貝葉斯公式的應(yīng)用

摘 要：本文通過(guò)幾種典型題型的探究來(lái)說(shuō)明貝葉斯公式在醫(yī)療檢測(cè)、產(chǎn)品檢測(cè)、概率推理、日常生活等一系列復(fù)雜的問(wèn)題中，為我們提供了更有價(jià)值、更快捷有效的決策信息，成為我們解決復(fù)雜概率問(wèn)題的有效工具。

關(guān)鍵詞：貝葉斯公式；應(yīng)用；案例

1 貝葉斯公式

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S。A為E的事件，B1，B2，…，Bn為S的一個(gè)劃分，且P（A）>0，P（Bi）>0（i=1，2，…，n），則：

P（Bi | A）=，i=1，2，…，n。稱為貝葉斯公式。

2 貝葉斯公式的應(yīng)用

2.1 在產(chǎn)品檢測(cè)中的應(yīng)用

例1 某汽車(chē)制造廠所用的汽車(chē)離合器是由四家不同的汽車(chē)零件制造廠提供的，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)分析得以下數(shù)據(jù)：

已知在汽車(chē)制造廠的零件儲(chǔ)藏室里由這四家汽車(chē)零件制造廠提供的離合器是均勻的混在一起放置的，且外觀沒(méi)有任何區(qū)別。

1）隨機(jī)在儲(chǔ)藏室里取一個(gè)離合器，求此離合器為次品的概率。

2）隨機(jī)在儲(chǔ)藏室里取一個(gè)離合器，若取到的離合器是一件次品，請(qǐng)分析此次品出自何廠的幾率最大。

解：設(shè)A表示“取到的是次品”。

Bi表示“取到的產(chǎn)品是第i家汽車(chē)零件制造廠提供的”，i=1，2，3。

則有

1）由全概率公式：

故隨機(jī)在儲(chǔ)藏室里取一個(gè)離合器，求此離合器為次品的概率。

2）由貝葉斯公式得：

根據(jù)計(jì)算得的結(jié)果分析得，此次品出自第二家汽車(chē)零件制造廠的幾率最大。

2.2 在日常生活中的應(yīng)用

例2 某人下午5：30下班，他所積累的資料表明：

某一天他擲一顆骰子來(lái)決定乘地鐵還是乘汽車(chē)回家，擲出骰子結(jié)果若是小的數(shù)（1，2，3），他就乘汽車(chē)，若是大的數(shù)（4，5，6），他就乘地鐵，已知他是6：47到家的，求此人是乘汽車(chē)回家的概率。

解：設(shè)A表示“乘汽車(chē)”；B表示“乘地鐵”；C表示“6：45-6：50到家”。

則有

由貝葉斯公式有：

故此人乘汽車(chē)回家的概率為。

2.3 在醫(yī)療檢測(cè)中的應(yīng)用

例3 某地被測(cè)驗(yàn)的居民中有0.6%是癌癥患者，利用某種診斷癌癥的試驗(yàn)來(lái)檢測(cè)有如下效果：試驗(yàn)反應(yīng)呈陽(yáng)性的患病概率為0.94，而未患病且試驗(yàn)反應(yīng)呈陰性、假陰性、假陽(yáng)性的概率為0.94。若當(dāng)?shù)匾幻用竦脑囼?yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，那么該居民的患病概率有多大？

解：設(shè)事件A表示“試驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性”；事件B表示“被試驗(yàn)者患有癌癥”。則有：

由貝葉斯公式得：

故該居民的患病概率約為0.086。

2.4 在概率推理中的應(yīng)用

例4 已知一個(gè)位于英國(guó)的發(fā)報(bào)臺(tái)分別以概率0.6和0.4發(fā)出信號(hào)“0”和“1”，由于通訊系統(tǒng)收到了某些信號(hào)的干擾，當(dāng)發(fā)出信號(hào)“0”時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)未必收到信號(hào)“0”，而是分別以0.8和0.2的概率收到“0”和“1”；同樣，發(fā)出信號(hào)“1”時(shí)分別以0.9和0.1的概率收到“1”和“0”.如果收?qǐng)?bào)臺(tái)收到“0”，求它沒(méi)收錯(cuò)的概率是多少？

解：設(shè)A=“發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)‘0”，=“發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)‘1”.

B=“收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)‘0”，=“收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)‘1”.

于是，

由貝葉斯公式，得：

即收?qǐng)?bào)臺(tái)沒(méi)收錯(cuò)信號(hào)的概率為0.923。

3 總結(jié)

在解決一些醫(yī)療檢測(cè)、產(chǎn)品檢測(cè)、概率推理、日常生活等一系列復(fù)雜的問(wèn)題中，貝葉斯公式為我們提供了更有價(jià)值、更快捷有效的決策信息，成為我們解決復(fù)雜概率問(wèn)題的有效工具。

參考文獻(xiàn)：

[1] 王君.貝葉斯公式應(yīng)用教學(xué)的一種新設(shè)計(jì)[J].新疆師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，4（4）：71-74.

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作者簡(jiǎn)介：

莫慶美（1963-），女，廣西蒙山人，賀州學(xué)院副教授，主要研究方向：高等數(shù)學(xué)與微分方程教學(xué)研究。