不定積分的一題多解

邢秀俠

摘要：本文對三道不定積分的題目給出了多種不同的解法，其中綜合應用了湊微分和第二類換元法（包括三角代換、根式代換和倒代換等）兩類典型積分法，這對工科大學生學習綜合運用多種積分技巧求解不定積分具有啟發意義。

關鍵詞：不定積分；湊微分；第二類換元；三角代換；根式代換；倒代換

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）15-0245-02

在高等數學課程中，求解不定積分是相對比較困難的部分，因為技巧性比較強，可用的工具也比較少。求極限、判斷連續、求導、求微分時，都有針對函數的四則運算和復合的相應的運算法則。而到了求不定積分，只有針對加、減運算的被積函數的積分法則，卻沒有專門處理乘積、商和復合形式的被積函數的積分法則。

國內現行的高等數學教材里通常會給出三類典型的積分法，包括湊微分、第二類換元和分部積分。初學不定積分的時候，要注意把握每種積分法各自的特點，看它們都適合處理什么樣的被積函數。比如湊微分法和分部積分法都可以用來嘗試處理一些乘積形式的被積函數，也都有把被積函數的一部分拿進來湊微分的步驟，不過使用湊微分技巧時對被積函數的要求比較高：即需要湊完微分以后剩余的被積函數是某個容易積出來的函數和微分符號“d”后面的那個函數的復合形式，而分部積分法對被積函數的要求則沒這么高。一般來講，分部積分技巧可以處理被積函數為“反對冪三指”五類函數中的兩類相乘的情形。至于第二類換元，其基本思想是去根號，容易總結出一些很典型的代換：三角代換、根式代換和倒代換等。但是，當學生把所有積分法都學完，并且針對每種積分法都做了一定量的練習后，就很有必要培養綜合利用多種積分法求解不定積分的能力。高數課教師在不定積分這一章的末尾上習題課時，也要有意識地選取典型例子，引導學生嘗試利用不同的積分法求解不定積分，讓他們體會“條條大路通羅馬”的喜悅，從而激發他們學習高等數學課程的興趣。

下文介紹三個典型的例子，這些例子均有多種解法，其中融合了湊微分（也稱第一類換元法）和第二類換元法（包括三角代換、根式代換、倒代換和非典型代換），具有很好的啟發性。

參考文獻：

[1]同濟大學應用數學系.高等數學（上）[M].第五版.北京：高等教育出版社，2002.

[2]范周田，張漢林.高等數學（上）[M].第二版.北京：機械工業出版社，2012.