根軌跡的中心點(diǎn)研究

董宇

摘要：根軌跡的中心點(diǎn)性質(zhì)確定了根軌跡中心點(diǎn)的坐標(biāo)。本文給出了根軌跡中心點(diǎn)性質(zhì)的新證明方法。首先，證明了當(dāng)被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為嚴(yán)真時(shí)，根軌跡存在漸近線；然后，計(jì)算了根軌跡漸近線的傾斜角；最后，通過建立漸近線的矢量方程，確定了根軌跡的中心點(diǎn)坐標(biāo)。與傳統(tǒng)的證明方法相比，本文提出的證明方法具有明確的幾何意義。

關(guān)鍵詞：根軌跡；中心點(diǎn)；矢量方程

中圖分類號(hào)：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）13-0211-03

一、引言

根軌跡法是一種基本的控制系統(tǒng)分析設(shè)計(jì)方法。為了能夠手工繪制根軌跡圖，需要從理論上推測根軌跡在某些位置處的形狀。Evans提出了基本的根軌跡性質(zhì)。[1]此外，許多學(xué)者對(duì)根軌跡的性質(zhì)進(jìn)行了深入的研究。文獻(xiàn)[2]計(jì)算了根軌跡分離點(diǎn)處的出射角和入射角。文獻(xiàn)[3]計(jì)算了當(dāng)原點(diǎn)作為根軌跡的多重零點(diǎn)和多重極點(diǎn)時(shí)，相應(yīng)的入射角和出射角。文獻(xiàn)[4]計(jì)算了實(shí)數(shù)零點(diǎn)和實(shí)數(shù)極點(diǎn)處根軌跡的入射角和出射角。文獻(xiàn)[5]計(jì)算了當(dāng)傳遞函數(shù)為假有理分式時(shí)，根軌跡漸近線的傾斜角。文獻(xiàn)[6]計(jì)算了多重起始點(diǎn)和終止點(diǎn)處根軌跡的出射角和入射角。而文獻(xiàn)[7]使用矢量分析方法，對(duì)上述根軌跡性質(zhì)進(jìn)行了重新計(jì)算，得到了更為簡潔的計(jì)算結(jié)果。文獻(xiàn)[8]給出了根軌跡存在分離點(diǎn)的代數(shù)形式的充分必要條件。

教科書中闡述的關(guān)于根軌跡中心點(diǎn)的性質(zhì)用于確定根軌跡中心點(diǎn)的坐標(biāo)。但教科書中對(duì)根軌跡中心點(diǎn)性質(zhì)的證明是形式化的，未能對(duì)其中的機(jī)理進(jìn)行深入的分析。本文提出了一種關(guān)于根軌跡中心點(diǎn)性質(zhì)的新證明方法，該證明方法具有明確的幾何意義。首先，證明了當(dāng)被控對(duì)象傳遞函數(shù)為嚴(yán)真時(shí)，根軌跡在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處存在漸近線；然后計(jì)算了漸近線的傾斜角；最后，通過建立漸近線的矢量方程，確定了根軌跡中心點(diǎn)的坐標(biāo)。