初中數學一元二次方程應用題解析

陳其琴

【試題】

兒童玩具店的老板以2元/個的價格購進一批玩具小汽車，以3元/個的價格出售，每天可以售出200個。然而，老板為了促銷，決定降價處理，這種小型玩具小汽車每降價0.1元/個，每天可以多銷售40個。此外，兒童玩具店的老板要想每天付給房東24元房租。

（1）請問：如果兒童玩具店的老板要想每天盈利200元，應將每個玩具小汽車的售價降低多少元？

（2）如果該兒童玩具店的老板要想盈利最大，應將每個玩具小汽車的售價降低多少元？

一、闡述命題意圖

以一元二次方程來解決實際問題在歷年中考中出現頻率最高的類型，也是每年必考題。中考大綱山野多次強調“學生能夠利用所學一元二次方程知識解決實際問題”。一般是以2問式出現的頻率比較高，考查學生對一元二次方程的求解、圖像、對稱軸、最大值、最小值等幾個知識點的考查，重點考查學生分析問題、解決問題的能力。第一題考查的是一元二次方程的求解，一般比較簡單。這道題主要考查學生的計算能力和分析問題的能力。第二道題則是考查一元二次方程的對稱軸、最大值、最小值的知識點，也就是考查二次函數的頂點坐標。

二、說明考點及對應的考綱要求

按照初中數學課程標準規定的一元二次方程及其解法、可化為一元二次方程的方程解法為學習目標的九年級數學的“一元二次方程”和“二次函數”模塊，組成中考必考內容。必考內容對學生有難易不同的考查。

一元二次方程、二次函數作為中考必考內容要求學生：

（1）能夠根據具體問題中的數量關系列出方程，體會方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型。

（2）會解簡單的二元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超過兩個）。

（3）理解配方法，會用因式分解法、公式法、配方法解簡單的數字系數的一元二次方程。

（4）能根據具體問題的實際意義，檢驗方程的解的合理性。

（5）會從具體問題中尋找數量關系和變化規律。

（6）能結合圖象對簡單實際問題中的函數關系進行分析。

三、試題講解過程

根據題型特點和新課程的教學理念，我設計了如下教學流程：

學生現狀：有足夠的相關知識儲備。

首先，我和學生一起閱讀該題目，一起審題，了解該題中所包含的數量關系，了解現實的生活的贏利是如何計算，從最簡單的一天的贏利算起，看看自己作為店老板一天可以賺多少錢。列出相關的數量關系“每天的贏利=（售價-進價）×銷售量-固定成本（房租）”列出方程求解即可。

如果我們設應將每個玩具小汽車的售價降低x元，根據題意：

列出方程（3-x-2）（200+40×）-24=200

再者，列出方程，學生小組討論，看如何解決一元二次方程，如何化簡方程，如何解一元二次方程。最后學生在黑板上展示解題過程

-400x2+200x-24=0 化簡可得50x2-25x+3=0

解得x=0.2或者0.3

因為是為了促銷，所以應該降價0.3元

接著，我和大家一起列出第2問的數量關系：“每天的贏利=（售價-進價）×銷售量-固定成本（房租）”，由于是二次函數，所以這次我讓學生自己列出數量之間等量關系：（3-x-2）（200+40×）-24。

但是由于此題是函數問題，因而我引導學生設置變量，設兒童玩具店的老板盈利為y

所以該式就變形為y=（3-x-2）（200+40×）-24

即y=-400（x-）2+201

學生小組討論，如何討論該二次函數什么時候取得最大值，畫出圖象，討論。

解得x=0.25時，y取得最大值。

四、試題的拓展延伸及變式分析

1.知識拓展

（1）一元二次方程的求解計算：如公式法、十字相乘、配方法等多種方法的求解方法，并把自己求解的新的交流展示。

（2）二次函數的談論：引導學生善于運用對稱軸，頂點坐標，二次函數的圖像的討論，并且把這些知識點一起總結起來。

2.能力拓展

（1）二次函數知識點易錯點強化：在班級里，每個學生重點負責總結二次函數在中考題中出題類型，每次做完相關實際問題后，由負責學生找出解題方法，歸類整理。

（2）自主命題：由學有余力的學生帶動其小組成員，在本篇試題中按照中考考查的主要知識點，自主合成一份標準試題，分別側重一元二次方程和二次函數結合問題解答綜合問題。

五、試題的價值、反思及感悟等

一元二次方程、二次函數是中考試卷的必考知識點，因此，我們需要加強平時對學生計算方面的訓練，在數學教學中，引導學生熟記常見的一元二次方程的解法，求根公式，配方法、十字相乘等，進而拓展學生一元二次方程求解的有效途徑。

授之以魚，不如授之以漁。本節課的學習，師生互動，共同探究，教學相長，其樂融融，這才是教育真正的意義。這才是我們這些教育工作者真正的幸福。

編輯 謝尾合