二項(xiàng)分布的計(jì)算

張琳

摘 要：二項(xiàng)分布是概率論中重要的分布之一，在實(shí)際中也有著廣泛的應(yīng)用，因此它的計(jì)算十分重要，本文就二項(xiàng)分布的近似計(jì)算進(jìn)行了簡單的討論。

關(guān)鍵詞：二項(xiàng)分布；泊松分布；正態(tài)分布

二項(xiàng)分布是概率論中最重要的分布之一，在實(shí)際問題中也有著廣泛的應(yīng)用。但是，當(dāng)二項(xiàng)分布的第一個(gè)參數(shù)較大時(shí)，它的計(jì)算變得比較復(fù)雜，因此需要借助泊松分布或者正態(tài)分布等進(jìn)行近似。

一、二項(xiàng)分布介紹

在同一條件下獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果與，且每次試驗(yàn)中，，事件出現(xiàn)的次數(shù)記為隨機(jī)變量，則服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，記為，且有

二、二項(xiàng)分布的近似計(jì)算公式

從二項(xiàng)分布的定義可以看出，當(dāng)參數(shù)較大時(shí)，其計(jì)算比較復(fù)雜，因此有如下結(jié)論：

定理1：（泊松定理）設(shè)隨機(jī)變量，（是一個(gè)常數(shù)），則有，

定理1表明，當(dāng)足夠大，不大，且為常數(shù)時(shí)，二項(xiàng)分布可以用泊松分布近似計(jì)算，近似為參數(shù)為的泊松分布。

定理2：（隸莫弗—拉普拉斯中心極限定理）設(shè)隨機(jī)變量，則對于任意的，有

定理2表明，當(dāng)二項(xiàng)分布中參數(shù)充分大時(shí)，可以用正態(tài)分布近似計(jì)算二項(xiàng)分布，。

三、近似計(jì)算

例1：某汽車站有大量汽車通過，設(shè)每輛汽車在一天的某個(gè)時(shí)間段內(nèi)出事故的概率為，在某天這段時(shí)間內(nèi)有輛汽車通過，則這段時(shí)間內(nèi)出事故的次數(shù)不小于的概率是多少？

解：設(shè)為出事故次數(shù)，則，

且，

①用二項(xiàng)分布自身求解，則

②由于此題很大，相對很小，且也不大，因此可以用泊松分布近似

從結(jié)果看出，用泊松分布的近似度是很高的。

③此題很大，也可以考慮用正態(tài)分布近似

近似服從

此題用正態(tài)分布計(jì)算，結(jié)果幾乎為零，不是非常合適。

例2：若隨機(jī)變量，同樣計(jì)算

且，

①用二項(xiàng)分布自身求解，則

②由于此題很大，相對也較小，且也不大，用泊松分布近似得

此題用泊松分布的近似度仍然很高。

③再次考慮用正態(tài)分布近似

近似服從

從結(jié)果看出，此二項(xiàng)分布用正態(tài)分布近似，結(jié)果還是不錯(cuò)的。

例3：若隨機(jī)變量，

且，

若計(jì)算，數(shù)值太小，幾乎為零，所以我們計(jì)算此二項(xiàng)分布的最可能值的概率，即計(jì)算

①用二項(xiàng)分布自身求解

=

②由于此題很大，其實(shí)不小，且較大，若用泊松分布近似得

=

其實(shí)近似度大約為95%，仍然很高

③再次考慮用正態(tài)分布近似

近似服從

從以上計(jì)算可以看出，只要比較大，用泊松分布近似二項(xiàng)分布還是比較合理的，但是越小近似度越高。用正態(tài)分布近似二項(xiàng)分布，則越大，方差越大，近似度越好。

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（作者單位：山東工商學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院）