和蒙特卡羅模擬法[J].市場周刊·理論研究，2008，3.