高中數學教學要重視學生運算能力的培養

周建萍

本人在多年的教學中，深感學生數學運算能力的重要性.“會而不對，對而不快，快而不準”的學生比比皆是，學生在運算中暴露出來的問題也越來越多.數學運算能力越來越成為制約學生得分的重要“瓶頸”.在高考中，大多數題目是需要運算的，運算求解能力始終是高中學生必須面對的一個沉重話題.

從歷年考試（大綱）對運算求解能力要求的演變可看出，高考對運算能力的要求越來越高，越來越具體.近年考綱對運算求解能力的描述為：“會根據法則、公式進行正確運算、變形和數據處理，能根據問題的條件尋找與設計合理、簡捷的運算途徑，能根據要求對數據進行估計和近似計算.”這些年的教學中，筆者體會到學生運算能力的低下，也與教師關于運算教學的力度不夠有關.在高中教師中普遍存在的教學現象是重數學思想、數學思維能力的培養，重解題方法的訓練，加上由于新課標，教學內容增多，教學課時卻沒有相應增加，使得平時的教學忙于應付進度，沒有太多時間關注運算方面的教學，許多計算都是留給學生課后完成，而學生也認為計算是“小事一樁”，不加以重視，大多以為懂了方法就可以了，久之就形成了“會而不對”的數學通病.

筆者認為，在高中數學教學中，既要重視數學思想、數學思維能力的培養，重視解題方法的訓練，同時更要重視運算能力的教學，因為所有問題最終的解決都要通過計算來完成，運算能力對學生取得好成績的重要性不言而喻.為此，本文談談我在教學中是如何培養和訓練學生兩個方面的運算能力.

一、培養學生能根據問題的條件和目標，尋找與設計合理、簡捷的運算途徑

我們在教學中，尤其在例題、習題的教學中，常常是一開始就告訴學生如何思考，甚至于告訴學生如何解題.或者看似提出了問題讓學生思考，其實在提出的問題中已包含了思考方向、解題途徑等.這樣教學，學生聽課是沒有問題的，因為思路是教師引導，計算是教師完成.但當學生自己面對一個新問題時卻不知如何解決.其根源就是我們在教學中忽視了培養、訓練學生“能根據問題的條件和目標，尋找與設計合理、簡捷的運算途徑的能力”.

例1 （2011山東17題）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosA-2cosCcosB=2c-ab.

（1）求sinCsinA的值；

（2）若cosB=14，b=2，求△ABC的面積S.

事實上，當學生在考場上面對這個問題時，他可能會有幾方面的困惑：

①如何求sinCsinA？②條件cosA-2cosCcosB=2c-ab如何使用？

針對以上問題，我讓學生思考兩個問題：

（1）在三角問題中如何求sinCsinA？（直接求，或利用正弦定理轉換成ca）

（2）面對條件cosA-2cosCcosB=2c-ab，你會做出哪些選擇？（可用正弦定理將邊a，b，c換成sinA，sinB，sinC，也可用余弦定理將cosA，cosB，cosC轉換成邊a，b，c，再進行變形處理）.

這比直接告訴學生如何求解更能培養、訓練學生如何尋找解題途徑的能力.在學生解答完第一問后，再提出問題：在三角形中，面對cosB=14，b=2這樣的條件，我們有哪些公式可使用？（余弦定理）求△ABC的面積有哪些公式？（S=12ah，或S=12ac·sinB）如何選擇？在上述條件下選擇哪個公式更合理？因為在三角中，公式、定理眾多，如何選擇合適的公式、定理，如何根據問題的條件和目標，尋找與設計合理、簡捷的運算方向是學生面臨的最大問題.在高中數學的其他許多內容中，學生都會面臨同樣的問題.

我們在教學中，如果能適時對學生進行“如何根據問題的條件和目標，尋找與設計合理、簡捷的運算方向”的訓練，必將會提高學生的解題能力.

二、在運算過程中遇到障礙而調整運算的能力

學生在運算實施過程中往往缺乏進一步選擇合理、簡捷的運算途徑的意識，常常是一開始選擇了運算方向后，就開始運算，一旦遇到障礙無法解決，最終的選擇就是放棄.事實上，高考中許多問題的解決都要求學生擁有“在實施運算過程中遇到障礙而調整運算的能力”，尤其是后面三大題的解答更是如此.

例2 （2010天津22題）

在數列{an}中，a1=0，且對任意k∈N*，a2k-1，a2k，a2k+1成等差數列，其公差為2k.

（1）證明a4，a5，a6成等比數列.

（2）求數列{an}的通項公式；

當學生在考場上面對這樣的題目時，第（1）問是可以通過重復使用條件：a2k-1，a2k，a2k+1成等差數列來求出a4，a5，a6，從而證明a4，a5，a6成等比數列的.

但從第二問開始，條件“a2k-1，a2k，a2k+1成等差數列，其公差為2k”如何使用？

事實上，大多數學生是會將條件“a2k-1，a2k，a2k+1成等差數列，其公差為2k”轉換成式子：

a2k-a2k-1=2k，a2k+1-a2k=2k.學生又會碰到障礙：這組式子如何繼續下去？面對這

樣的式子，可進行作怎樣的運算？

事實上，通過觀察，很容易看出將兩式相加后可得a2k+1-a2k-1=4k，k∈N*.

此時，又會碰到障礙：這個式子a2k+1-a2k-1=4k，k∈N*說明什么？

事實上，這個式子說明數列{an}的奇數項構成公差為4k的等差數列.

由a1=0，易得a2k-1=2k（k-1），到此，奇數項的通項公式可求.

新的問題：偶數項的通項公式如何求？事實上，偶數項的通項公式可通過a2k-a2k-1=2k 來求解.

∵a2k=a2k-1+2k=2k2.

∴ a2k-1=2k（k-1），a2k=2k2，（k∈N）.

學生又會碰到新的障礙：如何求通項公式an？

事實上，可通過換元的方法來求解，最后可求得數列{an}的通項公式為：

an=n2-12，n為奇數，n22，n為偶數，或寫為an=n22+-1n-14，n∈N*.

由此可見，學生在解題過程中，如果不顧運算目標，機械地套用運算公式，進行盲目的推理演算，運算過程中缺乏能根據問題的條件和目標，尋找與設計合理、簡捷的運算途徑，也缺乏在實施運算過程中遇到障礙而調整運算的能力，常常將運算過程中的錯誤原因歸結到是“馬虎”“粗心”“不注意”才造成運算的錯誤，這是典型的只看重解題過程中的方法和思路.顯然，學生對運算的具體實施，對運算過程中的合理性、簡捷性等都沒有足夠的重視，這常常讓他們的運算半途而廢，無功而返，最后選擇放棄.

因此，如何在高中數學教學中培養學生的運算能力是我們每一個高中教師都要面臨的課題.我們不能將學生運算能力的低下僅僅歸結為學生“懶惰，不愿多做題”，從而將學生運算能力的提高寄希望于大量的練習，將學生淹沒在“題海”中.事實上，運算求解能力是思維能力和運算技能的結合，運算包括對數字的計算、估值和近似計算等.所以，僅僅盲目的計算是不能解決問題的.因此，我們更要在教學中時時注意培養、訓練學生分析運算條件、探究運算方向、選擇運算公式、確定運算程序等一系列過程中的思維能力，也要訓練學生在實施運算過程中遇到障礙而調整運算的能力.只有這樣，才能較好地在更高的層次上提高學生的運算能力，幫助他們在高考中取得好成績.