大學理工專業數學課程教學模式的探索、實踐與反思

李敬娜

摘要：本人根據現代認知論的觀點再結合數學學科的特點，分析了數學學習的主體應該是學生主動參與思維活動的過程，并結合理工專業學生的興趣特點和專業知識，指出必須構建以學生為中心，以促進學生的素質發展為目的，并融合多種興趣激發方式，以師生的互動活動為主要形式的全新教學模式。

關鍵詞：數學課程；理工專業；教學模式

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）18-0140-03

一、以現代認知論的觀點分析數學學習活動

現代認知論認為，學習是對環境中的刺激產生反應并依其關系形成的一種新的認知結構的過程，是意義獲得和期望實現的過程。所謂認知結構，就是學習者頭腦里的知識量、清晰度和組織方式，它是從教學實踐中轉化而來的。而數學的認知結構就是學習者所掌握的數學知識按照自己理解的深度、廣度再結合自己的感知、記憶、思維、聯想等認知特征組合而成的具有內部規律的整體結構。學生在學習數學時，都是以原有的認知結構為基礎，將新的知識進行加工和整合，通過新知識和舊知識之間的聯系和相互作用，將新知識納入原有的認知結構，從而擴大認知內容，這一過程被稱為同化。如果原有的認知結構中沒有適當的知識與新知識相聯系，那么就對原有的認知結構進行改組或部分改組，進而形成新的認知結構，這個過程叫作順應。有意義的數學學習就是通過識別、記憶、分析、推斷等認知活動不斷地同化和順應的過程。

一般來說，數學的學習包括知識理論學習和方法技巧學習。我們也可以把這兩方面的學習看成是兩個層次：知識理論學習好比戰略層面的內容，而方法技巧則可以看作是戰術層面的內容。數學技能總是以數學知識和理論為基礎的，但知識的理解并不完全等同于技能的形成，它總是要經歷分析、理解、構建、練習以至熟練的過程。在技能的學習過程中，知識理論起著引導的作用，它能夠幫助學習者朝著正確的方向思考問題。較難的數學問題的解決是個復雜的思維活動過程，它既要運用抽象、歸納、類比、分析、演繹等邏輯思維的形式去進行論證，也要用到直覺頓悟等非邏輯思維形式來探索問題解決的方法，是人的數學素養的綜合體現，也是其思維品質和主體作用的集中表現，是學習者的創造性工作。波利亞曾指出，學習解題的最佳途徑就是自己去發現，去摘“跳起來可以摘到的蘋果”。而這一過程的完成會給學習者帶來心理上的成就感和滿足感，從而對學習者的心理形成正的反饋，這就是我們可以利用“問題驅動”激發學生學習興趣的心理學依據。

由此可見，數學學習過程的主體應該是學生主動參與數學活動的過程。學生的數學學習不應該是被動地接受，而應該是積極主動地參與數學思維活動。事實上，只有經過一定程度的思維活動，學生才能理解抽象的數學理論和掌握重要的數學思想方法，才能理順大量的數學理論之間的聯系和來龍去脈。否則，他們所獲得的知識也僅僅是簡單的堆砌，好像一團混沌或亂麻，難以形成良好的知識脈絡和認知結構。因此，數學教學應該是在教師的主導下，盡可能地激發學生的興趣，并緊緊圍繞學生的主體作用的發揮去進行。

二、大學數學課程教學模式面臨調整

數學課程的教學內容是前人創新的產物，數學知識體系源于抽象和創新，又能促進人們進行新的創新，良好的數學能力有助于創新能力的形成和提高。在理工類專業人才的教育培養中，大學數學課程不僅要為學生打下扎實的數學基礎，更要重視對學生數學素質的培養。正如李大潛院士所說，許多取得突出業績的畢業生都有這樣的體會，在工作中真正需要用到的數學分支學科，具體的數學定理、公式和結論，其實并不多，學校里學過的許多數學知識都似乎派不上多少用場，有的甚至完全淡忘，但所受到的數學訓練，所領會的數學思想和精神，所培養的數學素養，卻時刻都在發揮著重要的作用，成為取得成功的關鍵因素。

縱觀本人的以及高校大部分教師的教學工作，學生的主體性一直未能得到足夠的重視，在現行的教學主流模式中，教師“一言堂、滿堂灌”現象嚴重，包括本人在內的許多教師過于追求知識的系統和完整，為了追趕教學進度和達到標準化教學的要求，講得過多、過細，缺乏啟發和引導，未能給學生們留足獨立思考的時間，久而久之，使學生養成了機械地接受老師傳授而惰于思考的習慣；而教師在重知識、輕思想、重結果、輕過程的傾向下，不能對隱含在數學知識中的數學思想方法進行精辟的提煉和分析，不能充分揭示數學理論魅力，不能充分展示數學對人的思維的鍛煉，致使教學雙方都停留在膚淺的層面上，長此以往，會使一部分學生失去對數學的興趣，轉而把數學看成沉重的負擔，喪失積極從事數學活動的潛在可能。尤其是學生剛剛從中學跨入大學校門的時候，在長期的應試教育的指導下，偏重方法技巧，過度地依賴于教師去歸納和總結，凡事“拿來主義”，思維上存在惰性，缺乏積極的思考探索的思維活動。

三、大學數學課程教學模式變革的思考與實踐

分析造成這些現象的根本原因，一是長期以來的傳統教育思想的慣性作用，二是學科教學計劃的影響：（1）我國的數學教育只注重掌握知識和方法技巧，而很少體察數學知識所反映的思想方法及其對人的整體素質的影響；（2）課時壓縮得過少，致使教學的很多環節多是匆匆忙忙走過場，大大降低了這門課的真正價值。為此，我們應該采用以下幾點措施。

首先突出學生的主體地位。數學的學習必須經過學生積極的數學活動之后，才能達到一定的效果，而學生的個性差異、興趣取向等對活動的過程有直接的影響。在教學中，老師必須以學生為中心構建教學平臺，形成以促進學生素質的全面發展為目的，以師生互動為主要課堂教學形式的全新教學模式，啟發學生思考，組織學生探索，幫助學生學會分析、概括等，培養科學的思維方法和良好的數學素養。例如，在講授數理邏輯運算合?。ā模┪鋈。ā牛r，首先從自然語言出發，抽象概括出運算的意義，并且提問如何記憶它們的真值表。那么，有些學生自然會想到集合運算中的交集（∩）并集（∪），他們不僅形狀有類同處，意義也類同。在講到邏輯運算的規律時，如分配律、結合律、冪等律等等，再次引導學生類比集合運算，讓他們去尋找集合運算的相應規律，并讓他們思考為什么會出現這些相似之處，能否將兩種運算統一到共同的框架下等等。

其次，我們還可以采取多種教學手段來調動學生學習的興趣。比如我們可以通過適當的問題來激發學生的學習熱情和探索的興趣，使他們的學習能力在解決問題的過程得到升華。當然，在設計“問題驅動”時，要考慮到學生的認知基礎，形式可以多樣化。適當難度的問題驅動在培養學生的意志力、創新能力方面的作用是顯而易見的。比如，在微積分中值定理部分，讓學生們考慮這個問題：

設f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）內可導，且f（a）=0，a>0，證明？堝ξ∈（a，b）使得

當學生們看到問題的已知條件，就會往運用中值定理去證明的方向去想。但是，究竟是利用羅爾定理、拉格朗日中值定理還是柯西中值定理呢？當我們發現已知條件中有f（a）=0，a>0時，很有可能是利用羅爾定理，但是顯然不是對f（x）直接用。那么，我們構造怎樣的輔助函數，使它在ξ點的導數是f ′（ξ）（b-ξ）+af（ξ）的形式或者包含這樣的形式呢？于是，引導學生大膽嘗試，先看f（x）（b-x）是否可行，然后發現f（ξ）前面沒有a。那么，把輔助函數改成f（x）（b-ax）是不是就彌補了這一缺陷呢？其實不然，在af（ξ）符合我們所要的形式的同時卻給另一項f ′（ξ）（b-ξ）中的ξ帶來了個系數a。那么，把a放在哪里才行呢？這是一個耐人尋味的問題。引導學生考慮基本初等函數的導數結果，什么函數的導數能出來a同時又不改變（b-x）的形式，于是要構造的輔助函數就清晰了。

我們還可以通過介紹文化背景、應用背景和發展歷程，提高學生的學習興趣。比如在學習曲率和曲率圓概念這一節時，我們可以展示千姿百態的幾何圖案、蜿蜒曲折的長江、火車軌道等，他們都可以抽象為彎曲的曲線，他們之所以千姿百態，是因為在這些曲線的不同點處的彎曲程度不同。要想去精確地量化，研究或設計這些彎曲對象，離不開曲率。曲率是刻畫曲線彎曲程度的量。在全國微課設計大賽中，一位老師首先提出問題：使用半徑為多大的圓形砂輪才能最有效地打磨一個斷面輪廓為拋物線的零件的內部呢？以這個問題為開頭引入曲率概念，最后又通過準確地計算拋物線上各點的曲率和曲率圓成功地解決了這一問題，使學生充分感受到數學源于實踐的特點。

我們可以充分地利用現代信息技術創造形象直觀的講解方式，比如在講泰勒中值定理時，有些教材當中直接給出了定理的內容。我們可以通過PPT展示函數的圖像的方式，讓學生們直觀地看到，在ξ0點上，從函數值相等開始，一階導數相等，多項式函數與f（x）具有相同的切線，但彎曲方向可能相反；二階導數也相等的話，那么多項式函數與f（x）不僅具有相同的切線，而且彎曲方向也相同。這樣，學生們自然直觀地看到，如果三階以上的導數再相等的話，它們的圖像就更接近，自然得出泰勒中值定理中系數的計算方法。同時，我們舉例是也要注意和學生的專業背景相結合，比如對于生命科學專業的學生，我們可以分析細胞繁殖速率方面的極值問題；對于電子信息工程專業的學生，我們可以分析傅里葉級數與信號處理方面的問題。

此外，我們還可以將學科的交叉融合融入到數學課程的教學當中。比如在講到“可導的函數一定是連續的”這一定理時，我們可以讓學生們思考這一命題的逆命題“連續的函數一定可導”是否正確。很快，學生們通過舉反例（如絕對值函數）的方式，發現這是不正確的。那么我們再引導學生思考這一命題的逆否命題“不連續的函數一定不可導”。很快，利用反證法，學生們發現這是正確的。那么，如果我們用p表示“函數可導”，用q表示“函數連續”的話，利用數理邏輯的符號，“可導的函數一定是連續的”即為“p→q”。它的逆否命題“不連續的函數一定不可導”即為“┐q→┐p”。若p表示“下過雨了”，q表示“地面濕了”，“p→q”就是“如果下過雨了，地面就濕了”。“┐q→┐p”則表示“如果地面沒濕，那么就沒有下過雨”。這其實是生活中常用的邏輯。如果p表示“參加土風舞大賽”，q表示“期末的綜合測評可以加分”，那么“p→q”就是“如果參加土風舞大賽，那么期末的綜合測評可以加分”。“┐q→┐p”則表示“如果某同學的期末的綜合測評沒加分，那么他一定沒參加土風舞大賽”。以貼近學生生活的例子讓他們感受到數理邏輯無處不在。

再如，在幾何中，我們可以直觀地看到向量的共線、共面，垂直，在線性代數中，二維向量的共線、三維向量的共面的推廣便是一般的線性相關的概念；垂直就是正交，特點是內積為零。在學習解析幾何二次曲面的知識時，課本當中給出的都是標準型的二次曲面，在應用過程中，一旦遇到非標準的二次曲面時學生就不知道它的形狀了。在線性代數課程中講到化二次型為標準型時，一定要把利用正交變換把二次型化為標準型的方法與二次曲面分類的內容結合起來。

其次還要科學地制定教學計劃，給學生必要的數學活動空間。數學活動方式的教學模式與現行的數學主流模式相比，并非總要多占時間，而關鍵是要合理地組織。就離散數學而言，我們可以適當安排一些數學建?；顒?，讓學生學會從實際問題出發，構建數學模型，編程實現得到結果，并思考所得的結果如何指導實際問題，如做出某地交通信號燈的邏輯電路。鼓勵學生參加數學建模競賽和數學競賽，不僅可以提高他們的數學技能，激發他們的學習熱情，也為他們將來從事科研或者其他方面的工作打下良好的邏輯思維基礎。

最后，要做到理論與方法并重，結果與過程并舉。一般說來，教科書中的數學理論的表現形式是精美和抽象的，那是因為它更多地接受了數學家們的雕琢和完善，逐步達到了理想狀態，但這種理想狀態也常常使人感到枯燥。因此，作為數學教師，要善于在教學中把那些潛在的東西發掘和展示出來，使學生們充分感受到數學的優美和生動。例如，在講到二元關系中的函數的時候，啟發學生對比函數的不同定義（運動的觀點，即自變量和因變量的對應關系，映射的觀點以及二元關系的觀點），啟發學生思考為什么會這樣定義，啟發學生思考現實世界中的各種變化，使學生認識到在現實世界中存在大量的這種規律的變化，所以我們把它們歸為一類來研究。再如，在講到映射概念時，我們只要引導學生們考慮在本教室當中，學生和全部座位這兩個集合之間的映射時（對應法則就是坐在相應座位上），學生就很容易理解映射的概念，以及為什么像集通常取的大一些。如果在單射的時候的像集中把沒有原像的元素去掉（對應上例中把沒學生坐的座位去掉），此時單射就變成了一一映射。

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