熟練的解題方法陌生的方法原理

胡祝齊

高次不等式是高中數學中經常遇到的重要不等式。在國內中學里，教師主要介紹了一種簡單的方法——數軸標根法。這種方法簡單且實用。筆者現在中美實驗班教微積分預備，涉及多項式函數的教學和圖形計算器的使用。筆者將從多項式函數的角度來重新闡釋數軸標根法，將原理剖析清楚。

一、方法回顧

對高次多項式不等式：a0xn+a1xn-1+a2xn-2+……+an>0。

第一步，先將x最高次項系數化為正數，再通過因式分解將其分解成一次因式和不可再分解的二次因式的乘積，相同的一次因式寫成冪指數的因式。

第二步，將其對應方程的根在數軸上標出來。

第三步，從右向左從上到下依次穿線，穿線時，遇到奇重根時，在其對應的根處穿過，遇到偶重根時，在其對應的根處，不穿過。

第四步，線在x軸上方部分對應函數在這些區間值為正數，故是大于零不等式對應的解，線下部分同理，從而找出原不等式的解集。

二、逐步釋疑

1.為何先將最高次項化為正數？一定要從右向左從上到下依次穿線嗎？

答：這兩個問題實際上是有內在聯系的。我們以y=x4-3x3-2x+1為例。當x→∞時，函數值應該趨近于正無窮。從函數圖像的角度，應該是越來越向上的。所以當我們從右邊向左邊穿時，應該從上到下穿。

反之，例如y=-3x3-2x+3，當x→∞時，函數值趨向于負無窮。從函數圖像的角度，圖像走勢是向下走的。所以當我們從右向左邊穿時，應該從下到上穿。

在國內教學中，教師為了方便識記，將兩種情況合成一種，方便記憶。

2.穿線時，為什么奇穿偶折？

答：我們可以用冪函數來看這個問題。我們知道冪函數是奇次時，函數穿過原點；當冪函數是偶數時，函數關于y軸對稱。對于任意一個高次函數，例如y=（x-3）（x+2）2（x-4）在x=-2這個點附近，我們取這個點附近很小的一個鄰域，在這個范圍內，函數可以近似看成y=（x+2）2，此時函數是關于x=-2對稱，且不會穿過坐標軸，所以偶次折回來。同理，奇次也可得到相應的結論。

3.為什么線在x軸上方部分對應不等式在這些區間值為正數？

答：數軸標根法的線，實際上是多項式函數的一種簡單的圖像，這根線僅表達出了高次不等式對應的多項式函數的零點和在零點附近的取值情況，忽略了函數的極大值、極小值等其他性質。根據函數圖像，在x軸上方部分即為函數值大于零的相應圖像。

綜上所述，從多項式函數的角度闡釋數軸標根法，更加清晰易懂。這樣我們不僅教授學生方法與口訣，更告訴了方法背后的原理，從而將陌生的原理變為熟悉的原理。即使學生忘記了數軸標根法的步驟，他們也能從多項式函數很快推倒出來。

編輯 孫玲娟