集合思想在高中數學中的應用

楊梅

【摘要】集合在數學領域具有無可比擬的特殊重要性.集合論的基礎是由德國數學家康托爾在19世紀70年代奠定的，經過一大批卓越的科學家半個世紀的努力，到20世紀20年代已確立了其在現代數學理論體系中的基礎地位，而進入高中新課程，學習的第一個內容就是集合，由此顯示出它的重要性，雖然在內容上較少且簡單，但它的數形結合思想、互補思想（正難反易思想）為解決某些數學問題提供了有力工具.因此，學習好集合知識能為學習數學其他知識打下堅實基礎.在高中數學中通常把集合當作一種語言來使用，用集合語言來表示有關的數學對象具有簡單、準確的效果.它為后續學習函數等內容的做了語言上的準備.

【關鍵詞】集合；數學問題；集合語言

一、緒 論

1.研究背景

集合是高中數學重要的知識點之一，集合語言是現代數學的基本語言，使用集合語言可以簡潔、準確地表達數學的內容；而運用集合思想解決高中某些數學問題是越來越常用的方法.新課標人教A版教材中注重知識點之間的聯系和滲透，函數、排列組合、不等式、解析幾何以及立體幾何中都有涉及集合相關內容.

2.研究目的

研究集合思想在高中數學中的應用，有助于教師更好地教學，本文結合人教A版教材，通過幾個典型例題的剖析簡單談談集合知識與高中數學中各知識點之間的聯系.

二、高中數學中的集合

1.集合的概念

集合就是把人們直視的或思維中的某些確定的、容易區分的對象放在一起.組成一集合的構成要素稱為這一集合的元素.常用的集合的表示方法有列舉法、描述法.元素與集合是“屬于”與“不屬于”的關系.集合間的基本關系有子集、相等以及真子集.集合的基本運算有交集、并集和補集.

2.集合在高中數學中的地位和作用

集合作為進入高中課程學習的第一個概念，可見其重要性，同時集合是高中數學后續內容學習的基礎.集合是高中數學必修1函數的學習基礎，對函數的兩要素——定義域、值域的表示等都用到了集合的知識；集合也是必修5中的不等式知識的基礎，學生要達到用集合的方法來表示不等式解集的目標；集合知識也是必修2立體幾何的基礎，我們知道“點集構成線，線集構成面”，這為學生學習幾何做了鋪墊；在選修2-1中圓錐的軌跡方程也是一些點構成的集合，如：橢圓就是集合P=MMF1+MF2=2a，其中F1，F2為兩固定的點.

三、集合與高中數學各知識點的聯系

1.集合與函數

函數的本質是建立在兩個數集間的一種確定的對應關系，而描述函數的性質如單調性、奇偶性等都涉及集合語言.

例1 求函數f（x）=x+3+1x+2的定義域（人教A版，必修1P17例1）

解 如果對于一個函數沒有指明它的定義域，那么函數的定義域是指能使這個式子有意義的實數的集合.使根式x+3有意義的實數x的集合是{x|x≥-3}，使分式1x+2有意義的實數x的集合是{x|x≠-2}，所以，這個函數的定義域就是

{x|x≥-3}∩{x|x≠-2}={x|x≥-3，且x≠-2}.

2.集合與排列組合及概率

高中數學中的概率問題一般條件就較為復雜，對于學生而言，難于理清題目思路，這時運用集合思想，就能巧妙地將題目中的限制條件轉換成集合運算，探求題目各條件間的關系，將題目化難為易，從而理清思路，找到解決問題的方法.

例2 某商場推出二次開獎活動，凡購一定價值的商品可以獲得一張獎券，有一個兌獎號碼，可以分別參加兩次抽獎方式相同的兌獎活動.如果兩次兌獎活動分別中獎的概率是0.05，求兩次抽獎中以下事件的概率：

（1）都抽到某一指定號碼；

（2）恰有一次抽到某一指定號碼；

（3）至少有一次抽到某一指定號碼.（人教A版，選修2-3P54例3）

解 設“第一次抽獎抽到某一指定號碼”為事件A.“第二次抽到某一指定號碼”為事件B，則“兩次抽獎抽到某一指定號碼”就是事件AB.

（1）由于兩次抽獎結果互不影響，因此事件A與事件B互相獨立.于是由獨立性可得，兩次抽獎都抽到某一指定號碼的概率為

P（AB）=P（A）P（B）=0.05×0.05=0.0025.

（2）“兩次抽獎恰有一次抽到某一指定號碼”可以用（AB）∪（AB）表示.由于事件AB與AB互斥，根據概率的加法公式和相互獨立事件的定義可得，所求事件的概率為

P（AB）+P（AB）=P（A）P（B）+P（A）P（B）

=0.05×（1-0.05）+（1-0.05）×0.05

=0.095.

（3）“兩次抽獎至少有一次抽到某一指定號碼”可以用（AB）∪（AB）∪（AB）表示.由于事件AB，AB和AB兩兩互斥，根據概率的加法公式和相互獨立事件的定義可得，所求事件的概率為

P（AB）+P（AB）+P（AB）=0.0025+0.095=0.0975.

3.集合與不等式

集合與不等式有著密切的聯系，用集合表示不等式的解集簡捷，對于不等式組的解可轉化為各不等式解集的交集.

例3 求不等式組3x2+x-2≥04x2-15x+9>0的解集.（人教A版，必修5P103B組第2（2）題）

解 設第一個不等式的解集為集合A，則A=xx≤-1或x≥23；第二個不等式的解集為集合B，則B=xx<34或x>3.原不等式的解集為A∩B，即為：xx≤-1或23≤x<34或x>3.

4.集合與解析幾何

集合溝通了數與形的內在聯系，使得由某個圖形給出的點集和滿足某性質P的實數對組成的集合建立起一一對應的關系進而使數學中的幾何問題代數化，因此集合在解析幾何中有著廣泛的應用.

例4 點M（x，y）與定點F（4，0）的距離和它到直線l：x=254的距離的比是常數45，求點M的軌跡.（人教A版，選修2-1P47例6）

解 設d是點M到直線l：x=254的距離，根據題意，點M的軌跡就是集合P=MMFd=45，由此可得x-42+y2254-x=45.最終化簡可得x225+y29=1.所以，點M的軌跡是長軸、短軸長分別為10、6的橢圓.

5.集合與立體幾何

我們在學習立體幾何中的點線面的關系時，用集合可以簡單明了地表示出其包含關系，如：點∈線，線面.

例5 已知平面α，β，α⊥β，直線a滿足a⊥β，aα，試判斷直線a與平面α的位置關系.（人教A版，必修2P72例4）

解 直線與平面的位置關系有三種：（1）直線在平面內；（2）直線與平面相交；（3）直線與平面平行.而在本題中已經告訴直線不在平面內，故所求的直線與平面的關系就只能為：直線與平面相交；直線與平面平行.

設P={（α，β，a）|α⊥β，a⊥β，aα}，

M={（α，β，a）|α⊥β，a⊥β，aα，且直線a與平面α相交}，

N={（α，β，a）|α⊥β，a⊥β，aα，且直線a與平面α平行}.

要判斷直線a與平面α的位置關系，可表述為集合問題PM∪N；最終可判斷出直線a與平面α平行.

【參考文獻】

[1]朱秀花.高中集合教學研究[D].呼和浩特：內蒙古師范大學，2011.

[2]諶敢.高中數學新教材中集合思想的應用[J].新課程研究，2012，03（251）：10-11.