時(shí)鐘表盤中角度問題探究

唐娟娟

一、圓形時(shí)鐘鐘面

采取實(shí)物教具——圓形石英鐘

和同學(xué)們一起探討表盤中指針的夾角，通過演示可以明確知道，表盤給我們一個(gè)360°的周角形象。讓學(xué)生觀察時(shí)鐘表面結(jié)構(gòu)可知：時(shí)針12小時(shí)轉(zhuǎn)表盤一圈，即旋轉(zhuǎn)了360°，所以時(shí)針1小時(shí)旋轉(zhuǎn)360°÷12=30°，就很容易得到時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)30°÷60=0.5°；而分針60分鐘轉(zhuǎn)一圈，所以分針1分鐘轉(zhuǎn)360°÷60=6°。我們經(jīng)過探究，得出結(jié)論，形成概念。

（1）表盤中共有12個(gè)數(shù)字，每兩個(gè)相鄰的數(shù)字中心線間的夾角是30°。

（2）表盤中分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，而時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)0.5°。

（3）在同一時(shí)間內(nèi)，分針是時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)度數(shù)的12倍。

利用這些關(guān)系就可以解決鐘表上的有關(guān)問題。

【例1】七點(diǎn)三十分時(shí)，鐘表上時(shí)針與分針的夾角是多少度？

分析：七點(diǎn)三十分時(shí)，分針指在6上，而時(shí)針指在7～8中間的位置，兩指針之間相距1.5個(gè)30°。所以，夾角度數(shù)為30°×1.5=45°。

二、探究數(shù)學(xué)模型

通過實(shí)物演示和學(xué)生一起建立了以下數(shù)學(xué)模型：

1.整點(diǎn)時(shí)間指針度數(shù)的計(jì)算

把鐘表指針撥向1點(diǎn)、3點(diǎn)、5點(diǎn)、6點(diǎn)時(shí)，學(xué)生能夠利用先前得到的結(jié)論很容易地算出用小時(shí)數(shù)乘以30°；這時(shí)，把指針指向7點(diǎn)，結(jié)果有許多學(xué)生把度數(shù)計(jì)算成210°，提示大家：時(shí)針與分針?biāo)鶌A的角是指小于180°的角，那么應(yīng)怎樣計(jì)算呢？學(xué)生通過觀察討論認(rèn)為用360°去減，算另外一側(cè)的角。由此得出數(shù)學(xué)模型：

令時(shí)間為a小時(shí)，則兩指針的夾角=a×30°或360°-a×30°。

2.非整點(diǎn)時(shí)間指針度數(shù)的計(jì)算

把鐘表指針撥到如圖，1點(diǎn)45分時(shí)的時(shí)針與分針之間的夾角是多少？

我們很容易地看到此時(shí)的夾角是分針與12點(diǎn)中心線的夾角減去時(shí)針與12點(diǎn)中心線夾角的差。那么如何計(jì)算這兩個(gè)夾角的度數(shù)呢？

分析：經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：分針12點(diǎn)中心線的夾角為45×6°，而時(shí)針與12點(diǎn)中心線夾角為1×30°加上45×0.5°，這樣兩度數(shù)相減就得到所求的結(jié)果；

把鐘表指針撥到4點(diǎn)15分，讓學(xué)生觀察時(shí)針與分針的夾角，我們能一眼看出此時(shí)的夾角度數(shù)是時(shí)針與12點(diǎn)中心線夾角度數(shù)減去分針與12點(diǎn)中心線的夾角度數(shù)，讓他們計(jì)算。提出假設(shè)：如果還用時(shí)針與12點(diǎn)中心線夾角度數(shù)減去分針與12點(diǎn)中心線的夾角度數(shù)行不行？

“想一想，你們計(jì)算的對(duì)嗎？”經(jīng)過學(xué)生反復(fù)完善自己的探究結(jié)果，得出數(shù)學(xué)模型：令時(shí)間為a小時(shí)b分鐘，則兩指針的夾角=a×30°+b×0.5°-b×6°或360°-a×30°+b×0.5°-b×6°。

三、借助行程問題，化繁為簡

1.表盤上的相遇問題

導(dǎo)練：已知環(huán)形跑道長300米，甲乙兩人同時(shí)從起跑線同向起跑，兩人的速度分別為3米/秒和1米/秒，問他們何時(shí)首次相遇？

分析：此題是一道環(huán)形跑道同向而行的問題，出發(fā)時(shí)二人在同一起跑線上，到首次相遇時(shí)，雖然無法確定兩者各跑多少，但能知道兩人相遇時(shí)跑快者比跑慢者多跑一圈，由此得到等量關(guān)系：甲跑的路程-乙跑的路程=跑道的周長，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解答。然后出示例題：

【例1】現(xiàn)在是12點(diǎn)，時(shí)針與分針是重疊的，問時(shí)針至少轉(zhuǎn)過多大角度時(shí)，兩針再次重疊？

分析：將表盤看做環(huán)形跑道，分針與時(shí)針看做跑步快慢的兩個(gè)人，同時(shí)同向從12點(diǎn)處出發(fā)，再相遇時(shí)就相當(dāng)于分針比時(shí)針多走了一圈。這樣有準(zhǔn)備題的啟發(fā)，學(xué)生很快得到了等量關(guān)系：

分針轉(zhuǎn)過的度數(shù)-時(shí)針轉(zhuǎn)過的度數(shù)=360°

解：設(shè)時(shí)針至少轉(zhuǎn)過x°時(shí)針再次重疊。因?yàn)闀r(shí)針每分鐘走0.5°，所以，時(shí)針走x°用（ ）分，則分針在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)了〔6（ ）〕°，可列方程：6（ ）-x=360°

2.表盤上的追及問題

導(dǎo)練：甲乙兩人在環(huán)形跑道上進(jìn)行短跑訓(xùn)練，乙在甲前100米的位置上，已知甲、乙兩人的速度分別為3米/秒和1米/秒，起跑后，問甲用多長時(shí)間追上乙？

分析：這是一道追及問題，兩人在相同時(shí)間內(nèi)，甲跑的路程比乙跑的路程多100米，因此可以得到路程相等的等量關(guān)系：甲跑的路程-乙跑的路程=100。

【例2】某人晚上6點(diǎn)多鐘外出散步，此時(shí)分針與時(shí)針的夾角110°，回家時(shí)發(fā)現(xiàn)時(shí)間還未到7點(diǎn)，且時(shí)針與分針的夾角仍為110°，請(qǐng)你推算出此人外出了多長時(shí)間？

分析：分針相當(dāng)于準(zhǔn)備題中的甲，時(shí)針相當(dāng)于準(zhǔn)備題中的乙，外出前指針相差110°，就相當(dāng)于兩人在跑道上相距100米，回家時(shí)兩指針還差110°，可想象為準(zhǔn)備題中的甲在某一時(shí)刻超出乙100米的距離，這樣兩題中的類似地方是在相同的時(shí)間內(nèi)分針多走的角度相當(dāng)于準(zhǔn)備題中的甲比乙多走的路程。由此可得到兩指針角度相等的等量關(guān)系：110°+時(shí)針轉(zhuǎn)過的度數(shù)+110°=分針轉(zhuǎn)過的度數(shù)。

可列方程：設(shè)此人外出了x分鐘。6x-0.5x=110×2 x=40答：此人外出了40分鐘。

編輯 謝尾合